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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 So 30.09.2007 | | Autor: | Ilcoron |
| Aufgabe | Es seien A,B und C Mengen. Zeige, dass
(i) [mm] A\cup(B\cap [/mm] C) = [mm] (A\cup B)\cap(A\cup [/mm] C)
(ii) [mm] A\cap(B\cup [/mm] C) = [mm] (A\cap B)\cup(A\cap [/mm] C) |
Hallo,
ich saß neulic in meiner ersten Mathematikvorlesung und habe einfach nicht viel verstanden. Das finde ich eigentlcih nciht mal schlimm... Ich habe mich für ein Mathematikstudium entschieden... Also finde ich das ganze eher tragisch- komisch...
Leider kann ich nicht mit großen eigenen Ansätzen aufwarten. ich habe lange versucht über Boolsche Logik da etwas weiter zu kommen aber das klappt nciht. ich glaube mein größtes problem liegt darin, dass ich cniht weiß wo ich anfangen soll. Ich habe keine ahnung in welche Richtung mein erster schritt gehen soll.
ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet.
Timm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 So 30.09.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi Timm,
> Hallo,
> ich saß neulic in meiner ersten Mathematikvorlesung und
> habe einfach nicht viel verstanden. Das finde ich
> eigentlcih nciht mal schlimm... Ich habe mich für ein
> Mathematikstudium entschieden... Also finde ich das ganze
> eher tragisch- komisch...
Lass dich davon nicht entmutgen. Dranbleiben und irgendwann weißt du wie der Hase in etwa läuft.
> Leider kann ich nicht mit großen eigenen Ansätzen
> aufwarten. ich habe lange versucht über Boolsche Logik da
> etwas weiter zu kommen aber das klappt nciht.
Schon mal gut.
> Es seien A,B und C Mengen. Zeige, dass
> (i) [mm]A\cup(B\cap[/mm] C) = [mm](A\cup B)\cap(A\cup[/mm] C)
Also hier wird eine Mengengleichheit behauptet. Nun sind zwei Mengen A und B genau dann gleich, wenn
A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A gilt.
Man muss also zeigen, dass jedes Element der Menge A auch ein Element der Menge B ist [mm] (\Rightarrow) [/mm] und anderstrum dass jedes Element der Menge B ein Element der Menge A ist [mm] (\Leftarrow)
[/mm]
So und dein Ansatz mit der Aussagenlogik ist schon mal ziemlich nah, denn so würde ich es auch machen.
[mm]A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)[/mm]
[mm] A\cup(B\cap [/mm] C)
= {x| x [mm] \in [/mm] A oder (x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \in [/mm] C)}
= {x| x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C)}
= {x| (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C)}
= {x| (x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B) und (x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] C)}
= [mm](A\cup B)\cap(A\cup[/mm] C)
Und da alles Äquivalenzumformungen waren waren das beide Richtungen in einem.
Man kann das auch leicht anderst aufschrieben, aber im wesentlichen passiert genau das selbe, nämlich die Reduktion auf das aussagelogische Distributivgesetzt.
Die zweite kannst du praktisch analog machen.
Grüße Murmel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 30.09.2007 | | Autor: | Ilcoron |
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!!
Aber eine Frage habe ich noch:
Kann man diesen Schritt einfach so machen?
= {x| x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C)}
= {x| (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C)}
Benötigt das nicht noch weitere Zwischenschritte?
Ich habe natürlich noch weitere Fragen bei denen ich etwas hilfe brauchen könnte aber die schriebe ich in neue artikel.
Sonst aber noch mal: Vielen Dank!
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Hallo Ilcoron,
das ist eines der sog. logischen Distributivgesetze:
(1) [mm] $(p\wedge q)\vee [/mm] r$ ist gleichwertig zu [mm] $(p\vee r)\wedge (q\vee [/mm] r)$
(2) [mm] $(p\vee q)\wedge [/mm] r$ ist gleichwertig zu [mm] $(p\wedge r)\vee (q\wedge [/mm] r)$
Wenn ihr das in der VL hattet, kannst du es natürlich benutzen.
Falls nicht, kannst du dir anhand einer Wahrheitswertetabelle mal überlegen, dass das gilt
LG
schachuzipus
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> Es seien A,B und C Mengen. Zeige, dass
>
> (i) [mm]A\cup(B\cap[/mm] C) = [mm](A\cup B)\cap(A\cup[/mm] C)
> (ii) [mm]A\cap(B\cup[/mm] C) = [mm](A\cap B)\cup(A\cap[/mm] C)
Hallo,
ich entnehme Deinem Post, daß Du ganz am Studienanfang stehst, daher noch ein, zwei Worte zu dieser Art von Aufgaben.
Es wurde schon erwähnt, daß die Gleichheit von Mengen bedeutet, daß jede Teilmenge der anderen ist.
Bei (i) hast Du also zweierlei zu zeigen:
1. [mm] A\cup(B\cap [/mm] C) [mm] \subseteq (A\cup B)\cap(A\cup [/mm] C)
[mm] 2.(A\cup B)\cap(A\cup [/mm] C) [mm] \subseteq A\cup(B\cap [/mm] C)
"Teilmenge" wiederum bedeutet - ihr habt das sicher in der Vorlesung definiert-, daß jedes Element, welches in der einen Menge ist, auch in der anderen liegt.
Also ist für (i)1. zu zeigen: [mm] x\in A\cup(B\cap [/mm] C) ==> [mm] x\in (A\cup B)\cap(A\cup [/mm] C),
(i)2. entsprechend.
Natürlich kann man dahergehen und gleich zeigen: [mm] x\in A\cup(B\cap [/mm] C) <==> [mm] x\in (A\cup B)\cap(A\cup [/mm] C).
Man hat dann (i)1. und (i)2. in einem Aufwasch erledigt. Man hat weniger Schreibarbeit.
Ich rate Dir trotzdem für den Anfang davon ab, das so zu tun. Ich finde, daß man so zu leicht Fehler macht. Ein Äquivalenzpfeil ist schnell gesetzt...
Meiner Meinung nach wird das Mehr an Schreibarbeit bei der getrennten Behandlung der Richtungen leicht aufgewogen durch ein Mehr an Richtigkeit.
Nun zur Vorgehensweise.
Wenn Du (i)1. zeigst, nimmst Du Dir ein beliebiges Element aus [mm] A\cup(B\cap [/mm] C) und zeigst, daß es in [mm] (A\cup B)\cap(A\cup [/mm] C) liegt:
Zu zeigen: [mm] A\cup(B\cap [/mm] C) [mm] \subseteq (A\cup B)\cap(A\cup [/mm] C)
Bew.:
Sei [mm] x\in A\cup(B\cap [/mm] C)
==> [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\in (B\cap [/mm] C)
==> ... usw.
==> [mm] x\in (A\cup B)\cap(A\cup [/mm] C).
Also ist [mm] A\cup(B\cap [/mm] C) [mm] \subseteq (A\cup B)\cap(A\cup [/mm] C)
Gruß v. Angela
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