Basis arithmetischer Folgen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Speyer |
Hallo !
Wie kann ich beweisen, dass arithmetische Folgen einen Vektor-Raum bilden ??
Bsp.: A(a,d) = (a, a+d, a+2d, ...)
Wo sind hier bitte Vektoren ??? Hänge irgendwie in der Luft...
Dann soll ich eine Basis abgeben. Mir reicht es schon, wenn mir jemand mal die Grundlagen erklärt, vom Prinzip her...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Tobias
> Hallo !
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> Wie kann ich beweisen, dass arithmetische Folgen einen
> Vektor-Raum bilden ??
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> Bsp.: A(a,d) = (a, a+d, a+2d, ...)
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> Wo sind hier bitte Vektoren ??? Hänge irgendwie in der
> Luft...
Deine Folgen sind doch die Vektoren. Mindestens sobald du deine Aufgabe gelöst hast.  Im Moment gibt es ja nur die Vermutung, dass es Vektoren sind.
Überdenke bitte nochmls die Definition eines Vektorraumes.
Da heisst es doch einfach:
Eine nicht-Leere Menge $V$ zusammen mit zwei Abbildungen
$(x,y) [mm] \mapsto [/mm] x+y$ von $V [mm] \times [/mm] V$ in $V_$, genannt Addition und
[mm] $(\alpha,y) \mapsto \alpha [/mm] y$ von $K [mm] \times [/mm] V$ in $V_$, genannt skalare Multiplikation
heisst ein Vektorraum über $K_$, wenn gilt:
$V_$ ist zusammen mit der Addition eine Abelsche Gruppe.
[mm] $(\alpha+\beta)x=\alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] x$
[mm] $\alpha(x+y)=\alpha [/mm] x [mm] +\alpha [/mm] y$
[mm] $(\alpha\beta)x=\alpha(\beta [/mm] x)$
$1x=x$
Dabei ist über die Elemente von $V_$ (in den Definitionen mit $x_$ und $y_$ bezeichnet) überhaupt nichts vorausgesetzt. Das müssen keine Pfeile sein! Sie müssen lediglich die oben aufgeführten Gesetzte befolgen, und schon bilden sie einen Vektorraum. Mit anderen Worten, wenn du untersuchen sollst, ob gegebene Objekte einen Vektorraum bilden, brauchst du nur zu überprüfen, ob diese Objekte alle Gesetze, die einen Vektorraum definieren, befolgen. Ich vorliegendem Falle sind diese Objekte halt zur Abwechslung keine Pfeile, sondern Arithmetische Folgen. 
Der oben genannte Skalarenkörper $K_$ ist in diesem Falle vermutlich der Körper der Reellen Zahlen.
Alles etwas klarer?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Speyer |
aber was heißt das jetzt konkret ?
heißt das, dass
Bsp.:
a=1
d=2
A = (1,3,5,7,...) <- Ist das jetzt ein Vektor ?
Wo sind hier die Vektoren ? Die Regeln für eine Basis etc. verstehe ich schon, mir ist nur einfach unbegreiflich, was von dem Allem jetzt die Vektoren sein sollen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Mi 11.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich würde einen alternativen Ansatz versuchen:
eine arithmetische Folge a ist eindeutig durch ihre Folgeglieder bestimmt, also a={5,8,11,...}
Es ist eine Abbildung von N nach N und du sollst zeigen, dass die Menge dieser besonderen Abbildungen einen VR bilden.
was braucht man um jede dieser Folgen/Abbildungen eindeutig zu bestimmen?
na man braucht [mm] a_0 [/mm] (den Startwert der Folge) und d (die konstante Addiotion)
dann kann man jede Folge $ [mm] b=b_0+d_b [/mm] $ darstellen als $ [mm] b\hat= \vektor{b_0\\d_b} [/mm] $
man wähle eine Basis : $ [mm] \{ \vektor{1\\0},\vektor{0\\1} \} [/mm] $
dann ist $ [mm] b=b_0*\vektor{1\\0}+d_b*\vektor{0\\1} [/mm] $ als Linearkombination darstellbar.
Du musst natürlich noch beweisen, dass die Axiome gelten (insbesondere auch Abgeschlossenheit)
hoffe, es ist nicht totaler Müll, was ich hier erzähle.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:00 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Speyer |
es tut mir leid, aber ich verstehs immer noch nicht...
ich habe also die Folge A = (a, a+d, a+2d, a+3d,...)
[mm] a_{0} [/mm] = 1
d = 2
d.h. die Folge A = (1,3,5,7,...)
dann meinst du, dass ich die Folge als A [mm] \hat= \vektor{a_{0} \\ d} [/mm] darstellen kann.
als Basis meinst du dann [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
und die Axiome soll ich anhand von [mm] a_{0}*\vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] d*\vektor{0 \\ 1} [/mm] nachweisen, sehe ich das richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 11.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ok, machen wir es mit Beispielen:
$ [mm] A_n=a_0 [/mm] + [mm] n*d_a [/mm] $ mit $ [mm] a_0 [/mm] = 4 $ und $ [mm] d_a=2 [/mm] $
also A={4,6,8,10,..}
$ [mm] B_n=b_0 [/mm] + [mm] n*d_b [/mm] $ mit $ [mm] b_0 [/mm] = 3 $ und $ [mm] d_b=6 [/mm] $
also B={3,9,14,...}
was ist dann A+B ?
A+B={4+3,6+8,8+14,...} also $ [mm] A+B=(a_0+b_0)+n*d_{A+B} [/mm] $ (dies musst du noch beweisen indem du $ [mm] A_n +B_n [/mm] $ betrachtest ) mit $ [mm] (a_0+b_0)=7 [/mm] $ und $ [mm] d_{A+B}=8=d_a+d_b [/mm] $
in Vektorenschreibweise: $ [mm] \vektor{4\\2}+\vektor{3\\6}=\vektor{7\\8} [/mm] $
was ist k*A mit k aus IR ?
welche anderen Axiome musst du nachweisen?
übrigens: eine Basis ist immer eine Menge von Vektoren, keine Matrix
[außer du betrachtest die Menge der vielfachen der Einheitsmatrix]
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