Basis C und R < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mo 23.01.2006 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | Sei $V$ ein endlichdimensionaler [mm] $\IC$-Vektorraum.
[/mm]
a) Sei [mm] $v_{1},\ldots,v_{n}$ [/mm] eine [mm] $\IC$-Basis [/mm] von $V$.
Bestimmen Sie eine Basis von $V$ als [mm] $\IR$-Vektorraum.
[/mm]
b) Sei [mm] $w_{1},\ldots,w_{m}$ [/mm] eine [mm] $\IR$-Basis [/mm] von $V$.
Bestimmen Sie eine Basis von $V$ als [mm] $\IC$-Vektorraum. [/mm] |
Ich denk mal wenn man a hätte kann man das für b verwenden.
Für a hab ich schonmal Bsp. versucht bei [mm] \IC^{2} [/mm] ist es ja dann [mm] \IR^{4}.
[/mm]
Bei allgemein formulieren hab ich große Probleme man kann ja verwenden:
[mm] v_{1},v_{2},..., v_{n} i*v_{1}...,i* v_{n} [/mm] aber wie genau das aussieht kann mir jemand helfen??
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:25 Mo 23.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Guten Abend,
genau, den ersten Teil hast Du schon: Wenn [mm] v_1,\ldots v_n [/mm] eine Basis von V als [mm] \IC-Vektorraum [/mm] ist, so ist [mm] v_1,\ldots [/mm] v_, [mm] i\cdot v_1,\ldots [/mm] , [mm] i\cdot v_n [/mm] eine Basis von V als
[mm] \IR-Vektorraum.
[/mm]
Die Erzeugenden-Eigenschaft ist klar, und die lin. Unabh. bekommst Du auch direkt durch Hinschreiben und zusammenfassen der Koeffizienten [mm] \lambda_j [/mm] zu [mm] v_j [/mm] und [mm] \mu_j [/mm] zu [mm] i\cdot v_j [/mm] als [mm] (\lambda_j+i\cdot \mu_j [/mm] - wenn die Linearkomb. 0 ist. muessen alle
Zahlen [mm] \lambda_j+i\cdot \mu_j [/mm] =0 sein und damit die [mm] \lambda_j [/mm] und [mm] \mu_j [/mm] auch.
Wenn nun [mm] w_1,\ldots w_m [/mm] eine Basis von V als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist,
so wissen wir doch (nimm eine Basis von V als [mm] \IC-Vektorraum [/mm] und bilde die assoziierte
Basis von V als [mm] \IR-Vektorraum), [/mm] dass
[mm] m=\dim_{\IR}(V)=2\cdot\dim_{\IC}(V) =2\cdot [/mm] n
Koennte es sein, dass wir beliebig zusammenfassen koennen, also
zB [mm] w_1+i\cdot w_2,\ldots [/mm] , [mm] w_{2n-1}+i\cdot w_{2n} [/mm] als [mm] \IC-Basis [/mm] ?
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mo 23.01.2006 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | | Wie stell ich denn fest ob man das so machen kann?? |
Weiß nicht ob man das darf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Di 24.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Mathias!
Ich habe deine Antwort zwar nicht als falsch markiert, habe mich aber gerade gefragt, was daran falsch ist und bin zu dem folgenden Gegenbeispiel gekommen:
Fasst man [mm] $\IC^2$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] auf, so hat er die kanonische Basis
[mm] $\left\{\pmat{1 \\ 0}, \pmat{i \\ 0}, \pmat{0 \\1}, \pmat{0 \\ i} \right\}$.
[/mm]
Dagegen ist ja
[mm] $\pmat{1 \\ 0} [/mm] + i [mm] \cdot \pmat{i \\0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0}$
[/mm]
kein Element einer Basis von [mm] $\IC^2$ [/mm] als [mm] $\IC$-Vektorraum. [/mm] Man kann also sicherlich die Basiselemente nicht beliebig zusammenfassen.
Allerdings war deine Frage vermutlich eh eine rhetorische und du wolltest den Aufgabensteller zum Nachdenken anregen.
Ich allerdings bin gerade ratlos: Gibt es tatsächlich eine kanonische Möglichkeit aus einer Basis von $V$, aufgefasst als [mm] $\IR$-Vektorraum, [/mm] eine Basis von $V$, aufgefasst als [mm] $\IC$-Vektorraum, [/mm] zu bilden? Wie genau sieht diese aus?
