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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Pompeius |
| Aufgabe | Gegeben seien in [mm] R^3 [/mm] die Vektoren v1, ...,v5. Sei V = span(v1,...,v5).
Geben sie die Dimension, sowie alle Basen von V an. |
Hi @ all ..
ja ich hätte nur mal ne frage zur vorgehensweise..
also "span" bedeutet auch Erzeugendensystem ?!
wenn ja dann muss ich die menge v1,...,v5 ja auf drei linear unabhängige vektoren reduzieren( wegen [mm] R^3) [/mm] um die basis zu ermitteln und die anzahl der vekoren in der basis wär ja gleich der dimension..... darf ich das überhaupt annehmen ?? (wegen [mm] R^3)??
[/mm]
meine frage wär, ob ich jetzt von allen 5 vektoren jeweil immer drei auf lineare unabhängigkeit prüfen muss ? wenn das jetzt 1000 vektoren wären würd das ja aber nicht gehen ..
oder benutzt man irgendwie einen austauschsatz ?
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> Gegeben seien in [mm]R^3[/mm] die Vektoren v1, ...,v5. Sei V =
> span(v1,...,v5).
> Geben sie die Dimension, sowie alle Basen von V an.
>
> ja ich hätte nur mal ne frage zur vorgehensweise..
> also "span" bedeutet auch Erzeugendensystem ?!
Hallo,
nein.
Sonst wäre die Frage ja auch sinnlos, oder was sollte die Dimension eines Erzeugendensystems sein???
Aber natürlich steckt ein Körnchen Wahrheit in dem , was Du schreibst.
Es ist [mm] span(v_1,...,v_5) [/mm] die Menge sämtlicher Linearkombinationen v. [mm] v_1,...,v_5, [/mm] man sagt dazu auch "Lineare Hülle" oder "der von [mm] (v_1,...,v_5) [/mm] erzeugte Raum". es ist [mm] (v_1,...,v_5) [/mm] ein Erzeugendensystem v. [mm] span(v_1,...,v_5) [/mm]
> wenn ja dann muss ich die menge v1,...,v5 ja auf drei
> linear unabhängige vektoren reduzieren( wegen [mm]R^3)[/mm] um die
> basis zu ermitteln und die anzahl der vekoren in der basis
> wär ja gleich der dimension..... darf ich das überhaupt
> annehmen ?? (wegen [mm]R^3)??[/mm]
Du mußt nun herausfinden, wie groß eine maximale linear unabhängige Teilmenge Deiner 5 Vektoren ist, das ist dann die Dimension des Spans.
Da der Grundraum der [mm] \IR^3 [/mm] ist, hast Du recht, daß die Dimension des aufgespannten Raumes höchstens =3 sein kann. Aber natürlich auch kleiner.
> meine frage wär, ob ich jetzt von allen 5 vektoren jeweil
> immer drei auf lineare unabhängigkeit prüfen muss ? wenn
> das jetzt 1000 vektoren wären würd das ja aber nicht gehen
Die Dimension des gesuchten Raumes liefert Dir der Rang der Matrix, die aus den Vektoren besteht.
Ich weiß nicht, welche Methoden zur Bestimmung einer Basis Ihr hattet.
Du kannst z.B. die Spalten quer (also als Zeilen) in eine Matrix legen, auf Zeilenstufenform bringen. Die Nichtnullzeilen liefern Dir eine Basis des gesuchten Raumes. (Du mußt die Vektoren dann natürlich wieder "hinstellen" bzw. mit einem ^t vershen.)
Gruß v. Angela
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