Basis eines Raumes von Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V [mm] \subset [/mm] R[x] der dreidimensionale reelle Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2. Eine Basis von V ist gegeben durch A= [mm] \left\{ 1,x,x^{2} \right\}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass auch [mm] B=\left\{ 2x^{2}-x-1,-2x^{2}+3x+2,-x^{2}+x+1 \right\} [/mm] eine Basis von V ist. |
Hallo zusammen,
Ich bin gerade dabei zu verzweifeln. Eben noch dachte ich, ich hätte so im Allgemeinen alles verstanden, und dann rückt unser Prof. mit dieser Aufgabe an... aber nun gut, hoffentlich könnt ihr mir helfen:
Wie man sich vielleicht denken kann, sind meine Probleme die x'e. Eigentlich müsste ich ja beweisen, dass B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist, aber schon bei der linearen Unabhängigkeit komme ich nicht mehr weiter. Ich dachte mir, ok mache ich aus den Vektoren Linearkombinationen und setze sie gleich Null, allerding kann man sich das Ergebnis ja vorstellen... was is mit den x'en, soll ich einfach nur die Koeffizienten nehmen, oder kann ich für x einsetzen was ich will, oder muss ich was ganz anderes machen? Wär nett wenn ihr mir helfen könntet, da ich beim Erzeugendensystem sicherlich auf ähnliche Probleme stoßen werde.
mfG
Mathezwerg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei V [mm]\subset[/mm] R[x] der dreidimensionale reelle Vektorraum
> der Polynome vom Grad höchstens 2. Eine Basis von V ist
> gegeben durch A= [mm]\left\{ 1,x,x^{2} \right\}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass auch [mm]B=\left\{ 2x^{2}-x-1,-2x^{2}+3x+2,-x^{2}+x+1 \right\}[/mm]
> eine Basis von V ist.
> Hallo zusammen,
> Ich bin gerade dabei zu verzweifeln. Eben noch dachte ich,
> ich hätte so im Allgemeinen alles verstanden, und dann
> rückt unser Prof. mit dieser Aufgabe an...
Hallo,
Deine Verzweiflung kannst Du Dir für andere Situationen des Lebens aufheben, was Du schreibst, klingt nämlich ganz vernünftig, Du hast den richtigen Weg eingeschlagen.
Eigentlich müsste ich ja beweisen, dass B ein
> linear unabhängiges Erzeugendensystem ist, aber schon bei
> der linearen Unabhängigkeit komme ich nicht mehr weiter.
> Ich dachte mir, ok mache ich aus den Vektoren
> Linearkombinationen und setze sie gleich Null,
Blendende Idee. Wir machen das jetzt hier:
Seien a,b,c [mm] \in \IR [/mm] mit
[mm] a(2x^{2}-x-1)+b(-2x^{2}+3x+2)+c(-x^{2}+x+1)=0
[/mm]
Nun sortieren nach Potenzen von x:
[mm] <==>(2a-2b-c)x^2+(-a+3b+c)x+(-a+2b+c)=0
[/mm]
Spätestens jetzt ist der Zeitpunkt gekommen, darüber nachzudenken, was das eigentlich bedeutet, was das steht. Was sagen die x???
Es bedeutet folgendes: Für alle x gilt
[mm] (2a-2b-c)x^2+(-a+3b+c)x+(-a+2b+c)=0
[/mm]
Wenn das aber für alle x gelt, gilt es insbesondere für x=0 und x=1 und x=-1. (Hier habe ich natürlich solche x ausgesucht, mit denen ich leicht etwas über a,b,c erfahre)
Also folgt:
Es gilt
I. [mm] 0=(2a-2b-c)*0^2+(-a+3b+c)*0+(-a+2b+c)=-a+2b+c
[/mm]
und
II. [mm] 0=(2a-2b-c)*1^2+(-a+3b+c)*1+(-a+2b+c)
[/mm]
und
III. [mm] 0=(2a-2b-c)*(-1)^2+(-a+3b+c)*(-1)+(-a+2b+c)
[/mm]
==> a=... und b=... und c=...
(Das kannst Du nun berechnen durch Lösen der drei Gleichungen.)
