Basis angeben < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | sei [mm] R^2 [/mm] ausgestattet mit 2 Operationen
[mm] \oplus R^2 \times R^2->R^2
[/mm]
[mm] \vektor{x1 \\ y1}, \vektor{x2 \\ y2} [/mm] -> [mm] \vektor{x1+x2 + 1 \\ y1 +y2 + 1}
[/mm]
[mm] \otimes [/mm] R [mm] \times R^2 [/mm] -> [mm] R^2
[/mm]
[mm] \lambda, \vektor{x \\ y} [/mm] -> [mm] \vektor{ \lambda x + \lambda - 1 \\ \lambda y +\lambda - 1} [/mm] |
Hallo Leute ,
ich muss beweisen das hier um einen Vektorraum handelt und ich muss eine Basis angeben. Kann man hier kanonische Vektoren von [mm] R^2 [/mm] als Basis Vektoren angeben?? Ich habe es schon mal versucht aber nicht geklappt.
Danke imVoraus
LG melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sei [mm]R^2[/mm] ausgestattet mit 2 Operationen
> [mm]\oplus R^2 \times R^2->R^2[/mm]
> [mm]\vektor{x1 \\ y1}, \vektor{x2 \\ y2}[/mm]
> -> [mm]\vektor{x1+x2 + 1 \\ y1 +y2 + 1}[/mm]
das ist aber schlecht notiert, in Wahrheit sollte da
[mm] $$\oplus(\vektor{x_1 \\ y_1},\vektor{x_2 \\ y_2}):=\vektor{x_1 \\ y_1} \oplus \vektor{x_2 \\ y_2}:=\vektor{x_1+x_2 + 1 \\ y_1 +y_2 + 1}$$
[/mm]
stehen.
(Beispielsweise gilt [mm] $\vektor{3\\4} \oplus \vektor{5\\6}=\vektor{3+5+1\\4+6+1}=\vektor{9\\11}\,;$ [/mm] zum Glück
haben wir in [mm] $\IR$ [/mm] das Assoziativgesetz bzgl. [mm] $+\,,$ [/mm] so dass wir etwa bei $3+5+1$
uns keine Gedanken machen müssen, ob das als $(3+5)+1$ oder $3+(5+1)$ zu verstehen ist.
Beides geht! Andernfalls hätte der Aufgabensteller dies bei der Definition selbst Klammern zu
ergänzen gehabt!)
Analog sollte das untenstehende [mm] $\otimes$ [/mm] korrigiert werden! Versuchst
Du das mal selbst?
> [mm]\otimes[/mm] R [mm]\times R^2[/mm] -> [mm]R^2[/mm]
> [mm]\lambda, \vektor{x \\ y}[/mm] -> [mm]\vektor{ \lambda x + \lambda - 1 \\ \lambda y +\lambda - 1}[/mm]
>
> Hallo Leute ,
> ich muss beweisen das hier um einen Vektorraum handelt
> und ich muss eine Basis angeben. Kann man hier kanonische
> Vektoren von [mm]R^2[/mm] als Basis Vektoren angeben?? Ich habe es
> schon mal versucht aber nicht geklappt.
Was hat denn nicht geklappt?
Wenn Du nachweisen sollst, dass es sich um einen Vektorraum handelt,
hast Du Vektorraumaxiome nachzurechnen. Überzeuge Dich zunächst, dass
etwa
[mm] $$\oplus \colon \IR^2 \times \IR^2 \red{\;\to \IR^2\;}$$
[/mm]
auch wirklich zusammenpasst mit der Definition von [mm] $\oplus\,.$ [/mm] Analoges für [mm] $\otimes\,.$
[/mm]
(Vielleicht wolltest Du auch [mm] $\odot$ [/mm] anstatt [mm] $\otimes$ [/mm] schreiben und hast das Symbol nicht gefunden? "odot"
anstatt "otimes", falls dem so ist. Klick einfach mal auf [mm] $\odot$! [/mm] Ich fände es jedenfalls besser, weil man
sich bei"den zwei Kreuzen + und [mm] $\times$" [/mm] mal schnell verliest, zumal, wenn die auch noch von einem
Kreis umgeben sind...)
