Basen von Eigenräumen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 So 05.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | $ [mm] \pmat{ s+1 & 2-s & 0 \\ 2-s & s+1 & 0 \\ 2-0,5s & 1-0,5s & s } [/mm] $
Aufgabe:
Zu finden sind Basen der Eigenräume von [mm] A_{s} [/mm] für s [mm] \in \{0,1,3\}. [/mm] |
Guten Morgen,
diese Aufgabe ist denke ich an sich nicht schwirig, ich habe sowas allerdins noch nie gemacht bzw eine ähnliche Aufgabe gesehen.
Die Aufgabe ist doch, aus
a) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 }
[/mm]
b) [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 1 }
[/mm]
c) [mm] \pmat{ 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0,5 & -0,5 & 3 }
[/mm]
den drei Matrizen jeweils eine zugehörige Basis zu finden, oder?
Könnte mir jemand einmal bitte in eignen Worten erklären, wie man allgemein eine zugehörige Basis einer Matrix ermittel und es mir an einer der drei Matrizen demonstrieren, dass ich es an den anderen beiden versuchen kann?
Ich bitte um Hilfe 
Paula
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Hallo Paula,
> [mm]\pmat{ s+1 & 2-s & 0 \\
2-s & s+1 & 0 \\
2-0,5s & 1-0,5s & s }[/mm]
>
> Aufgabe:
> Zu finden sind Basen der Eigenräume von [mm]A_{s}[/mm] für s [mm]\in \{0,1,3\}.[/mm]
>
> Guten Morgen,
> diese Aufgabe ist denke ich an sich nicht schwirig, ich
> habe sowas allerdins noch nie gemacht bzw eine ähnliche
> Aufgabe gesehen.
>
> Die Aufgabe ist doch, aus
> a) [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 \\
1,5 & 0,5 & 1 }[/mm]
>
> c) [mm]\pmat{ 4 & -1 & 0 \\
-1 & 4 & 0 \\
0,5 & -0,5 & 3 }[/mm]
> den
> drei Matrizen jeweils eine zugehörige Basis zu finden,
> oder?
Nein, du sollst doch eine Basis zu den jeweiligen Eigenräumen bestimmen!
Was ist ein Eigenraum? Was hat er mit "Kern" zu tun?
Du musst jeweils den Kern bestimmen.
Bringe dazu die Matrizen in Zeilenstufenform.
Dann kannst du den Kern und eine Basis desselben bestimmen/angeben.
>
> Könnte mir jemand einmal bitte in eignen Worten erklären,
> wie man allgemein eine zugehörige Basis einer Matrix
> ermittel
Was soll eine Basis einer Matrix sein??
Ich kenne nur Basen von Vektorräumen.
Der Kern einer Matrix ist ein VR, es gilt also eine Basis des Kernes zu bestimmen!
> und es mir an einer der drei Matrizen
> demonstrieren, dass ich es an den anderen beiden versuchen
> kann?
Nö, wie es geht, habe ich oben geschrieben.
Probiere erstmal selbst; so lernst du das am Besten ...
Wenn du irgendwo hakst, poste deine Schritte und wir sehen weiter.
>
> Ich bitte um Hilfe
> Paula
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 So 05.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die Antwort, ich habe mich mal versucht und folgendes erhalten:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 } [/mm] $
Diese Matrix habe ich in Zeilenstufenform gebracht:
[mm] Z_{3}-Z_{2}=$ \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
=> [mm] Z_{2}-2Z_{1}=$ \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
Dies habe ich in ein LG umgewandelt und gelöst:
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $ [mm] \* \vektor{x \\ y \\ z}=0
[/mm]
Da man nur 2 Gleichungen, aber 3 Unbekannte hat, habe ich z=0 bestimmt.
Anhand der beiden Gleichungen ergeben sich dann x und y als 0, somit komme ich auf den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Ist das jetzt schon meine Basis? Eigentlich errechnet man ja anhand solch eines Gleichungssystems den Kern der Matrix...ich bitte um Aufklärung
Für die anderen beiden Matritzen $ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 1 } [/mm] $ und $ [mm] \pmat{ 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0,5 & -0,5 & 3 } [/mm] $ habe ich leider keinen Weg gefunden, diese in Zeilenstufenform zu bringen, hat da jemand eine Idee oder einen Tip für mich?
Vielen Dank für die Hilfe.
Paula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 So 05.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für die Antwort, ich habe mich mal versucht
> und folgendes erhalten:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 }[/mm]
> Diese Matrix
> habe ich in Zeilenstufenform gebracht:
> [mm]Z_{3}-Z_{2}=[/mm] [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> => [mm]Z_{2}-2Z_{1}=[/mm] [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Dies habe ich in ein LG umgewandelt und gelöst:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] [mm]\* \vektor{x \\ y \\ z}=0[/mm]
>
> Da man nur 2 Gleichungen, aber 3 Unbekannte hat, habe ich
> z=0 bestimmt.
