Basis bestimmen und beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Krone |
| Aufgabe | Bestimmen sie jeweils eine Basis der folgenden Teilmengen der angegebenen R-Vektorräume (mit anschließendem Nachprüfen der beiden Bedingungen!)Wie geht man so etwas wohl an?
a)
V1= [mm] \{\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}) \in \R^3 | 2x1 = x3 \} \subset \R^3 [/mm] |
Huhu,
also ne Basis hätte ich:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Ich versteh aber die Aufgabenstellung nicht so ganz, welche 2 Bedingungen sind hier gemeint?
Muss ich hier zeigen dass bei meiner Basis jeweils 2x1=x3 ist?
Oder wie?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Krone |
Inder Aufgabenstellung soll übrigens stehen dass der Vktor x1,x2,x3 Element von [mm] R^3 [/mm] ist.
Bekomm das irgendwie nicht eingegeben, jetzt steht da ja nur Element von ^3 
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Hallo Krone,
> Bestimmen sie jeweils eine Basis der folgenden Teilmengen
> der angegebenen R-Vektorräume (mit anschließendem
> Nachprüfen der beiden Bedingungen!)Wie geht man so etwas
> wohl an?
>
> a)
>
> [mm]V_1=\{\vektor{x_1 \\
x_2 \\
x_3} \in \IR^3 | 2x_1 = x_3 \} \subset \IR^3[/mm]
Bitte die Vorschaufunktion nutzen vor dem Absenden und v.a. Indizes vernünftig setzen!!
Das ist doch nicht so schwer, nutze den Unterstrich _
>
>
> Huhu,
>
> also ne Basis hätte ich:
>
> [mm]\vektor{1 \\
0 \\
2}, \vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich versteh aber die Aufgabenstellung nicht so ganz, welche
> 2 Bedingungen sind hier gemeint?
> Muss ich hier zeigen dass bei meiner Basis jeweils 2x1=x3
> ist?
> Oder wie?
Du musst zeigen, dass deine Basis ein Erzeugendensystem ist, dass also jeder Vektor aus [mm]V_1[/mm] als LK der beiden Basisvektoren darstellbar ist.
Andererseits musst du die lineare Unabh. der Basisvektoren zeigen.
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Krone |
> Du musst zeigen, dass deine Basis ein Erzeugendensystem
> ist, dass also jeder Vektor aus [mm]V_1[/mm] als LK der beiden
> Basisvektoren darstellbar ist.
>
> Andererseits musst du die lineare Unabh. der Basisvektoren
> zeigen.
>
> > Gruß
>
Okay, also in diesem Beispiel würde ich das so machen:
1.) Basisvektoren lin. u:
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] \beta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ergebnis ist dann sowohl alpha=0, als auch beta=0 (sieht man ja auch direkt). Somit lin. u, da Nullvektor nur trivial darstellbar.
2.) Erz.System:
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] \beta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}
[/mm]
Als Matrix dann aufgeschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & | x1 \\ 0 & 1 & | x2 \\ 2 & 0 & |x3 }
[/mm]
Dann kommt raus:
alpha=x1
beta=x2
alpha=0,5 x3
Somit x1 = 0,5x3, bzw. 2x1 = x3 (Nebenbed. erfüllt).
Somit gilt:
x1* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + x2* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ 2x1}
[/mm]
Korrekt?
>
> LG
>
> schachuzipus
>
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Hallo nochmal,
Kannst du bitte Indizes setzen, dann ist das angenehmer zu lesen.
Sonst antworte ich nicht mehr auf deine posts!
Das ist doch fast kein Mehraufwand beim Tippen. Aber die Augen schont es ungemein und die Motivation zu antworten!
>
> > Du musst zeigen, dass deine Basis ein Erzeugendensystem
> > ist, dass also jeder Vektor aus [mm]V_1[/mm] als LK der beiden
> > Basisvektoren darstellbar ist.
> >
> > Andererseits musst du die lineare Unabh. der Basisvektoren
> > zeigen.
> >
> > > Gruß
> >
>
> Okay, also in diesem Beispiel würde ich das so machen:
>
> 1.) Basisvektoren lin. u:
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1 \\
0 \\
2}[/mm] + [mm]\beta[/mm] * [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
>
> Ergebnis ist dann sowohl alpha=0, als auch beta=0 (sieht
> man ja auch direkt). Somit lin. u, da Nullvektor nur
> trivial darstellbar.
>
> 2.) Erz.System:
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1 \\
0 \\
2}[/mm] + [mm]\beta[/mm] * [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] = [mm]\vektor{x1 \\
x2 \\
x3}[/mm]
>
> Als Matrix dann aufgeschrieben:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & | x1 \\
0 & 1 & | x2 \\
2 & 0 & |x3 }[/mm]
>
> Dann kommt raus:
>
> alpha=x1
> beta=x2
> alpha=0,5 x3
>
> Somit x1 = 0,5x3, bzw. 2x1 = x3 (Nebenbed. erfüllt).
>
> Somit gilt:
>
> x1* [mm]\vektor{1 \\
0 \\
2}[/mm] + x2* [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] = [mm]\vektor{x1 \\
x2 \\
2x1}[/mm]
Ja, du hast aber etwas komisch angesetzt.
Vllt. "genauer":
Ein Vektor [mm]\in V_1[/mm] hat die Gestalt [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
2x_1}[/mm]
Und da die LK ansetzen, das liefert natürlich genau die Gl., die du raus hast ...
>
>
> Korrekt?
>
Jo
LG
schachuzipus
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