Jetzt wäre etwa die Assoziativität zu prüfen:
Für [mm] $\vektor{a_1 \\ a_2},\vektor{b_1 \\ b_2}, \vektor{c_1 \\ c_2} \in \IR^2$ [/mm] ist
[mm] $$(\vektor{a_1 \\ a_2} \oplus \vektor{b_1 \\ b_2}) \oplus \vektor{c_1 \\ c_2}=\vektor{a_1+b_1+1\\a_2+b_2+1} \oplus \vektor{c_1 \\ c_2}=\vektor{a_1+b_1+1+c_1+1\\a_2+b_2+1+c_2+1}=\vektor{a_1+b_1+c_1+2\\a_2+b_2+c_2+2}\,.$$
[/mm]
(Noch genauer könnte ich auch schreiben:
[mm] $$(\vektor{a_1 \\ a_2} \oplus \vektor{b_1 \\ b_2}) \oplus \vektor{c_1 \\ c_2}=\vektor{a_1+b_1+1\\a_2+b_2+1} \oplus \vektor{c_1 \\ c_2}=\vektor{\red{(}a_1+b_1+1\red{)}+c_1+1\\\red{(}a_2+b_2+1\red{)}+c_2+1}=...\,,$$
[/mm]
aber das können wir uns ersparen, weil...?)
Was kommt bei [mm] $\vektor{a_1 \\ a_2} \oplus (\vektor{b_1 \\ b_2} \oplus \vektor{c_1 \\ c_2})$ [/mm] raus? (Schritt-für-Schritt-Rechnung bitte!!) Was folgt daher?
Und zu der Basis: Wenn Du hier eine Basis mit zwei Vektoren "rätst", ist etwa zu zeigen,
dass die Vektoren linear unabhängig sind. (Warum eigentlich?)
Du sagst nun: Vielleicht kann ich auch die Familie [mm] $(\vektor{1\\0},\;\vektor{0\\1})$ [/mm] als Basis hier hernehmen?
Dann kontrolliere das mal: Ist das GLS
[mm] $$\lambda_1\otimes \vektor{1\\0}\;\;\; \oplus \;\;\;\lambda_2 \otimes \vektor{0\\1}=\text{neutrales Element von }\IR^2 \text{ bzgl. Addition }\oplus\text{, wobei }\IR^2 \text{ ausgestattet mit Addition }\oplus \text{ und skalarer Multiplikation }\otimes$$
[/mm]
nur lösbar für [mm] $\lambda_1=\lambda_2=0$?
[/mm]
(Hier siehst Du, dass die linke Seite mit [mm] $\odot$ [/mm] anstatt [mm] $\otimes$ [/mm] viel schöner lesbar wäre:
[mm] $\lambda_1\odot \vektor{1\\0}\;\;\; \oplus \;\;\;\lambda_2 \odot \vektor{0\\1}=...$
[/mm]
Und denke an "Punkt-vor-Strich", vor allem ist das klarer zu verstehen, wenn ich
alles mit [mm] $\odot$ [/mm] schreibe...)
Nunja, erstmal müssen wir das neutrale Element finden, was rechterhand hingehört.
[mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] gehört da nicht hin, denn bspw. ist [mm] $\vektor{1\\0}\oplus\vektor{0\\0}=\vektor{01+0+1\0+0+1}=\vektor{2\\1} \not=\vektor{1\\0}\,.$
[/mm]
Hmmmm... aber es wäre etwa [mm] $\vektor{1\\0} \oplus \red{\vektor{-1\\-1}}=\vektor{1+(-1)+1\\0+(-1)+1}=\vektor{1\\0}\,.$ [/mm] Haben wir da nicht
einen tollen Kandidaten?
So denn: Dann leg' mal los, damit wir auch mehr sehen als nur ein paar Sätze,
dass Du nicht weiterkamst...