> da ich beim Erzeugendensystem sicherlich auf ähnliche
> Probleme stoßen werde.
Die Sache mit dem Erzeugendensystem läuft auf einen Koeffizientenvergleich hinaus.
Du willst da ja zeigen, daß Du jede Linearkombination von [mm] (1,x,x^2) [/mm] als Linearkombination von [mm] B=\left\{ 2x^{2}-x-1,-2x^{2}+3x+2,-x^{2}+x+1 \right\} [/mm] darstellen kannst.
Zwei Polynome sind gleich, wenn sie in ihren Koeffizienten übereinstimmen.
Eine Sache noch:
Du weißt ja bereits, daß der VR, den Du betrachtest, die Dimension 3 hat.
Wenn Du zeigst, daß Deine 3 Vektoren ein Erzeugendensystem sind, kannst Du Dir die lineare Unabhängigkeit sparen. Sie müssen dann eine Basis sein.
(Ich würde Dir aber raten, das mit der Unabhängigkeit trotzdem zu durchdenken und durchzuführen. Es kommt immer wieder vor, daß die Unabhängigkeit von Funktionen gezeigt werden soll, und da ist es gut, wenn man weiß, wie man das macht.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 So 07.01.2007 | | Autor: | Mathezwerg |
> Deine Verzweiflung kannst Du Dir für andere Situationen des
> Lebens aufheben, was Du schreibst, klingt nämlich ganz
> vernünftig, Du hast den richtigen Weg eingeschlagen.
Danke für die Ermutigung! :D Bei näherer Betrachtung ist mir jetzt auch aufgefallen, das meine Ansätze schon ganz gut waren.
> ==> a=... und b=... und c=...
> (Das kannst Du nun berechnen durch Lösen der drei
> Gleichungen.)
Wie nicht anders zu erwarten war kam raus, dass a=b=c=0 ist, was der Beweis für die lineare Unabhängigkeit ist.
> Die Sache mit dem Erzeugendensystem läuft auf einen
> Koeffizientenvergleich hinaus.
> Du willst da ja zeigen, daß Du jede Linearkombination von
> [mm](1,x,x^2)[/mm] als Linearkombination von [mm]B=\left\{ 2x^{2}-x-1,-2x^{2}+3x+2,-x^{2}+x+1 \right\}[/mm]
> darstellen kannst.
> Zwei Polynome sind gleich, wenn sie in ihren Koeffizienten
> übereinstimmen.
Danke für den Hinweis. Jetzt bin ich überzeugt, dass ich das ohne Probleme hinkriege und das Studiengeld (hätte ich denn welches bezahlen müssen) gut angelegt gewesen wäre ;)
> Eine Sache noch:
> Du weißt ja bereits, daß der VR, den Du betrachtest, die
> Dimension 3 hat.
> Wenn Du zeigst, daß Deine 3 Vektoren ein Erzeugendensystem
> sind, kannst Du Dir die lineare Unabhängigkeit sparen. Sie
> müssen dann eine Basis sein.
> (Ich würde Dir aber raten, das mit der Unabhängigkeit
> trotzdem zu durchdenken und durchzuführen. Es kommt immer
> wieder vor, daß die Unabhängigkeit von Funktionen gezeigt
> werden soll, und da ist es gut, wenn man weiß, wie man das
> macht.)
Habe ich gemacht und hat mir sehr geholfen. Ich denke mit dererlei Aufgaben werde ich wohl kaum noch Probleme kriegen.
Ich kann dir garnicht genug danken, von daher nochmal GROSSES DANKESCHÖN
mfG Mathezwerg
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> Die Sache mit dem Erzeugendensystem läuft auf einen
> Koeffizientenvergleich hinaus.
> Du willst da ja zeigen, daß Du jede Linearkombination von
> [mm](1,x,x^2)[/mm] als Linearkombination von [mm]B=\left\{ 2x^{2}-x-1,-2x^{2}+3x+2,-x^{2}+x+1 \right\}[/mm]
> darstellen kannst.
> Zwei Polynome sind gleich, wenn sie in ihren Koeffizienten
> übereinstimmen.
