Basis eines Vektorraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] {(x_1,x_2,x_3)\in \IR^3: x_1+3x_2+2x_4=0 und 2x_1+x_2+x_3=0}
[/mm]
Bestimme eine Basis! |
Also Lösung habe ich die möglichen Basen:
[mm] v_1=(3,-1,-5,0)
[/mm]
[mm] v_2=(-1,1,1,-1)
[/mm]
Wie kommt man darauf?
Ich habe folgendes LGS gebildet und versucht zu lösen:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & 0 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 1 & -8 }
[/mm]
Hier sind 2 freie Parameter:
[mm] x_4=a
[/mm]
[mm] x_3=b
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{b}{5}-\bruch{8}{5}a
[/mm]
[mm] x_1=-\bruch{3}{5}b+\bruch{19}{5}a
[/mm]
Dann einmal a=1 und b=0 und a=0 und b=1
Aber so erhalte ich nicht die Basen aus der Lösung.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Do 22.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]{(x_1,x_2,x_3)\in \IR^3: x_1+3x_2+2x_4=0 und 2x_1+x_2+x_3=0}[/mm]
>
> Bestimme eine Basis!
> Also Lösung habe ich die möglichen Basen:
>
> [mm]v_1=(3,-1,-5,0)[/mm]
> [mm]v_2=(-1,1,1,-1)[/mm]
>
> Wie kommt man darauf?
> Ich habe folgendes LGS gebildet und versucht zu lösen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & 0 }[/mm] -> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 1 & -8 }[/mm]
>
> Hier sind 2 freie Parameter:
> [mm]x_4=a[/mm]
> [mm]x_3=b[/mm]
>
> [mm]x_2=\bruch{b}{5}-\bruch{8}{5}a[/mm]
>
> [mm]x_1=-\bruch{3}{5}b+\bruch{19}{5}a[/mm]
>
> Dann einmal a=1 und b=0 und a=0 und b=1
>
> Aber so erhalte ich nicht die Basen aus der Lösung.
1. Bei [mm] x_1 [/mm] hast Du Dich verrechnet.
2. Eine Basis eines Vektorraumes ist doch nicht eindeutig bestimmt !
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Danke, ich hab den Fehler bei [mm] x_1 [/mm] gefunden.
Aber das Vorgehen zur Bestimmung einer Basis ist soweit ok?
Dann habe ich noch eine Frage: Es soll eine Basis von
[mm] Lin(x^2,x^2+x,x^2+1,x^2+x+1,x^7+x^5)\in\IR[x] [/mm] gefunden werden.
Eine mögliche Basis ist:
[mm] B=(x^2,x^2+x,x^2+1,x^7+x^5)
[/mm]
warum kann ich hier [mm] x^2+x+1 [/mm] weglassen?
Es muss gezeigt werden, dass Lineare Unabhängigkeit vorliegt.
[mm] X^7+x^5\in Lin(x^2,x^2+x,x^2+1) [/mm]
Warum gilt das?
[mm] a*x^2+b*(x^2+x)+c*(x^2+1)=0
[/mm]
[mm] (a+b+c)*x^2+b*x+c*1=0
[/mm]
a=b=c=0 also linear unabhängig.
(Muss ich immer Lineare Unabhängigkeit zeigen, wenn es darum geht eine Basis zu bestimmen??)
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Do 22.03.2012 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Mathegirl
> Danke, ich hab den Fehler bei [mm]x_1[/mm] gefunden.
>
> Aber das Vorgehen zur Bestimmung einer Basis ist soweit
> ok?
>
>
> Dann habe ich noch eine Frage: Es soll eine Basis von
> [mm]Lin(x^2,x^2+x,x^2+1,x^2+x+1,x^7+x^5)\in\IR[x][/mm] gefunden
> werden.
>
> Eine mögliche Basis ist:
> [mm]B=(x^2,x^2+x,x^2+1,x^7+x^5)[/mm]
>
> warum kann ich hier [mm]x^2+x+1[/mm] weglassen?
Du kannst [mm] x^2+x+1 [/mm] als Linearkombination von [mm] x^2, x^2+x [/mm] und [mm] x^2+1 [/mm] darstellen. Findest Du die Kombination?
>
> Es muss gezeigt werden, dass Lineare Unabhängigkeit
> vorliegt.
>
> [mm]X^7+x^5\in Lin(x^2,x^2+x,x^2+1)[/mm]
>
> Warum gilt das?
Das gilt nicht. Deshalb musst Du ja [mm] x^5 [/mm] und [mm] x^7 [/mm] mit in die Basis nehmen.
>
> [mm]a*x^2+b*(x^2+x)+c*(x^2+1)=0[/mm]
> [mm](a+b+c)*x^2+b*x+c*1=0[/mm]
>
> a=b=c=0 also linear unabhängig.
>
> (Muss ich immer Lineare Unabhängigkeit zeigen, wenn es
> darum geht eine Basis zu bestimmen??
Ja, die lineare Unabhängigkeit ist wesentlicher Bestandteil der Definition. Aber Du musst die lineare Unabhängigkeit aller Basiselemente bestimmen, nicht nur die der ersten drei.
Gruß
Sigrid
>
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Do 22.03.2012 | | Autor: | davux |
Hallo Mathegirl,
da ist ein Fehler in deiner Aufgabestellung. Es müsste doch [mm] $(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\IR^4$.
[/mm]
Davon ab habe ich heute eine Aufgabe gelesen, die dich in diesem Zusammenhang vielleicht interessieren könnte.
"Angenommen Sie haben ein homogenes lineares Gleichungssystem $Ax=0$, welches in Zeilenstufenform ist. Weiterhin hat das LGS n Unbekannte und r (nicht Null) lineare Gleichungen.
Geben Sie eine Methode an um eine Basis des Lösungsraums W des LGS zu erhalten."
Das System hat $n-r$ freie Variablen [mm] $x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_{n-r}}$. [/mm] Eine Lösung [mm] v_j [/mm] erhält man, indem man [mm] x_{i_j}=1 [/mm] (oder eine beliebige andere Konstante ungleich Null) setzt und die restlichen freien Variablen gleich Null. Dann stellen die Lösungen [mm] v_1,v_2,...v_{n-r} [/mm] eine Basis des Lösungensraumes dar. Dann gilt $dim(W)=n-r$.
Das hast du folgerichtig angewandt, aber wie Fred bereits bemerkt hat, stimmt bei [mm] x_1, x_2 [/mm] etwas nicht. Du hast die Matrix nicht passend zum LGS erstellt. Die letzte Komponente der ersten Zeile stimmt nicht mit dem Koeffizienten der ersten Gleichung aus der Aufgabenstellung überein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Do 22.03.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Oh danke für den Hinweis, da hab ich tatsächlich was falsches in der ersten Zeile geschrieben!
dann ist jetzt sowas alles klar! 
MfG
Mathegirl
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