P.S. Berechne bitte auch mal $0 [mm] \odot \vektor{a_1\\a_2}$ [/mm] für [mm] $\vektor{a_1\\a_2} \in \IR^2\,.$ [/mm] Was hat dieses
Ergebnis mit dem neutralen Element der Addition [mm] $\oplus$ [/mm] zu tun?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Melisa |
Hallo Marcel,
danke dir fuer deine schnelle Antwort. Ich habe es schon bewiesen das es hier um einen Vektorraum handelt. Abeer wie kann ich eine Basis angeben hab ich bisher nicht verstanden, ich habe gedacht eine Basis waere die kanonische Vektoren und aus R hoch 2. Aber wie zeige ich dann mit diese Verknuepfungen dass diese Vektoren linear Unabhaengin sind und auch ein Erz. System von R hoch 2 ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Melisa,
> Hallo Marcel,
> danke dir fuer deine schnelle Antwort. Ich habe es schon
> bewiesen das es hier um einen Vektorraum handelt. Abeer wie
> kann ich eine Basis angeben hab ich bisher nicht
> verstanden, ich habe gedacht eine Basis waere die
> kanonische Vektoren und aus R hoch 2.
das ist ja nur eine Vermutung.
> Aber wie zeige ich
> dann mit diese Verknuepfungen dass diese Vektoren linear
> Unabhaengin sind und auch ein Erz. System von R hoch 2 ist
Habe ich doch gesagt: [mm] $\vektor{-1\\-1}$ [/mm] ist das neutrale Element der Addition [mm] $\oplus$. [/mm]
Eine Basis ist im endlichdimensionalen Vektorraum (über unendlichdimensionale
will ich nur gerade nichts sagen und nicht nachdenken, weil es für die Aufgabe
irrelevant ist) eine maximale Menge linear unabhängiger Vektoren, und wenn Du
zwei linear unabhängige Vektoren hier gefunden hast, bilden die automatisch damit
ein EZS dieses "komischen [mm] $\IR^2$". [/mm] (Mir fehlt gerade ein gutes, einfaches Argument,
warum auch dieser 'komische [mm] $\IR^2$' [/mm] keine Dimension $> [mm] 2\,$ [/mm] haben kann... hast Du ein's parat? )
D.h., Du müsstest prüfen, wenn Du behauptest, dass [mm] $(\vektor{a_1\\a_2},\vektor{b_1\\b_2})$ [/mm] eine
Basis davon wäre:
Gilt
[mm] $$\lambda_1 \odot \vektor{a_1\\a_2}\;\;\; \oplus \;\;\;\lambda_2 \odot \vektor{b_1\\b_2}=\vektor{-1\\-1}$$
[/mm]
nur für [mm] $\lambda_1=\lambda_2=0$?
[/mm]
Wenn Du das ausschreibst mit Deiner speziellen Wahl [mm] $a_1=b_2=1\,,$ $a_2=b_1=0\,,$ [/mm] so folgt
die äquivalente Gleichung
[mm] $$\vektor{2\lambda_1+\lambda_2-1\\\lambda_1+2\lambda_2-1}=\vektor{-1\\-1}\,,$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\vektor{2\lambda_1+\lambda_2\\\lambda_1+2\lambda_2}=\vektor{0\\0}\,.$$
[/mm]
Was sagst Du dazu? (Und da mir oben das Argument fehlt, warum dieser "komische [mm] $\IR^2$"
[/mm]
keine Dimension $> 2$ haben kann, kannst Du ja auch mal nachrechnen, dass wir mit der
"Standardbasis des normalen [mm] $\IR^2$" [/mm] hier auch wirklich ein EZS haben. Weißt Du, was Du dafür
zu tun hast/hättest? Und ha: Wenn man sich das hinschreibt, haben wir ja auch schon ein
Dimensionsargument, nach dem ich suchte; auch, wenn es mit Lösungen eines GLS zu tun hat!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Do 02.05.2013 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | ich haette noch eine Frage und zwar
ich habe 3 Polynome mit deg(p)<= 2 und ich muss bestimmen ob es hier um eine Basis handelt.