Dass die Umkehrung geht, ist klar, ebenso die Komplexifizierung eines Vektorraums. Aber wie löse ich das obige Problem? Offenbar habe ich gerade eine Denkblockade...
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:45 Mi 25.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Lieber Julius,
ich bin auch etwas ratlos.
Gruesse nach Rom !!!
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Mi 25.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo zusammen,
also Julius und leduard haben richtig bemerkt: So einfach geht der zweite Teil nicht.
Also nochmal:
Sei [mm] w_1,\ldots w_m [/mm] eine Basis von V als [mm] \IR-Vektorraum, [/mm] dann ist m=2n mit
[mm] dim_{\IC}(V)=n, \:\: dim_{\IR}(V)=2n.
[/mm]
Dann erzeugen natuerlich die [mm] w_1,\ldots w_{2n} [/mm] den V als [mm] \IC-Vektorraum, [/mm] und
man kann eine Teilmenge als Basis auswaehlen. D.h. allgemein kann man sagen: es gibt dann immer eine Teilmenge [mm] w_{i_1},\ldots w_{i_n} [/mm] , die eine Basis von V als [mm] \IC-VR [/mm] bildet.
Eine kanonische Art, eine [mm] \IC-Basis [/mm] zu konstruieren, sehe ich auch nicht.
Viele Gruesse,
Mathias
PS. Ich versuch, die fehlerhafte Antwort irgendwie auf gruen zu schalten, sie aber zB durch Aendern der Betreff-Zeile als
fehlerhaft gekennzeichnet zu lassen, zu Dokumentationszwecken, oder ?
PPS. So wie jetzt kann es doch bleiben, oder ? Die Frage gilt als beantwortet, die
eine Antwort als fehlerhaft, und der Strang bleibt so bestehen, ok ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Di 24.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
für [mm] \IC^{2} [/mm] brauchst du 2 lin unabhängige Vektoren v1= [mm] \vektor{z1 \\ z2}, v2=\vektor{w1\\ w2} z,w\in\IC. [/mm] mit [mm] z1*w1+z2*w2\ne0! [/mm] Wenn du die mit i multiplizierst bekommst du wieder 2 untereinander unabh, Basisvektoren von
[mm] \IC^{2}, [/mm] die aber abhängig von den ersten sind. auf keinen Fall bekommst du einen Vektor mit 4 Komponenten! also aus [mm] \IR^{4}
[/mm]
wie machst du zBsp aus dem eindimensionalen Vektor 1+i, der ganz C aufspannt, einen Vektor in [mm] R^{2}
[/mm]
Denk dran, die Vektoren in [mm] \IR [/mm] haben doppelt soviel Komponenten wie in [mm] \IC.
[/mm]
Der 2. Teil der Aufgabe hilft dir, wie machst du denn aus [mm] \IC [/mm] den [mm] \IR^{2}?
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:53 Mi 25.01.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo leduart und hallo Freunde der komplexen Zahlen,
ich bin eigentlich strikt dagegen, Komponentenverdoppelung oder so hier zu betrachten.
Nehmen wir Dein Beispiel [mm] \IC: [/mm] Es ist ein eindimensionaler [mm] \IC-Vektorraum, \{1+i\} [/mm] ist eine Basis, zweifelsohne.
[mm] \IC [/mm] ist aber auch ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] - die skalare Multiplikation ist schlicht und ergreifend definiert, und die Vektorschreibweise ist eh nur eine andere Notation fuer ein und dasselbe Objekt. Du brauchst halt nur jetzt zwei Basisvektoren, zB 1+i und 1-i.
Wenn generell V ein K-Vektorraum ist und k ein Unterkoerper von K, so ist V ein k-Vektorraum, und man soll dann nicht V veraendern, er bleibt dieses eine Objekt, das er ist, sozusagen ganz er selbst. 
Zu dem Basisproblem schreib ich gleich noch was als Mitteilung zu meiner zurecht als falsch deklarierten Antwort - falsch stimmt ja nicht ganz, denn das, was nicht geht, ist dort ja nur als Frage formuliert.
Viele Gruesse,
Mathias
|
|
|
|
