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| Aufgabe | Gegeben sind im [mm] $R^5$ [/mm] die Vektoren
[mm] $v_1 [/mm] = (0,0,0,2,-1)$
[mm] $v_2 [/mm] = (0,1,-2,1,0)$
[mm] $v_3 [/mm] = (0,-1,2,1,-1)$
[mm] $v_4= [/mm] (0,0,0,1,2)$
Ermitteln Sie eine Basis von $ W = [mm] span [/mm] $. |
Okay..
1) Wenn die Basis von W gesucht ist, dann suche ich also die maximale Menge linear unabhängiger Vektoren, mit denen ich (als Linearkombination) alle Linearkombinationen von W erhalten kann, denn [mm] $span(v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] = [mm] \{a_1v_1, a_2v_2, a_3v_3, a_4v_4; a_i \in R\}$ [/mm] ?
2) Die Lösung geht nun so vor, dass zuerst die Matrix A aufgestellt wird:
$
[mm] \begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 2 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2
\end{matrix}
[/mm]
$
Diese wird mit Hilfe des Gaußschen Eliminierungsverfahrens gelöst.
Am Ende erhält man
$
[mm] \begin{matrix}
0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}
[/mm]
$
Daraus wird gefolgert:
Eine Basis von W ist gegeben durch
[mm] $a_1 [/mm] = (0,1,-2,1,0) = [mm] v_2$
[/mm]
[mm] $a_2 [/mm] = (0,0,0,1,2) = [mm] v_4$
[/mm]
[mm] $a_3 [/mm] = (0,0,0,0,-5) $
3)
Wieso wurden hier die Zeilen und Spalten vertauscht?!
[mm] $v_1 [/mm] = (0,0,0,2,-1) $ heißt doch: die [mm] $x_1$Koordinate [/mm] ist 0, ... die [mm] $x_4$Koordinate [/mm] 2, ...
D.h. für die lineare (Un)Abhängigkeit müsste ich ein lineares Gleichungssystem betrachten, das so aussieht:
[mm] $k_1*0 [/mm] + [mm] k_2*0 [/mm] + [mm] k_3*0 [/mm] + [mm] k_4*0 [/mm] = 0$
[mm] $k_1*0 [/mm] + [mm] k_2*1 [/mm] + [mm] k_3*-1 [/mm] + [mm] k_4*0 [/mm] = 0$
...
[mm] $k_1*-1 [/mm] + [mm] k_2*0 [/mm] + [mm] k_3*-1 [/mm] + [mm] k_4*2 [/mm] = 0$
...
4.) Wieso erhalte ich, wenn ich einen Vektor als Zeile schreibe, nach dem Lösen direkt die drei Basisvektoren?
5.) Wenn ich das GLS unter 3) löse, dann weiß ich offenbar nur, dass die untersuchten Vektoren (nicht) linear abhängig sind.. ?!
Danke! =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind im [mm]R^5[/mm] die Vektoren
>
> [mm]v_1 = (0,0,0,2,-1)[/mm]
> [mm]v_2 = (0,1,-2,1,0)[/mm]
> [mm]v_3 = (0,-1,2,1,-1)[/mm]
>
> [mm]v_4= (0,0,0,1,2)[/mm]
>
> Ermitteln Sie eine Basis von [mm]W = span [/mm].
>
>
> Okay..
>
> 1) Wenn die Basis von W gesucht ist, dann suche ich also
> die maximale Menge linear unabhängiger Vektoren, mit denen
> ich (als Linearkombination) alle Linearkombinationen von W
> erhalten kann, denn [mm]span(v_1, v_2, v_3, v_4) = \{a_1v_1, a_2v_2, a_3v_3, a_4v_4; a_i \in R\}[/mm]
> ?
>
> 2) Die Lösung geht nun so vor, dass zuerst die Matrix A
> aufgestellt wird:
>
> $
> [mm]\begin{matrix}
0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 2 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2
\end{matrix}[/mm]
>
> $
>
> Diese wird mit Hilfe des Gaußschen Eliminierungsverfahrens
> gelöst.
> Am Ende erhält man
>
> $
> [mm]\begin{matrix}
0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}[/mm]
>
> $
>
> Daraus wird gefolgert:
> Eine Basis von W ist gegeben durch
> [mm]a_1 = (0,1,-2,1,0) = v_2[/mm]
> [mm]a_2 = (0,0,0,1,2) = v_4[/mm]
> [mm]a_3 = (0,0,0,0,-5)[/mm]
>
> 3)
> Wieso wurden hier die Zeilen und Spalten vertauscht?!
Ich sehe nicht , dass das gemacht wurde, jedenfaölls wurden keine Spalten vertauscht.
>
> [mm]v_1 = (0,0,0,2,-1)[/mm] heißt doch: die [mm]x_1[/mm]Koordinate ist 0,
> ... die [mm]x_4[/mm]Koordinate 2, ...
Ja
>
> D.h. für die lineare (Un)Abhängigkeit müsste ich ein
> lineares Gleichungssystem betrachten, das so aussieht:
>
> [mm]k_1*0 + k_2*0 + k_3*0 + k_4*0 = 0[/mm]
> [mm]k_1*0 + k_2*1 + k_3*-1 + k_4*0 = 0[/mm]
>
> ...
> [mm]k_1*-1 + k_2*0 + k_3*-1 + k_4*2 = 0[/mm]
Wie kommst Du auf dieses LGS ????
>
> ...
>
> 4.) Wieso erhalte ich, wenn ich einen Vektor als Zeile
> schreibe, nach dem Lösen direkt die drei Basisvektoren?