> Anhand der beiden Gleichungen ergeben sich dann x und y
> als 0, somit komme ich auf den Vektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
>
> Ist das jetzt schon meine Basis? Eigentlich errechnet man
> ja anhand solch eines Gleichungssystems den Kern der
> Matrix...ich bitte um Aufklärung
>
> Für die anderen beiden Matritzen [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 1 }[/mm]
> und [mm]\pmat{ 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0,5 & -0,5 & 3 }[/mm]
> habe ich leider keinen Weg gefunden, diese in
> Zeilenstufenform zu bringen, hat da jemand eine Idee oder
> einen Tip für mich?
Für deine erste Matrix: Addiere zur 2. Zeile das (-0,5)-fache der ersten.
Addiere zur 3. Zeile das (-0,75)-fache der ersten.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
> Paula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 05.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Hey, alles klar, vielen Dank, das habe ich gemacht und bekomme Folgendes raus:
1. Schritt: $ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1,5 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 1 } [/mm] $
2. Schritt: $ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1,5 & 0 \\ 0 & 0,25 & 0 } [/mm] $
Dann habe ich ein Gleichungssystem aufgestellt, da kommt dann ja aber raus, dass x und y = 0 sind und z wähle ich als 1. Somit hätte ich wieder die Basis [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, [/mm] stimmt das?
War meine andere Rechnung von vorher denn richtig?
>
> $ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 } [/mm] $
> Diese Matrix
> habe ich in Zeilenstufenform gebracht:
> $ [mm] Z_{3}-Z_{2}= [/mm] $ $ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
>
> => $ [mm] Z_{2}-2Z_{1}= [/mm] $ $ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
>
> Dies habe ich in ein LG umgewandelt und gelöst:
> $ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $ $ * [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=0 [/mm] $
>
> Da man nur 2 Gleichungen, aber 3 Unbekannte hat, habe ich
> z=0 bestimmt.
> Anhand der beiden Gleichungen ergeben sich dann x und y
> als 0, somit komme ich auf den Vektor $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] $
Und könnte mir jemand noch einen Tip für die letzte Matrix geben, wie ich da auf die Zeilenstufenform komme?
$ [mm] \pmat{ 4 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 0 \\ 0,5 & -0,5 & 3 } [/mm] $
Vielen Dank im Voraus
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Tach,
du rennst irgendwie in die falsche Richtung:
Grob für die Matrix
[mm] A:=\pmat{ 4 & -1 & 0 \\
-1 & 4 & 0 \\
0,5 & -0,5 & 3 } [/mm]
sollte es so laufen:
Man bestimmt das charakteristische Polynom : [mm] \left( \lambda-5 \right) \left( \lambda-3 \right) ^{2}[/mm]
Daher hat A zwei Eigenwerte 5,3
Eigenraum zum Eigenwert 5:
Berechne [mm]B:=A-5*E_3= \left[ \begin {array}{ccc} -1&-1&0\\
-1&-1&0\\
1/2&-1/2&-2\end {array} \right] [/mm]
Hier bestimmst du [mm]Kern(B)=span\{ (2,-2,1)^T \}[/mm] durch die reduzierte Zeilenstufenform. Der Kern wird nicht direkt von der Matrix A selber bestimmt! Der Eigenraum wird also vom Eigenvektor [mm](2,-2,1)^T[/mm] aufgespannt.
Eigenraum zum Eigenwert 3:
Berechne [mm]B:=A-3*E_3= \left[ \begin {array}{ccc} 1&-1&0\\
-1&1&0\\
1/2&-1/2&0\end {array} \right] [/mm]
Der Kern von B wird durch die beiden Vektoren: [mm](0,0,1)^T,(1,1,0)^T[/mm] aufgespannt.
Zum Berechnen der reduzierten Zeilenstufenform kann dir nur empfehlen dich noch einmal mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus vertraut zu machen. (http://werkzeuge.wieschoo.com/rref.php)
Zum Eigenwert 3 lautet die Rechnung z.B.:
Gauss-Jordan-Algorithmus
Und nun bringen wir die Matrix auf reduzierte Zeilenstufenform:
[mm]\left( \begin {array}{ccc}1 & -1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & \tfrac{-1}{2} & 0 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 2 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 1 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccc}1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & \tfrac{-1}{2} & 0 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die aktuelle Zeile 3 verändern, indem wir ein Vielfaches der Zeile 1 hinzuaddieren.
[mm]\left( \begin {array}{ccc}1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end {array} \right) [/mm]
Die reduzierte Zeilenstufenform der Matrix:
[mm]A=\left( \begin {array}{ccc}1 & -1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
\tfrac{1}{2} & \tfrac{-1}{2} & 0 \\
\end {array} \right) [/mm]
lautet:
[mm]\tilde{A}=\left( \begin {array}{ccc}1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end {array} \right) [/mm]
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