Hallo nochmal,
also nur um sicher zu gehen:
Ich habe nun einen Koeffizientenvergleich durchgeführt, indem ich die jeweiligen Koeffizienten von [mm] x^{2}, [/mm] x und 1 von A und B gleichgesetz und nach a,b und c aufgelöst (in eine erweiterte Koeffizientenmatrix eingesetzt und per Gaußschem Elimimationsverfahren umgeformt) habe.
Als Ergebnis habe ich erhalten: a=2, b=0 und c=3. Ich bin relativ sicher das dieses Ergebnis stimmt.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden hab, müsste ich, wenn ich aus den Vektoren von B eine Linearkombination mit den Koeffizienten 2, 0 und und 3 mache, A erhalten, oder? Und das zeigt, dass B ein Erzeugendensystem und somit eine Basis ist.
Wäre toll wenn mir jemand sagen könnte (am liebsten Angela :)) das ich das verstanden habe.
mfG Mathezwerg
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> > Die Sache mit dem Erzeugendensystem läuft auf einen
> > Koeffizientenvergleich hinaus.
> > Du willst da ja zeigen, daß Du jede Linearkombination
> von
> > [mm](1,x,x^2)[/mm] als Linearkombination von [mm]B=\left\{ 2x^{2}-x-1,-2x^{2}+3x+2,-x^{2}+x+1 \right\}[/mm]
> > darstellen kannst.
> > Zwei Polynome sind gleich, wenn sie in ihren
> Koeffizienten
> > übereinstimmen.
>
> Hallo nochmal,
> also nur um sicher zu gehen:
> Ich habe nun einen Koeffizientenvergleich durchgeführt,
> indem ich die jeweiligen Koeffizienten von [mm]x^{2},[/mm] x und 1
> von A und B gleichgesetz und nach a,b und c aufgelöst (in
> eine erweiterte Koeffizientenmatrix eingesetzt und per
> Gaußschem Elimimationsverfahren umgeformt) habe.
> Als Ergebnis habe ich erhalten: a=2, b=0 und c=3. Ich bin
> relativ sicher das dieses Ergebnis stimmt.
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden hab, müsste ich,
> wenn ich aus den Vektoren von B eine Linearkombination mit
> den Koeffizienten 2, 0 und und 3 mache, A erhalten, oder?
> Und das zeigt, dass B ein Erzeugendensystem und somit eine
> Basis ist.
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du das richtig gemacht/verstanden hast, daher beschreibe ich es nochmal detailliert:
Kann man jede Linearkombination von [mm] (x^2,x,1) [/mm] als Linearkombination von [mm] \left\{ 2x^{2}-x-1,-2x^{2}+3x+2,-x^{2}+x+1 \right\} [/mm] darstellen?
D.h. gibt es zu jedem beliebigen A,B,C [mm] \in \IR [/mm] passende a,b,c [mm] \in \IR [/mm] mit
[mm] a(2x^{2}-x-1)+b(-2x^{2}+3x+2)+c(-x^{2}+x+1)=Ax^2+Bx+C
[/mm]
<==> [mm] (2a-2b-c)x^2+(-a+3b+c)x+(-a+2b+c)=Ax^2+B^x+C
[/mm]
Mein Rechenschema
(a b c A B C)
2 -2 -1 1 0 0
-1 3 1 0 1 0
-1 2 1 0 0 1
... ...
1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 -1
0 0 1 1 -2 4
Nun die Interpretation:
Mit
a:=A+C, b:=B-C und c:= A-2B+4C,
erhalte ich
[mm] a(2x^{2}-x-1)+b(-2x^{2}+3x+2)+c(-x^{2}+x+1)
[/mm]
[mm] =(A+C)(2x^{2}-x-1)+(B-C)(-2x^{2}+3x+2)+(A-2B+4C)(-x^{2}+x+1)
[/mm]
[mm] =(2A+2C-2B+2C-A+2B-4C)x^2+(-A-C+3B-3C+A-2B+4C)x+(-A-C+2B-2C+A-2B+4C)
[/mm]
[mm] =Ax^2+Bx+C
[/mm]
Soweit zum konkreten Beispiel.
