Basen zur Darstellungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien V und W Vektorräume über [mm] \IQ [/mm] und es seien [mm] b_1,b_2,b_3,b_4 [/mm] eine Basis von V und [mm] c_1,c_2,c_3 [/mm] eine Basis von W. Ferner sei L : V [mm] \to [/mm] W die eindeutig bestimmte lineare Abbildung, deren Darstellungsmatrix A [mm] \in \IQ^{4,3} [/mm] bzgl. [mm] b_1,b_2,b_3,b_4 [/mm] und [mm] c_1,c_2,c_3 [/mm] gegeben ist durch
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 1 }.
[/mm]
Ferner sei eine Matrix A' [mm] \in \IQ^{4,3} [/mm] gegeben durch
[mm] A':=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & -6 & -3 & -7 }
[/mm]
Gibt es Basen [mm] b_1',b'_2,b'_3,b'_4 [/mm] von V und [mm] c_1',c'_2,c'_3 [/mm] von W, so dass A' die Darstellungsmatrix von L bzgl. [mm] b_1',b'_2,b'_3,b'_4 [/mm] und [mm] c_1',c'_2,c'_3 [/mm] ist? Falls ja, bestimmen Sie solche Basen. |
Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, also ich habe gerade mal so verstanden wie man eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung berechnet (auch bzgl. verschiedener Basen von Quell- und Zielvektorraum), hab mir auch so ein nettes Diagramm aufgezeichnet, das mich leider überhaupt nicht weiterbringt...meine einzige Idee war, Transformationsmatrizen zu berechnen die A in A' überführen, allerdings endete das in einem riesigen LGS. Wäre schön wenn mir jemand einen (vllt. etwas größeren) Ansatz zu diesem Problem geben könnte.
Vielen Dank im Voraus
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> Es seien V und W Vektorräume über [mm]\IQ[/mm] und es seien
> [mm]b_1,b_2,b_3,b_4[/mm] eine Basis von V und [mm]c_1,c_2,c_3[/mm] eine Basis
> von W. Ferner sei L : V [mm]\to[/mm] W die eindeutig bestimmte
> lineare Abbildung, deren Darstellungsmatrix A [mm]\in \IQ^{4,3}[/mm]
> bzgl. [mm]b_1,b_2,b_3,b_4[/mm] und [mm]c_1,c_2,c_3[/mm] gegeben ist durch
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 1 }.[/mm]
>
> Ferner sei eine Matrix A' [mm]\in \IQ^{4,3}[/mm] gegeben durch
> [mm]A':=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & -6 & -3 & -7 }[/mm]
>
> Gibt es Basen [mm]b_1',b'_2,b'_3,b'_4[/mm] von V und [mm]c_1',c'_2,c'_3[/mm]
> von W, so dass A' die Darstellungsmatrix von L bzgl.
> [mm]b_1',b'_2,b'_3,b'_4[/mm] und [mm]c_1',c'_2,c'_3[/mm] ist? Falls ja,
> bestimmen Sie solche Basen.
Hallo,
eigentlich habe ich nur ausversehen auf "antworten" geklickt - aber wer A sagt...
Ich fürchte, daß Du ohne Rechnerei nicht davonkommen wirst, und wenn Du das richtige "riesige LGS" hast, wirst Du sicher zum Ziel kommen.
Vor dem Rechnen könntest Du überprüfen, ob die Dimensionen von Bild und Kern übereinstimmen, denn wenn das nicht der Fall ist, können die Matrizen ja nicht dieselbe Abbildung beschreiben, so daß man sich im Falle eines Falles weitere Rechnungen sparen kann.
Bei Deinen Matrizen ist der Kern eindimensional.
Eventuell ist es einfacher, zunächst beide Matrizen per Basistransformation in die Form [mm] \pmat{\* & \* & \* & 0 \\ \* & \* & \* & 0 \\ \* & \* & \* & 0 } [/mm] zu bringen, und dann dies Matrizen per Basistransformation ineinander zu überführen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
wie weit bist Du denn inzwischen gekommen?
Hast Du die Kerne ausgerechnet?
Für das weitere Vorgehen ist mir etwas eingefallen, welches ggf. lange und vergebliche Rechnungen vermeiden könnte:
Wenn Du jeweils die Basis des Kerns hast, kannst Du Deine Abbildungen ja so einschränken, daß beides Isomorphismen [mm] \IQ^3 \to \IQ^3 [/mm] sind,
Eine darstellende Matrix ist dann der "Sternchenteil" der Matrix [mm] \pmat{* & * & * & 0 \\ * & * & * & 0 \\ * & * & * & 0 } [/mm] aus meinem vorhergehenden Post.