p1(x) = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] (x-1)
p2(x) = [mm] x^2 [/mm] - 1
p3(x) = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] (x+1) |
1. Ich muss zeigen dass die Polynome lin. unabhaengig sind.
also lin. unabhaengig zu sein muss aus
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] p_1(x) [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] p_2(x) [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] p_3(x) [/mm] =0
fuer alle x folgen : [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 =\lambda_3 [/mm] =0
Wenn ich hier x so waehle x = 0, x = 1, x = -1, dann folgt doch dagaus dass
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0
[mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] \lambda_3 [/mm] = 0.
Und ist es somit lin. unabhaengig
Danach muss ich beweisen, dass die Polynome ein Erz. System bilden aber da habe ich echt keine Ahnung :( kann mir vielleicht jemand helfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 Do 02.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich haette noch eine Frage und zwar
> ich habe 3 Polynome mit deg(p)<= 2 und ich muss bestimmen
> ob es hier um eine Basis handelt.
> p1(x) = [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] (x-1)
> p2(x) = [mm]x^2[/mm] - 1
> p3(x) = [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] (x+1)
> 1. Ich muss zeigen dass die Polynome lin. unabhaengig
> sind.
> also lin. unabhaengig zu sein muss aus
> [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]p_1(x)[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]p_2(x)[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] *
> [mm]p_3(x)[/mm] =0
> fuer alle x folgen : [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\lambda_2 =\lambda_3[/mm] =0
> Wenn ich hier x so waehle x = 0, x = 1, x = -1, dann folgt
> doch dagaus dass
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0
> [mm]\lambda_2[/mm] = 0
> [mm]\lambda_3[/mm] = 0.
> Und ist es somit lin. unabhaengig
Hier hast du aber spezielle Werte für x gewählt, das widerspricht der Forderung "für alle x".
Erstellen wir das ganze mal, dann haben wir doch:
[mm] \lambda_{1}\cdot\left(\frac{1}{2}x(x-1)\right)+\lambda_{2}\cdot\left(x^{2}-1\right)+\lambda_{3}\cdot\left(\frac{1}{2}x(x+1)\right)=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\frac{\lambda_{1}}{2}x(x-1)+\lambda_{2}\cdot(x+1)(x-1)+\frac{\lambda_{3}}{2}x(x+1)=0
[/mm]
Fasse das mal zusammen, und versuche zu zeigen, dass das ganze nur Null ist, wenn [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0
[/mm]
>
> Danach muss ich beweisen, dass die Polynome ein Erz. System
> bilden aber da habe ich echt keine Ahnung :( kann mir
> vielleicht jemand helfen
Wie ist denn ein Erzeugendensystem definiert? Kannst du mal versuchen, diese Definition auf diese Aufgabe anzuwenden.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:03 Do 02.05.2013 | | Autor: | Melisa |
Danke Marius,
naja Die Vektoren heissen ein Erz.sys wenn lineare Huelle von den Vektoren den ganzen Vektorraum erzeugt, so ist doch definiert oder? Aber wie kann ich hier diese Definition verwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:53 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Melisa,
> Danke Marius,
> naja Die Vektoren heissen ein Erz.sys wenn lineare Huelle
> von den Vektoren den ganzen Vektorraum erzeugt, so ist doch
> definiert oder? Aber wie kann ich hier diese Definition
> verwenden?
vielleicht beschreibst Du Begriffe, die Du noch nicht verstehst, nicht unbedingt
mit Begriffen, die Du anscheinend noch nicht verstanden hast.
Mal nebenbei: Kennt ihr nicht solche tollen Sätze wie sowas, was ich
auch schonmal hier (klick!) erwähnte:
In einem [mm] $n\,$-dimensionalen [/mm] Vektorraum bilden [mm] $n\,$ [/mm] linear unabhängige Vektoren
bereits eine Basis des Vektorraums!