HÄTTE ich aber nun nach der Umformung so etwas dastehen gehabt
1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 -1
0 0 1 1 -2 4
so könnte ich hieraus ablesen, daß ich nicht jede Linearkombiation von [mm] (x^2, [/mm] x,1) durch meine zu prüfenden Vektoren ausdrücken kann,
sondern nur die Linearkombinationen mit 0=B-C (2.Zeile).
Ich wüßte dann: ich habe kein Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
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hallo angela. habe diesbezüglich noch 2 fragen:
1. um mir das mit dem Koeffizientenvergleich zu sparen, würde es doch reichen zu zeigen dass sich jedes element der basis A als Linearkombination der elemente aus B schreiben lässt, oder??
2. Eigentlich müsste ich doch hier außer der linearen unabhängigkeit der elemnte aus B doch garnichts mehr zeigen. Weiß doch, dass ich mich im dreidimensionalen Vektorraum der Poylome vom Grad höchtens 2 befinde, dass heißt doch wenn meine Basis doch schon drei linear unabhängige elemnte aufweißt bilden die doch auch automatisch eine Basis, oder nicht??
viele Grüße, der mathedepp_No.1
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> 1. um mir das mit dem Koeffizientenvergleich zu sparen,
> würde es doch reichen zu zeigen dass sich jedes element der
> basis A als Linearkombination der elemente aus B schreiben
> lässt, oder??
Ja, so kannst Du das machen. Die Rechnung ist haargenau dieselbe.
Willst Du z.B. wissen, ob sich [mm] x^2 [/mm] darstellen läßt,
hast Du ja dieses Rechenschema, also die Doppelmatrix mit zwei abgeschnittenen Spalten.
2 -2 -1 1
-1 3 1 0
-1 2 1 0
...
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1 , Hieraus kannst du ablesen: mit a=1 und c=1 bekomme ich [mm] x^2.
[/mm]
Für x und 1 entsprechend.
Mit
2 -2 -1 1 0 0
-1 3 1 0 1 0
-1 2 1 0 0 1
... ...
1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 -1
0 0 1 1 -2 4
berechnet man alles simultan.
>
> 2. Eigentlich müsste ich doch hier außer der linearen
> unabhängigkeit der elemnte aus B doch garnichts mehr
> zeigen. Weiß doch, dass ich mich im dreidimensionalen
> Vektorraum der Poylome vom Grad höchtens 2 befinde, dass
> heißt doch wenn meine Basis doch schon drei linear
> unabhängige elemnte aufweißt bilden die doch auch
> automatisch eine Basis, oder nicht??
Ich hatte ähnliches bereits im ersten Post zum Thema erwähnt:
Da man hier weiß, daß wir einen Raum der Dimension 3 beackern,
muß ein Erzeugendensystem, welches aus drei Vektoren besteht, eine Basis sein.
Und haben wir eine Teilmenge von [mm] , [/mm] bestehend aus drei linear unabhängigen Vektoren, so ist diese eine Basis.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
man muss es natürlich nicht unbedingt übers Erzeugendensystem machen:
> 2. Eigentlich müsste ich doch hier außer der linearen
> unabhängigkeit der elemnte aus B doch garnichts mehr
> zeigen. Weiß doch, dass ich mich im dreidimensionalen
> Vektorraum der Poylome vom Grad höchtens 2 befinde, dass
> heißt doch wenn meine Basis doch schon drei linear
> unabhängige elemnte aufweißt bilden die doch auch
> automatisch eine Basis, oder nicht??
genau : es reicht eine maximal linear unabhängige Vektorenmenge zu bestimmen - und hier ist die maximale Anzahl (die Dimension) ja schon bekannt, also reicht es zu überprüfen ob die Vektoren (die die Polynome darstellen) linear unabhängig sind, also die drei Vektoren in eine Matrix schreiben und rang bestimmen (oder determinante), dann ist man fertig...
viele Grüße
DaMenge
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] T^{B}_{A} [/mm] und [mm] T^{A}_{B} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Entschuldigung für die Späte Antwort/neue Frage. Vorerst nochmals danke für die Hilfe, ich hatte natürlich einen Denkfehler, den ich jetzt bemerkt und, was wichtiger ist, verstanden habe und nach erneutem rechnen das gleiche rausbekommen habe wie Angela.