Und nun würde ich mir Determinante, Spur und charakteristisches Polynom der beiden Matrizen anschauen.
Wenn es sich um ähnliche Matrizen handelt, müssen sie jeweils gleich sein.
Dh, wenn Du z.B. entdeckst, daß die Spur der beiden Matrizen verschieden ist, kannst Du Deine Bemühungen einstellen - sie können dann nicht darstellende Matrizen ein und derselben Abbildung sein.
Gruß v. Angela
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Hallo, erstmal danke für die Antworten. Also ich habe zunächst versucht, die Matrix A in eine Form zu bringen wie du sie in deiner ersten Antwort beschrieben hattest, ich dachte mir am angenehmsten wäre es wohl sie auf die Form [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] zu bringen, die Transformationsmatrix hab ich auch berechenen können, hoffe ich, zumindest ist es so dass [mm] A*T=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] ergibt, mir ist dann allerdings aufgefallen, dass ich die Matrix T ja auch gleich so hätte berechnen können, dass A*T=A' gilt. Hab aber bei beiden Möglichkeiten das Problem, dass ich ja Basen B' und C' angeben soll bzgl. derer A die Gestalt A' hat und diese Basen kann ich nicht durch die Transformationsmatrix berechnen, da ich ja die Ausgangsbasen eigentlich gar nicht kenne...
Also den Kern hab ich berechnet, der ist bei beiden 1-dimensional, eine Basis des Kerns von A ist (-2,-3,4,3) und von A' (0,0,-7/3,1). Spur, Determinante und char-Polynom hatten wir zu dieser zeit noch nicht, aber gut zu wissen, dass sowas übereinstimmen muss.
Ich hab mittlerweile so eine Art Musterlösung zu der Aufgabe, aus der ich allerdings absolut nicht schlau werde:
gesucht B',C':
A'=SAR
Die Quasieinheitsmatrix [mm] A_1' [/mm] ist [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }. [/mm]
[mm] A_1'=S_1AR_1 [/mm] (von A in Quasieinheitsmatrixform gebracht)
[mm] A_2'=S_1'A'R_1' [/mm] (von A' in Quasieinheitsmatrixform gebracht)
wobei [mm] A_1'=A_2'
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_1AR_1=S_1'A'R_1'
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 1 } [/mm] | [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
mit Zeilenumformungen folgt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 } [/mm] | [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1} [/mm] die rechte Seite ist also [mm] S_1
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 } [/mm] | [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
mit Spaltenumformungen folgt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] | [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 3 } [/mm] die rechte Seite ist also [mm] R_1
[/mm]
analog folgt: [mm] S_1'= \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 10 & -2 & 1} [/mm] und [mm] R_1'= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & -1 & 3 }
[/mm]
insgesamt also [mm] S^{-1}=\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 7 & 0 & 1} [/mm] und [mm] R=\pmat{ 1 & 0 & -5 & 11 \\ 0 & 1 & -6 & -13 \\ 0 & 0 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & 6 & 15 }
[/mm]
Also diese sogenannte "Musterlösung" bringt mich leider überhaupt nicht weiter, weder verstehe ich da gemacht wird, noch wie ich damit die Aufgabe lösen soll, denn die Aufgabe ist ja "finde Basen..." und hier wurden allerhöchsten Transformationsmatrizen angegeben.....diese Aufgabe macht mich fertig...
und dabei möchte ich doch nur wissen wie ich solche Basen finde 
mfg
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Hallo rainman_do,
> Ich hab mittlerweile so eine Art Musterlösung zu der
> Aufgabe, aus der ich allerdings absolut nicht schlau
> werde:
>
> gesucht B',C':
>
> A'=SAR
>
> Die Quasieinheitsmatrix [mm]A_1'[/mm] ist [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }.[/mm]
> [mm]A_1'=S_1AR_1[/mm] (von A in Quasieinheitsmatrixform gebracht)
> [mm]A_2'=S_1'A'R_1'[/mm] (von A' in Quasieinheitsmatrixform
> gebracht)
> wobei [mm]A_1'=A_2'[/mm]
> [mm]\Rightarrow S_1AR_1=S_1'A'R_1'[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
> | [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
Hier wurden "nur Zeilenumformungen" durchgeführt, bis man eine Dreiecksmatrix wie bei Gauß erhält.