Setzt natürlich voraus, dass Du Dir irgendwie überlegen kannst, das der
Raum der Polynome von Grad [mm] $\le [/mm] 2$ auch 3-dimensional ist - aber da bilden
entsprechende Monome "eine Standardbasis", von daher... Das Anwenden
solcher Sätze erspart Dir unnötige Rechnerei.
Aber sei's drum, es schadet ja auch nicht, mal explizit nachgerechnet zu
haben, dass man ein EZS vorliegen hat:
Ich setze mal [mm] $f_0, f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] fest durch [mm] $f_0(x):\equiv x^0=1\,,$ $f_1(x):\equiv [/mm] x$ und [mm] $f_2(x):\equivx^2\,.$ [/mm]
Dann hast Du doch einfach nur nachzurechnen:
Ist [mm] $r_0 f_0 +r_1 f_1+r_2 f_2$ [/mm] mit Skalaren [mm] $r_0,r_1,r_2$ [/mm] vorgegeben (denn beachte:
[mm] $f\,$ [/mm] Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 2$ genau dann, wenn es Skalare [mm] $r_0,r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm]
mit [mm] $f=r_0f_0+r_1f_1+r_2f_2$ [/mm] gibt!), so existieren Skalare [mm] $s_0,s_1$ [/mm] und [mm] $s_2$ [/mm] mit
[mm] $$s_0 p_0+s_1 p_1 +s_2 p_2=r_0 f_0+r_1 f_1+r_2 f_2\,.$$
[/mm]
Ausgeschrieben: Zu den "Parametern" [mm] $r_0, r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm] ist zu zeigen, dass die
"Gleichung" (eigentlich sind es Gleichungen)
Für alle [mm] $x\,$: $s_0 p_0(x)+s_1 p_1(x)+s_2 p_2(x)=r_0 f_0(x)+r_1f_1(x)+r_2f_2(x)$ [/mm]
lösbar in dem Tripel [mm] $(s_0,s_1,s_2)$ [/mm] ist.
Das wirkt jetzt erstmal sehr unschön: Das sieht aus wie eine Gleichung
in den drei Variablen [mm] $s_0,s_1,s_2\,.$ [/mm] In Wahrheit hast Du da aber viel mehr
Gleichungen. (Diese "eine Gleichung" soll ja FÜR ALLE [mm] $x\,$ [/mm] gelten.) Durch
(mehr oder weniger geschickte) Auswahl gewisser [mm] $x\,$ [/mm] wirst Du das GLS
"nach und nach reduzieren" - wobei, was immer das jetzt auch heißen mag,
Du nicht immer "so viele unabhängige Gleichungen" bekommen musst, wie
Du Variablen hast. (Wenn Du zeigen willst, dass das GLS NICHT Lösbar ist,
dann solltest Du allerdings i.a. mehr "unabhängige" Gleichungen erstellen,
wie Du Variablen hast!)
Und damit Du nicht ganz alleine und verloren in dem vielleicht gerade
dunkel und düster wirkenden Wald stehst, machen wir's mal anders:
Wir betrachten die Polynomfunktionen vom Grad [mm] $\le [/mm] 1$ - als Funktionen [mm] $\IR \to \IR\,.$
[/mm]
Addition sei wie üblich durch $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ und skalare Multiplikation durch
[mm] $(r*f)(x):=r*f(x)\,$ [/mm] definiert (stets für alle $x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Wir schreiben mal [mm] $T:=\{f\colon \IR \to \IR: f \text{ ist Polynom mit Grad }\le 1\}=\{f \colon \IR \to \IR:\;\exists $a_0, \exists a_1 \in \IR:\forall x \in \IR \text{ gilt }f(x)=a_0+a_1*x$\}\,.$
[/mm]
"Offenbar" bilden [mm] $p_0\colon \IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1 [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $p_1 \colon \IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \in \IR$ [/mm] ein EZS, sogar ein minimales
EZS, sogar eine maximale Menge linear unabhängiger Funktionen, also
eine Basis von [mm] $T\,,$ [/mm] aber egal. (Wie rechnet man sowas triviales denn
eigentlich nach? Das ist trivial... ich will's nur mal sehen, dass Dir das
überhaupt schon klar ist!)