Was meinst Du damit ?
>
> 5.) Wenn ich das GLS unter 3) löse, dann weiß ich
> offenbar nur, dass die untersuchten Vektoren (nicht) linear
> abhängig sind.. ?!
Das LGS unter 3) ist mir ein Rätsel .....
FRED
>
> Danke! =)
>
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Hallo fred,
ich hatte den Beitrag betrachtet:
https://matheraum.de/forum/Basis_Bestimmen/t380015
jeweils die [mm] $x_i$-Koordinaten [/mm] werden dort nebeneinander geschrieben. Die rechte Spalte ist der Nullvektor.
Geprüft wird doch in diesem Beitrag dann damit, ob und für welche k,l,m,n
k*1 2*l -3*m 1*n = 0
k*2 1*l 0*m -1*n = 0
1*k -1*l 3*m -2*n = 0
0*k 1*l -2*m 1*n = 0
lösbar ist.
Am Ende ergibt das zwei Zeilen ungleich Null und zwei Nullzeilen.
Daraus wird geschlossen, dass die Vektoren [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] eine Basis bilden.
Und das habe ich nicht verstanden. Denn im dortigen Beispiel ist [mm] $a_1$ [/mm] die erste SPALTE, nicht die erste ZEILE?
Du schreibst:
> Ich sehe nicht , dass das gemacht wurde, jedenfaölls wurden keine Spalten vertauscht.
Aber jeder Vektor wurde doch in der Matrix A als Zeile geschrieben, nicht als Spalte?
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Hallo,
> Aber jeder Vektor wurde doch in der Matrix A als Zeile
> geschrieben, nicht als Spalte?
Naja es ist ja auch Egal, der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Linear unabhängigen Spalten bzw. Zeilenvektoren.
Es gilt aber auch Zelenrang = Spaltenrang, also ist es eigentlich egal ob du die Vektoren als Spalten oder Zeilen schreibst.
Allerdings bin ich mir hierbei nicht ganz sicher:
> Diese wird mit Hilfe des Gaußschen Eliminierungsverfahrens
> gelöst.
> Am Ende erhält man
>
> $
> [mm]\begin{matrix}
0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}[/mm]
>
> $
>
> Daraus wird gefolgert:
> Eine Basis von W ist gegeben durch
> [mm]a_1 = (0,1,-2,1,0) = v_2[/mm]
> [mm]a_2 = (0,0,0,1,2) = v_4[/mm]
> [mm]a_3 = (0,0,0,0,-5)[/mm]
>
Ich hatte das so gelernt dass die Zeilenstufenform dir nur sagt welche Vektoren lin. unabhängig sind, aber nicht das die Vektoren aus der ZSF auch die Basis angeben. Ich würde sagen die Basis ist:
[mm]v_1 = (0,0,0,2,-1)[/mm]
[mm]v_2 = (0,1,-2,1,0)[/mm]
[mm]v_3 = (0,-1,2,1,-1)[/mm]
Gruß helicopter
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>Allerdings bin ich mir hierbei nicht ganz sicher:
Weiß jemand, ob das so i.d.R. für alle Aufgaben funktioniert?
Oder ist das so?:
>Ich hatte das so gelernt dass die Zeilenstufenform dir nur sagt welche Vektoren lin. unabhängig sind, aber nicht das die Vektoren aus der ZSF auch die Basis angeben. Ich würde sagen die Basis ist:
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Hallo,
es geht also darum, wie man eine Basis des von vorgegebenen Vektoren aufgespannten Raumes bestimmen kann.
Du hattest 4 Zeilenvektoren angegeben? Sollen das wirklich Zeilenvektoren sein?
Wenn ja:
so, wie Du es gemacht hast. Zeilen als Zeilen in eine Matrix, auf ZSF bringen, die Nichtnullzeilen, die Du am Ende bekommst, sind eine Basis des aufgespannten Raumes.
Spaltenvektoren:
Methode 1:
Spalten in eine Matrix stellen
Matrix transponieren
auf Zeilenstufenform bringen
wieder transponieren
In den Spalten steht nun eine Basis des aufgespannten Raumes.
Methode 2:
Spalten in eine Matrix stellen
auf Zeilenstufenform bringen
führende Elemente der Nichtnullzeilen markieren.
Aufschreiben, in welchen Spalten die führenden Elemente stehen.
In den entsprechenden Spalten der Ausgangsmatrix stehen die Vektoren einer Basis des aufgespannten Raumes.
Beispiel:
Spalten in Matrix ergibt
[mm] \begin{bmatrix} -3 & -6 & -6 & -9 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 & 2 \\ -4 & -8 & 2 & 8 & -7 \end{bmatrix}
[/mm]
Zeilenstufenform
[mm] \begin{bmatrix}
\red{1} & 2 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & \red{1} & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \red{1}
\end{bmatrix}
[/mm]
Die Spalten der Ursprungsmatrix, in denen markierte Elemente stehen, sind eine Basis des aufgespannten Raumes,
hier: [mm] \vektor{-3\\1\\-4}, \vektor{-6\\0\\2}, \vektor{0\\2\\-7} [/mm] ist eine (!) Basis des aufgespannten Raumes.
Hier sieht man, daß der aufgespannte Raum der [mm] \IR^3 [/mm] ist, ich könnte natürlich auch die Standardbasis angeben. Aber ich wollte ja zeigen, wie man ohne nachzudenken zu einer Basis kommt.
Es gibt Fragestellungen, bei denen die 2.Methode die bessere ist, wenn man z.B. sagen soll, welche der gegebenen Vektoren zusammen eine Basis bilden.
LG Angela
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