Im 1. Schritt wurde demnach folgende Operationen durchgeführt:
Die 1.Zeile wurde mit (-1) multipliziert und zur 2. Zeile addiert.
Die 1.Zeile wurde mit (-2) multipliziert und zur 3. Zeile addiert.
Das liefert:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0& 1 \\ 0 & 1 & 3 & -3 }
| \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1}[/mm]
> mit
> Zeilenumformungen folgt:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 }[/mm]
> | [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1}[/mm] die rechte
> Seite ist also [mm]S_1[/mm]
Hier muß stehen:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & \red{-}4 }
| \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1}[/mm]
Damit kann dann auch die Matrix [mm]R_{1}[/mm] nicht die richtige sein.
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 }[/mm] |
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
Das mit den Spaltenumformungen funktioniert genauso:
Im ersten Schritt wurden hier folgende Operationen durchgeführt:
- Addiere die 1. Spalte zur 3. Spalte.
- Addiere das (-2)-fache der 1. Spalte zur 4. Spalte
Das liefert:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -4 } |
\pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
Das wird jetzt solange durchgeführt, bis man die Quasieinheitsmatrix erhält.
>
> mit Spaltenumformungen folgt:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm] |
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 3 }[/mm]
> die rechte Seite ist also [mm]R_1[/mm]
>
> analog folgt: [mm]S_1'= \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 10 & -2 & 1}[/mm]
> und [mm]R_1'= \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & -1 & 3 }[/mm]
>
> insgesamt also [mm]S^{-1}=\pmat{ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 7 & 0 & 1}[/mm]
> und [mm]R=\pmat{ 1 & 0 & -5 & 11 \\ 0 & 1 & -6 & -13 \\ 0 & 0 & 7 & 15 \\ 0 & 0 & 6 & 15 }[/mm]
>
>
> Also diese sogenannte "Musterlösung" bringt mich leider
> überhaupt nicht weiter, weder verstehe ich da gemacht wird,
> noch wie ich damit die Aufgabe lösen soll, denn die Aufgabe
> ist ja "finde Basen..." und hier wurden allerhöchsten
> Transformationsmatrizen angegeben.....diese Aufgabe macht
> mich fertig...
>
> und dabei möchte ich doch nur wissen wie ich solche Basen
> finde
Wir haben also
[mm]S'_{1}*A'*R'_{1}=S_{1}*A*R_{1}[/mm]
[mm]\gdw A'*R'_{1}=\left(S'_{1}\right)^{-1}*A*R_{1}[/mm]
[mm]\gdw A'=\left(S'_{1}\right)^{-1}*S_{1}*A*R_{1}*\left(R'_{1}\right)^{-1}[/mm]
Nun ist wohl laut der Musterlösung:
[mm]S^{-1}=\left(S'_{1}\right)^{-1}*S_{1}[/mm]
und
[mm]R=R_{1}*\left(R'_{1}\right)^{-1}[/mm]
>
> mfg
>
>
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo...also ich hab die Aufgabe aufmerksam verfolgt.
Aber mir ist jetzt immer noch nicht klar, wo ich die Basisvektoren ablesen kann oder wie ich die berechnen kann.
Grüße Charlie
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Hallo,
Du hast die beiden Matrizen A und A', und Du willst wissen, ob es invertierbare Matrizen S, R gibt so, daß A'=SAR.
Man hat nun festgestellt, daß für beide Matrizen dimKern=1 und dimBild=3 gilt, und hat Matizen [mm] R_i [/mm] und [mm] S_i, [/mm] i=1,2 bestimmt, so daß
[mm] A=S_1 \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }R_1
[/mm]
und
A'= [mm] S^{'}_{1} \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }R'_1.
[/mm]
Also ist
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }=(S_1)^{-1}A(R_1)^{-1}
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }=(S^{'}_{1})^{-1}A'(R'_1)^{-1},
[/mm]
also
[mm] A'=\underbrace{S^{'}_{1}(S_1)^{-1}}_{=S}A\underbrace{(R_1)^{-1}R'_1}_{=R}.
[/mm]
Es enthält die Matrix R in den Spalten die Basisvektoren von B' (in Koordinaten bzgl. B),
und die Spalten v. [mm] S^{-1} [/mm] enthalten in den Spalten die Basisvektoren von C' (in Koordinaten bzgl. C).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Do 27.03.2008 | | Autor: | rainman_do |
Ja super, alles verstanden. Vielen Dank an alle Beteiligten.
mfg
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