Ich behaupte: Auch [mm] $g_0:=p_0/2$ [/mm] (d.h. [mm] $g_0(x)=p_0(x)/2=1/2$ [/mm] für alle [mm] $x\,$) [/mm] und [mm] $g_1$ [/mm] mit [mm] $g_1(x):=2x+3$ [/mm]
und [mm] $g_2(x):=3x+7$ [/mm] bilden ein EZS von [mm] $T\,.$
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] $f\in T\,.$ [/mm] Dann gibt es reelle [mm] $a_0,a_1$ [/mm] mit [mm] $f(x):=a_0+a_1x$ [/mm] für alle [mm] $x\,.$
[/mm]
Wir suchen [mm] $s_0,s_1,s_2 \in \IR$ [/mm] so, dass
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;f=s_0g_0+s_1g_1+s_2g_2$$
[/mm]
gilt (Du wirst später auch sehen, dass dieses EZS "verkleinert werden kann").
D.h., wir müssen (mind.) ein Tripel [mm] $(s_0,s_1,s_2) \in \IR^3$ [/mm] finden mit
[mm] $$f(x)=s_0g_0(x)+s_1g_1(x)+s_2g_2(x)$$
[/mm]
FÜR ALLE $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Erstmal die Funktionen einsetzen:
Für alle [mm] $x\,$ [/mm] soll
[mm] $$a_0+a_1x=s_0*\frac{1}{2}+s_1*(2x+3)+s_2*(3x+7)$$
[/mm]
gelten.
Für $x=0$ folgt daraus, dass dann notwendig
[mm] $$a_0=\frac{1}{2}s_0+3s_1+7s_2$$
[/mm]
gelten muss. Das ist schonmal schön: Eine Gleichung für drei Variablen
haben wir schonmal!
Setze [mm] $x=1\,$ [/mm] ein, und es folgt, dass notwendig
[mm] $$a_0+a_1=\frac{1}{2}s_0+5s_1+10s_2$$
[/mm]
gelten muss.
Ich bin jetzt "fies" Dir gegenüber und nutze schon etwas, was Dir vielleicht
nicht klar ist: Dieses GLS in 3 Variablen [mm] $(s_0,s_1,s_2)$ [/mm] hat unendlich viele
Lösungen. Wir brauchen nur eine davon, wenn es eine eindeutige geben
würde, dann würden wir vielleicht noch eine Gleichung suchen, so dass wir
mit Wissen, welches wir über den Gaußalgorithmus oder invertierbare
Matrizen haben, logisch weitergehen würden.
Uns reichen hier die obigen zwei Gleichungen (irgendwann später wird Dir
das klarer sein, oder vielleicht auch, wenn Du das Ergebnis der Rechnung
hier siehst!). Wir lösen das folgende GLS:
[mm] $$a_0=\frac{1}{2}s_0+3s_1+7s_2$$
[/mm]
[mm] $$a_0+a_1=\frac{1}{2}s_0+5s_1+10s_2$$
[/mm]
Das solltest Du hinbekommen (beachte, dass die [mm] $s_k$ [/mm] die Variablen sind!):
Man erhält, dass
[mm] $$\IL=\left\{\vektor{2a_0-\tfrac{14}{3}a_1\\ 0\\\tfrac{a_1}{3}}+s*\vektor{\tfrac{10}{3}\\1\\-\frac{2}{3}}: s \in \IR\right\}$$
[/mm]
Unsere Rechnung zeigt eigentlich bisher nur:
Wenn es Lösungen [mm] $(s_0,s_1,s_2)$ [/mm] für [mm] $(\*)$ [/mm] gibt, dann findet man die in [mm] $\IL\,.$ [/mm] Tatsächlich
kannst Du Dich davon überzeugen, dass hier [mm] $\iff$ [/mm] gilt, indem Du für ein
Element aus [mm] $\IL$ [/mm] auch noch [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] bis hin zu [mm] $(\*)$ [/mm] nachrechnest.
