Basis vom VR der Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:06 Di 27.05.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Es sei [mm] P_n [/mm] der Vektorraum aller Polynome in der reellen Variablen x vom Grad [mm] \leq [/mm] n. Es sei [mm] $D_n [/mm] : [mm] P_n \rightarrow P_{n-1}$ [/mm] die Differentiation und [mm] $I_n [/mm] : [mm] P_n \rightarrow P_{n+1}$ [/mm] die Abbildung [mm] $\sum_{i=0}^n a_ix^i \mapsto \sum_{i=1}^n\frac{a_i}{i+1}x^{i+1}$.
[/mm]
a) Zeigen Sie: [mm] $(x^0,...,x^n) [/mm] $ ist Basis von [mm] P_n.
[/mm]
b) Stellen Sie für [mm] I_n, D_n [/mm] und [mm] $I_{n-1}\circ D_n, D_{n+1}\circ I_n$ [/mm] die darstellende Matrix bezüglich der Basen aus a) auf.
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Hallo zusammen,
ich brauche mal wieder eure Hilfe. Bei dieser Aufgabe fehlt mir so recht der Ansatz. Mit den Potenzen zu rechnen, scheint mir recht kompliziert.
Viele Grüße,
Palonina
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> Es sei [mm]P_n[/mm] der Vektorraum aller Polynome in der reellen
> Variablen x vom Grad [mm]\leq[/mm] n. Es sei [mm]D_n : P_n \rightarrow P_{n-1}[/mm]
> die Differentiation und [mm]I_n : P_n \rightarrow P_{n+1}[/mm] die
> Abbildung [mm]\sum_{i=0}^n a_ix^i \mapsto \sum_{i=1}^n\frac{a_i}{i+1}x^{i+1}[/mm].
>
> a) Zeigen Sie: [mm](x^0,...,x^n)[/mm] ist Basis von [mm]P_n.[/mm]
> b) Stellen Sie für [mm]I_n, D_n[/mm] und [mm]I_{n-1}\circ D_n, D_{n+1}\circ I_n[/mm]
> die darstellende Matrix bezüglich der Basen aus a) auf.
>
> ich brauche mal wieder eure Hilfe. Bei dieser Aufgabe fehlt
> mir so recht der Ansatz. Mit den Potenzen zu rechnen,
> scheint mir recht kompliziert.
Hallo,
wie liegt Dein Problem genau?
Daß das Rechnen mit Potenzen Dir kompliziert erscheint, bietet keinen rechten Ansatzpunkt für Hilfe. Außerdem gehe ich davon aus, daß Du mit Potenzen rechnen kannst, schließlich wirst Du ja irgendwie durch die Mittelstufe gekommen sein.
zu a)
Was ist eine Basis? Was ist folglich zu zeigen?
(Die Umsetzung kann man ja später besprechen.)
zu b)
Was ist prinzipiell zu tun, wenn man die darstellende Matrix einer linearen Abbildung aufstellen möchte?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Di 27.05.2008 | | Autor: | Palonina |
> zu a)
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> Was ist eine Basis? Was ist folglich zu zeigen?
>
> (Die Umsetzung kann man ja später besprechen.)
>
Ich muss zeigen, dass die Vektoren [mm] (x^0,...,x^n) [/mm] linear unabhängig sind, dann sind sie Basis von [mm] P_n.
[/mm]
Dazu habe ich jetzt mal die Matrix
[mm] \pmat{x_1&x_1^2& ... &x_1^n\\ x_2&x_2^2& ... &x_2^n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_n&x_n^2& ... &x_n^n }
[/mm]
aufgestellt. Wenn das homogene Gleichungssystem nur die triviale Lösung besitzt, sind die Vektoren l.u.
Stimmt der Ansatz so? Wie rechne ich dann weiter?
Bei b) muss ich dann die Basisvektoren mit den gegebenen Abbildungen abbilden, also [mm] D_n(x^i)... [/mm]
Gruß,
Palonina
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> > zu a)
> >
> > Was ist eine Basis? Was ist folglich zu zeigen?
> >
> > (Die Umsetzung kann man ja später besprechen.)
> >
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> Ich muss zeigen, dass die Vektoren [mm](x^0,...,x^n)[/mm] linear
> unabhängig sind, dann sind sie Basis von [mm]P_n.[/mm]
>
> Dazu habe ich jetzt mal die Matrix
> [mm]\pmat{x_1&x_1^2& ... &x_1^n\\ x_2&x_2^2& ... &x_2^n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ x_n&x_n^2& ... &x_n^n }[/mm]
>
> aufgestellt. Wenn das homogene Gleichungssystem nur die
> triviale Lösung besitzt, sind die Vektoren l.u.
>
> Stimmt der Ansatz so?
Hallo,
wenn du noch ein bißchen erklärst, was es mit den [mm] x_i [/mm] auf sich hat und wie Du auf diese Matrix kommst, kannst Du es so machen.
> Wie rechne ich dann weiter?
Berechne die Determinante der Matrix und zeige, daß sie [mm] \not=0 [/mm] ist. (Vandermondesche Determinante.)
Aber da Polynome gleich sind, wenn die Koeffizienten gleich sind, machst Du Dir eigentlich zuviel Arbeit.
Du brauchst ja fast nur die Def. für lineare Unabhängigkeit hinzuschreiben.
> Bei b) muss ich dann die Basisvektoren mit den gegebenen
> Abbildungen abbilden, also [mm]D_n(x^i)...[/mm]
Genau, und das Ergebnis dann als Linearkombination der Vektoren der Basis von [mm] P_{n-1} [/mm] schreiben.
Die Koeffizienten liefern die Einträge in die entsprechende Spalte der darstellenden Matrix.
Gruß v. Angela
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