Allerdings hatten wir noch eine weitere Aufgabe, wie man ein paar Zeilen weiter oben sieht, und bei der (selbständigen) Bearbeitung dieser Aufgabe ist mir etwas aufgafallen:
Die Matrix [mm] T^{A}_{B} [/mm] die ich errechnet habe sieht aus wie das Ergebnis der Umformung bei dem Beweis des Erzeugendensystems. Sie sieht also folgendermaßen aus:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 4 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Als zumindest semi-schlauer Mensch hab ich mir gedacht: Das kann zusammenhängen. Immerhin sind beide Schemata/Schemen (Wie ist der Plural von Schema?:)) eigentlich für den gleichen Zweck gedacht, nämlich die Basis B in die Basis A zu überführen. Meine Frage wäre jetzt, ob dies tatsächlich zusammenhängt (wie gesagt semi-schlau).
mfG Mathezwerg
p.s.: Ansich hatte ich vor dem Schreiben dieses Beitrags mehr Fragen, die sich allerdings beim Schreiben der Reihe nach selbst erklärt haben :), Und da die übrig gebliebene Frage nicht wirklich komplex zu beantworten ist reicht mir natürlich ein "Ja, richtig vermutet." oder ein "Nein, das ist nur Zufall/du musst einen Fehler gemacht haben."
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> Bestimmen Sie [mm]T^{B}_{A}[/mm] und [mm]T^{A}_{B}[/mm]
> Die Matrix [mm]T^{A}_{B}[/mm] die ich errechnet habe sieht aus wie
> das Ergebnis der Umformung bei dem Beweis des
> Erzeugendensystems. Sie sieht also folgendermaßen aus:
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 4 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Als zumindest semi-schlauer Mensch hab ich mir gedacht: Das
> kann zusammenhängen. Immerhin sind beide Schemata/Schemen
> (Wie ist der Plural von Schema?:)) eigentlich für den
> gleichen Zweck gedacht, nämlich die Basis B in die Basis A
> zu überführen. Meine Frage wäre jetzt, ob dies tatsächlich
> zusammenhängt (wie gesagt semi-schlau).
Plural Schema = Schemata
> Bestimmen Sie [mm]T^{B}_{A}[/mm] und [mm]T^{A}_{B}[/mm]
transponierte Matrix.
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> Bestimmen Sie [mm]T^{B}_{A}[/mm] und [mm]T^{A}_{B}[/mm]
> Als zumindest semi-schlauer Mensch hab ich mir gedacht: Das
> kann zusammenhängen. Immerhin sind beide Schemata/Schemen
> (Wie ist der Plural von Schema?:)) eigentlich für den
> gleichen Zweck gedacht, nämlich die Basis B in die Basis A
> zu überführen. Meine Frage wäre jetzt, ob dies tatsächlich
> zusammenhängt (wie gesagt semi-schlau).
Hallo,
ja es hängt zusammen.
Mit dem Rechenschema hat man die Inverse Matrix der Startmatrix bestimmt.
Und diese inverse Matrix beschreibt den Basiswechsel in die andere Richtung. Wechsel hin, WeCHSEL ZURÜCK, nichts passiert (Einheitsmatrix)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Di 09.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
zum Thema schau doch mal diesen artikel hier an :  Transformationsmatrix,
da wird u.a. erklärt, dass wenn man die Vektoren von B einfach als Spalten in eine rMatrix schreibt, dass dies gerade [mm] $T^B_A$ [/mm] ist.