Um zu zeigen, dass [mm] $g_0,g_1,g_2$ [/mm] ein EZS von [mm] $T\,$ [/mm] ist, reicht es uns hier aber,
dass [mm] $\IL$ [/mm] (tatsächlich ist [mm] $\IL=\IL_{f}=\IL_{a_0,a_1}$) [/mm] sicher ein Element
innehat, so dass [mm] $(\*)$ [/mm] erfüllt ist!
Ich wähle mal (aus einem guten Grund) den Stützvektor und rechne das
nach:
Mit [mm] $(s_0,s_1,s_2)=(2a_0-\tfrac{14}{3}a_1,0,\tfrac{a_1}{3})$ [/mm] gilt für jedes [mm] $x:\,$
[/mm]
[mm] $$s_0*g_0(x)+s_1*g_1(x)+s_2*g_2(x)=(2a_0-\tfrac{14}{3}a_1)*\frac{1}{2}+0*g_1(x)+\tfrac{a_1}{3}*(3x+7)=a_0-\tfrac{7}{3}a_1+a_1+\tfrac{7}{3}a_1=a_0+a_1x=f(x)\,.$$
[/mm]
So: Frage an Dich: Wir sehen nun ein, dass [mm] $(g_0,g_1,g_2)$ [/mm] ein EZS von [mm] $T\,$ [/mm] bildet.
(Grund: Wir haben (mind.) ein [mm] $(s_0,s_1,s_2)$ [/mm] gefunden, so dass [mm] $(\*)$ [/mm] gilt!)
Unsere LETZTE Rechnung, insbesondere die Wahl von [mm] $(s_0,s_1,s_2)\,,$ [/mm] zeigt hier
aber tatsächlich sogar mehr. Wir erkennen sofort, dass es auch ein kleineres
EZS gibt. Welches?
Weitere Frage: Mit einem Blick auf [mm] $\IL$ [/mm] (insbesondere musst Du mir auch,
solange Du es nicht noch selbst nachrechnest, jetzt glauben, dass jedes
Element von [mm] $\IL$ [/mm] auch ein Lösungstripel für [mm] $(\*)$ [/mm] liefert - bisher habe ich
Dich eigentlich nur für eines davon überzeugt - nachrechnen solltest Du
es zudem auch, damit ich weiß, ob ich mich nicht verrechnet habe  ):
Hast Du eine Idee, wie Du [mm] $s\,$ [/mm] (in [mm] $\IL$) [/mm] wählen kannst, so dass Du damit sofort
erkennst, dass auch [mm] $(g_0,g_1)$ [/mm] ein EZS von [mm] $T\,$ [/mm] bildet? (Beachte, dass
die Variablen [mm] $s_k$ [/mm] von [mm] $f\,$ [/mm] bzw. [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$ [/mm] abhängen dürfen!!)
Und zudem: Würdest Du etwa [mm] $s=1\,$ [/mm] (in [mm] $\IL$) [/mm] benutzen, so würdest Du immer
noch erkennen, dass [mm] $(g_0,g_1,g_2)$ [/mm] ein EZS von [mm] $T\,$ [/mm] bildet (unter der Voraussetzung,
dass mir da kein Rechenfehler irgendwo passiert ist), aber es wäre ALLEINE
DAMIT nicht mehr direkt klar, dass es auch ein kleineres EZS gibt! (Es gibt
dennoch alternative Begründungen... aber bei denen würde man sich
sicher das direkte 'Nachrechnen von EZS' ersparen!)
So, mir ist es nun zu spät: Wer Fehler findet, darf sie behalten und gut
anlegen. Am liebsten wäre mir natürlich ein Korrekturhinweis, insbesondere
dann, wenn es ein für Melisa stark verwirrender Fehler wäre!
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") zusammen!
Gruß,
Marcel
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