Basis und Dimension bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Fr 12.01.2007 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Untersuchen Sie zunächst, ob es sich jeweils um Unterräume von [mm] \IR^{5} [/mm] handelt und bestimmen Sie ggf. die Dimensionen (durch Konstruktion einer Basis, Nachweis der Basiseigenschaft).
U1 = {(a1, . . . , a5) / [mm] \summe_{i=0}^{5} [/mm] = 0 } |
Hallo zusammen!
Wer kann mir denn mal beim überprüfen meines Lösungsweges unter die Arme greifen? Irgendwas läuft da nämlich schief und ich weiß nicht so recht, wo mein Denkfehler liegt.
Ich habe zunächst die Unterraumkriterien nachgeweisen: Ist ein meiner Meinung nach auch einer.
Dann bin ich davon ausgegangen, dass man als Basis eine Menge der Lösungen (a1,...,a5) der Gleichung a1 + a2 + a3+ a4 + a5 = 0 sucht. Demnach sind die freien Variablen a2, a3, a4 und a5.
Ich setzte nun:
1. a2 = 1, a3 = 0, a4 = 0, a5 = 0
2. a2 = 0, a3 = 1, a4 = 0, a5 = 0
3. a2 = 0, a3 = 0, a4 = 1, a5 = 0
4. a2 = 0, a3 = 0, a4 = 0, a5 = 1
und erhalte als Lösung die Vektoren:
v1 = (-1,1,0,0,0), v2 = (-1,0,1,0,0), v3 = (-1,0,0,1,0), v4 = (-1,0,0,0,1).
Diese Vektoren müssten ja jetzt eigentlich eine Basis von U1 bilden.
Wenn ich aber die lineare Unabhängigkeit mit Hilfe eine Matrix und dem Gaußalgorithmus prüfe, erhalte ich immer eine Nullzeile. Daraus würde aber lineare Abhängigkeit folgen und nix ist mit meiner Basis.
Also aus
[mm] \pmat{ -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
folgt nach Umformung irgenwann
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Was läuft da nur falsch?!! Habe ich mich nur verrechnet oder ist mein Ansatz schon völlig falsch?
Ich bin völlig verzweifelt und hoffe auf eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Fr 12.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo PixCell,
> Wenn ich aber die lineare Unabhängigkeit mit Hilfe eine
> Matrix und dem Gaußalgorithmus prüfe, erhalte ich immer
> eine Nullzeile. Daraus würde aber lineare Abhängigkeit
> folgen und nix ist mit meiner Basis.
> Also aus
> [mm]\pmat{ -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> folgt nach Umformung irgenwann
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Was läuft da nur falsch?!! Habe ich mich nur verrechnet
> oder ist mein Ansatz schon völlig falsch?
Dein Ansatz ist eigentlich schon ganz richtig. Allerdings willst Du, so wie Du es aufschreibst, ja die Dimension des Spaltenraumes von
[mm]\pmat{ -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
bestimmen und nicht die des Zeilenraumes. Du mußt hier also entweder mit Spaltenumformungen statt mit Zeilenumformungen arbeiten oder die Vektoren als Zeilen in die Matrix schreiben (also die obige Matrix transponieren). Dann kommst Du auch sehr einfach auf eine reduzierte Spalten- (bzw. Zeilen-) stufenform ohne Nullspalte (bzw. -zeile).
Hoffe, das hilft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Sa 13.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Und wie das hilft!
Ich war nämlich schon ganz unglücklich, weil mein schöner Lösungsweg falsch sein könnte.
Ich werde das jetzt direkt mal ausprobieren.
Vielen Dank nach Niedersachsen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Sa 13.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
will meinen Senf auch noch schnell dazu geben:
Also dein Vorgehen war vollkommen richtig - du hast das ergebnis nur falsch interpretiert !
Du hast doch 4 Basisvektoren gefunden
(ich hoffe, du weisst, warum das mit den Einsen richtig ist...)
wenn du die jetzt in eine 5x4 Matrix schreibst und schauen willst, ob sie linear unabhaengig sind, muss natuerlich auch der rang 4 rauskommen.
(4 Basisvektoren koennen nicht rang 5 haben^^)
und weil zeilenrang=spaltenrang ist es auch egal, ob da eine nullzeile steht, solange der rang der matrix 4 ist.
(die nullzeile sagt hier nur aus, dass eine deiner komponenten von den anderen abhaengig ist, aber das hast du ja von anfang an gewusst)
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Sa 13.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo DaMenge!
Obwohl ich mit der Hilfe des unbekannten Kollegen schon ganz gut weiter kam, hat mir deine Erklärung das Ganze jetzt richtig plausibel gemacht.
Unsere Übungen laufen leider immer etwas wüst ab, d.h. wir besprechen lediglich Lösungen und erarbeiten keine Musteraufgaben, so dass ich mir immer aus allen möglichen Büchern was zusammensuche, ohne so wirklich zu wissen, was ich da genau tue. Gut, dass ich wenigstens hier Rückfragen stellen kann!!
Vielen Dank auch an Dich!!! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
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