Weiterhin wird erklärt/gesagt, dass [mm] $T^A_B=(T^B_A)^{-1}$
[/mm]
und letzteres hast du ja gerade bei deinen Zwischenschritten berechnet, schau doch mal hier : MatrixInvertierungGaussJordan
(da wirst du dein verwendetes Vefahren wieder erkennen)
übrigens auch an dich noch der Hinweis, dass du hier scheinbar nicht allein mit deinen Aufgaben bist - es gibt noch zwei andere, die öfter die gleichen Fragen stellen, wie du - wenn du auf deren Seite gehst, kannst du dir auch die Liste ihrer Fragen/Beiträge anschauen - so kann man vermeiden, dass Fragen doppelt gestellt und bearbeitet werden.
für die Frage hier, schau mal : HIER und HIER
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
Tut mir Leid, das mit den anderen Beiträgen hatte ich nicht gesehen. Ich werde in Zukunft darauf achten, bevor ich eine neue Frage stelle. Doch gestatte mir noch eine letzte Frage zu dieser Diskussion hier:
> da wird u.a. erklärt, dass wenn man die Vektoren von B
> einfach als Spalten in eine rMatrix schreibt, dass dies
> gerade [mm]T^B_A[/mm] ist.
Also das verwirrt mich jetzt ein wenig... sind das nicht nur die Koeffizienten der Vektoren? Oder hab ich da irgend einen Knick in der Optik? Wenn nicht, dürften die gesuchten Matrizen diejenigen aus dem Erzeugendensystem-Beweis nur transponiert seien, hoffe ich... ;D
mfG Mathezwerg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Mi 10.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
klar kannst du weiterfragen - war nur als Hinweis gedacht
> Also das verwirrt mich jetzt ein wenig... sind das nicht
> nur die Koeffizienten der Vektoren? Oder hab ich da irgend
> einen Knick in der Optik?
Hüh? du meinst die Koeffizienten der POLYNOME stehen in der Matrix?
Aber die Koeffizienten der Polynome SIND doch die Vektoren...
also das Polynom [mm] $2x^2-x-1$ [/mm] entspricht dem Vektor [mm] $\vektor{2\\-1\\-1}$ [/mm] bzgl der Basis A, diese drei Vektoren schreibst du auch als Spalten in die Matrix [mm] $T^B_A$ [/mm] (, warum steht im Artikel)
> Wenn nicht, dürften die gesuchten
> Matrizen diejenigen aus dem Erzeugendensystem-Beweis nur
> transponiert seien, hoffe ich... ;D
du hast doch die Matrix [mm] $T^B_A$ [/mm] (wie eben beschrieben) mit hilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens (Einheitsmatrix daneben schreiben usw. siehe entspr. Link) invertiert und genau die Matrix raus, die du oben in der Frage zu den TrafoMatrizen gestellt hast - dies ist nämlich gerade [mm] $T^A_B$
[/mm]
wenn wir gerade aneinander vorbei reden, musst du nochmal sauber aufschreiben, welche Matrix du jetzt genau meinst und was du an ihr ändern willst...
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
Tut mir Leid ich war gestern abebd ein wenig müde. Heute ist es mir wieder klar, vielen Dank für all die Hilfe.
> > Also das verwirrt mich jetzt ein wenig... sind das nicht
> > nur die Koeffizienten der Vektoren? Oder hab ich da irgend
> > einen Knick in der Optik?
Ja hatte ich.
> > Wenn nicht, dürften die gesuchten
> > Matrizen diejenigen aus dem Erzeugendensystem-Beweis nur
> > transponiert seien, hoffe ich... ;D
Nein, ich dachte aus irgendeinem Grund, das ich die Vektoren nich als Spalten, sondern als Zeilen in die Matrixh gesetzt habe... fragt mich nicht warum
Also dann müssten dem Artikel nach
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 4 \\ \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} [/mm]
die gesuchten Matrizen sein. Eine kleine Frage wäre jetzt nurnoch, welche welche ist o.o'
mfG Mathezwerg
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> Also dann müssten dem Artikel nach
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 4 \\ \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}[/mm]
> die gesuchten Matrizen sein. Eine kleine Frage wäre jetzt
> nurnoch, welche welche ist o.o'
Hallo,
das weiß ich nicht, weil ich nicht weiß, was Du mit o.o' meinst.
Ich antworte aber trotzdem.
Ja, die beiden Matrizen sind die gesuchten.
[mm] \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} [/mm] ist die Matrix, welche B nach A transformiert.
