Basis des Bildes < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Di 07.04.2009 | | Autor: | Ikit |
Eigentlich ist das Thema nicht schwer aber mich verwirren hier verschiedene Antworten zu diesem Thema immer aufs Neue:
Vorgehensweise bei der Bestimmung einer Basis des Bildes:
1. Zeilenstufenform der Matrix
2. Die Anzahl der Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen, ist die Dimension des Bildes, d.h. die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, die die Basis des Bildes aufspannen.
Das bedeutet doch jetzt, dass ich einfach diese Anzahl an linear Unabhängigen Spaltenvektoren der ursprünglichen Matrix als Basis angeben kann oder?
Das ist bei einer 3x3 Matrix trivial, weil bei Dimension 1 nimmt man irgendeinen, bei Dimension 2 sucht man sich 2 raus und muss eben aufpassen, dass gerade diese beiden keine Vielfachen voneinander sind und bei Dimension 3 nimmt man eben alle 3.
MUSS ich diese Basisvektoren eigentlich aus der ursprünglichen Matrix nehmen, oder kann ich mir - bei Dimension 2 einer 3x3 Matrix - z.b. auch zwei unabhängige Vektoren aus der Matrix in Zeilenstufenform aussuchen? Einerseits mach ich ja nur Elementarumformungen, andererseits kann ich aus 2 solchen Vektoren ja die ursprünglichen Vektoren nicht mehr darstellen (da der x3 Wert von beiden ja 0 wäre).
Wie sieht es mit größeren Matritzen aus? Z.b. eine 4x4 Matrix mit Rang 3? Kann ich aus der Zeilenstufenform einer solchen Matrix erkennen, welche 3 Vektoren der ursprünglichen Matrix linear Unabhängig sind?
Sry, dass ich gerade keine Beispiel bei der Hand hab. Hoff ihr könnt mir trotzdem helfen.
|
|
| |
|
> 1. Zeilenstufenform der Matrix
>
> 2. Die Anzahl der Zeilen, die nicht nur aus Nullen
> bestehen, ist die Dimension des Bildes, d.h. die Anzahl der
> linear unabhängigen Vektoren, die die Basis des Bildes
> aufspannen.
Hallo,
ja.
>
> Das bedeutet doch jetzt, dass ich einfach diese Anzahl an
> linear Unabhängigen Spaltenvektoren der ursprünglichen
> Matrix als Basis angeben kann oder?
Ja. Du mußt bloß aufpassen, daß Du wirklich linear unabhängige angibst.
Das kannst Du so machen: mal angenommen, die führenden Elemente der Nichtnullzeilen sind in der 1. und 3. Spalte.
Dann kannst Du den ersten und dritten der ursprunglichen (!!!) Spaltenvektoren als Basis nehmen.
> Das ist bei einer 3x3 Matrix trivial, weil bei Dimension 1
> nimmt man irgendeinen, bei Dimension 2 sucht man sich 2
> raus und muss eben aufpassen, dass gerade diese beiden
> keine Vielfachen voneinander sind und bei Dimension 3 nimmt
> man eben alle 3.
Ja, so kann man's machen.
>
> MUSS ich diese Basisvektoren eigentlich aus der
> ursprünglichen Matrix nehmen, oder kann ich mir - bei
> Dimension 2 einer 3x3 Matrix - z.b. auch zwei unabhängige
> Vektoren aus der Matrix in Zeilenstufenform aussuchen?
Nein, die Zeilen haben mit dem Bild nichts zu tun.
Wenn Du eine nichtquadratische Matrix hast, wird das augenfällig.
> Wie sieht es mit größeren Matritzen aus? Z.b. eine 4x4
> Matrix mit Rang 3? Kann ich aus der Zeilenstufenform einer
> solchen Matrix erkennen, welche 3 Vektoren der
> ursprünglichen Matrix linear Unabhängig sind?
Ja, s. o.
Du kannst gern mal eine Matrix auf ZSF bringen, und versuchen, die Basis des Bildes zu finden, ich (oder jemand) guck' mir das später an.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Di 07.04.2009 | | Autor: | Ikit |
Ok diese Vorgehensweise hab ich auch schon öfter gesehen blos stellt sich mir da eine Frage:
Es steht mir doch frei, beim Gaußschen Eliminationsverfahren (um auf ZSF zu kommen) auch Zeilen zu tauschen. Muss ich mir - wenn ich Zeilen tausch - das dann in diesem Fall "merken", damit ich am Schluss auch die richtigen Vektoren der ursprünglichen Matrix als Basis angeben kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Di 07.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, musst du dir merken. Noch besser nicht vertauschen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Es steht mir doch frei, beim Gaußschen
> Eliminationsverfahren (um auf ZSF zu kommen) auch Zeilen zu
> tauschen. Muss ich mir - wenn ich Zeilen tausch - das dann
> in diesem Fall "merken", damit ich am Schluss auch die
> richtigen Vektoren der ursprünglichen Matrix als Basis
> angeben kann?
Hallo,
nein, das Tauschen von Zeilen mußt Du Dir dafür nicht merken.
Anders sähe es mit dem Spaltentausch aus, von welchem ich generell abrate - weil man sich was merken muß.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Di 07.04.2009 | | Autor: | Ikit |
> Das kannst Du so machen: mal angenommen, die führenden >Elemente der Nichtnullzeilen sind in der 1. und 3. Spalte.
> Dann kannst Du den ersten und dritten der ursprunglichen >(!!!) Spaltenvektoren als Basis nehmen.
Edit: Ich hab mir selber ein Beispiel konstruiert und es jetzt kapiert. danke dir :)
|
|
|
|