Gruß v. Angela
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Hallo,
> das weiß ich nicht, weil ich nicht weiß, was Du mit o.o'
> meinst.
mit o.o' sind zwei Augen mit einer Nase in der Mitte und einem Schweißtropfen rechts über den Augen gemeint .
Meine Frage bezog sich darauf, wekche Matrix [mm] T_{B}^{A} [/mm] und welche [mm] T_{A}^{B} [/mm] ist.
mfG Mathezwerg
p.s.: Die Antwort ist jetzt nicht sooo wichtig habs so gemacht wie ich es glaube und wenn's falsch war krieg ich nicht viele Punkte abgezogen und weiß es nächstes mal besser ;)
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> mit o.o' sind zwei Augen mit einer Nase in der Mitte und
> einem Schweißtropfen rechts über den Augen gemeint .
Achsoooooooooo!
Ich beherrsche diese Sprache nicht so gut...
> Meine Frage bezog sich darauf, wekche Matrix [mm]T_{B}^{A}[/mm] und
> welche [mm]T_{A}^{B}[/mm] ist.
Na, da habe ich dann aber in Worten tatsächlich Antwort auf die richtige Frage gegeben.
Nun in [mm] Buchstaben:T_{A}^{B}
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Mathezwerg |
Hallo, (ein letztes mal )
> Nun in [mm]Buchstaben:T_{A}^{B}[/mm]
gut, genauso habe ich es erwartet und gemacht.
Da die Aufgaben abgegeben sind und ich vorallem alles an dieser Aufgabe verstanden hab, ist das hier mein letzter Beitrag zu diesem Thema.
Zum Schluss möchte ich mich nochmal bei allen Helfern bedanken, und auch bei den anderen Fragenstellern, da sie auch geholfen haben, einen guten Überblick über dieses Thema zu bekommen. In diesem Sinne:
VIELEN DANK!
mfG Mathezwerg
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:57 Do 11.01.2007 | | Autor: | Spiel |
Hallo Angela,(und auch Alle)
> > > [mm](1,x,x^2)[/mm] als Linearkombination von [mm]B=\left\{ 2x^{2}-x-1,-2x^{2}+3x+2,-x^{2}+x+1 \right\}[/mm]
> > > darstellen kannst.
> Kann man jede Linearkombination von [mm](x^2,x,1)[/mm] als
Gibt es einen Grund, dass du die Reihenfoge der Vektoren geändert hast? Oder ist es egal.(Ich weiss, dass es normaleweise egal ist,aber...)
> Mein Rechenschema
>
> (a b c A B C)
> 2 -2 -1 1 0 0
> -1 3 1 0 1 0
> -1 2 1 0 0 1
> ... ...
> 1 0 0 1 0 1
> 0 1 0 0 1 -1
> 0 0 1 1 -2 4
mit nicht-geänderten Reihen-Folge bekomme ich statt
1 0 1
0 1-1
1-2 4
diese
1 0 1
-1 1 0
4-2 1
ist das dann auch egal?(dann sehen die Transformationsmatrizen auch anderes aus)
Vielen Dank im Vorraus
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Hallo,
im Prinzip (!) ist die Reihenfolge egal.
Daß ich sie geändert habe, ist die Macht der Gewohnheit, ein tiefer Sinn steckt nicht dahinter.
Aaaaaber: wenn man sich einmal für eine Reihenfolge entschieden hat, muß man natürlich im weiteren Verlauf dabei bleiben, und von daher wäre es klüger gewesen, hätte ich die Reihenfolge beibehalten.
Das Ganze hat noch ein grundsätzliches Problem:
Die Basis ist bei manchen Autoren definiert als Menge von Vektoren (also ohne feste Reihenfolge), bei anderen Autoren ist eine Basis ein geordnetes n-Tupel von Vektoren, so daß hier die beiden Basen, die ich verwendet habe, verschieden wären. Mit der Folge, daß das, was ich getan habe, hier falsch wäre. (Ich habe zufälligerweise Glück gehabt: Mathezwergs Basis war als Menge angegeben...)
Prinzipiell ist das mit den Tupeln schon sehr sinnvoll, den für Basistransformationen braucht man eine feste Reihenfolge.
Gruß v. Angela
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