Basis von Bild, Injektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei [mm] f_{A}: \IR^{4} \to \IR^{3} [/mm] mit [mm] f_{A}(x) [/mm] = Ax und
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 4 & -3 } \in [/mm] M(3x4, [mm] \IR) [/mm] gegeben. Bestimmen Sie eine Basis für [mm] Bild(f_{A}) [/mm] und prüfen Sie ob die lineare Abbildung [mm] f_{A} [/mm] injektiv ist. |
Guten Tag,
habe die Aufgabe bearbeitet und würde mich freuen, wenn jemand mal einen Blick drauf werfen könnte.
B = [mm] \{\vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2 \\ -3}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\} [/mm] ist linear unabhängig. Denn es gilt:
[mm] \lambda_{1}*\vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{0 \\ 2 \\ -3}, \lambda_{3}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0. Da [mm] dim(\IR^{3}) [/mm] = 3, handelt es sich somit um eine Basis von [mm] Bild(f_{A}). [/mm]
Desweiteren ist [mm] f_{A} [/mm] nicht injektiv, denn es gilt: [mm] dim(\IR^{4}) [/mm] = [mm] dim(Bild(f_{A})) [/mm] + [mm] dim(Kern(f_{A}))
[/mm]
[mm] \Rightarrow Kern(f_{A}) \not= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}. [/mm] Somit ist [mm] f_{A} [/mm] nicht injektiv.
Hoffe so stimmt es.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mi 13.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f_{A}: \IR^{4} \to \IR^{3}[/mm] mit [mm]f_{A}(x)[/mm] = Ax und
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 4 & -3 } \in[/mm]
> M(3x4, [mm]\IR)[/mm] gegeben. Bestimmen Sie eine Basis für
> [mm]Bild(f_{A})[/mm] und prüfen Sie ob die lineare Abbildung [mm]f_{A}[/mm]
> injektiv ist.
> Guten Tag,
>
> habe die Aufgabe bearbeitet und würde mich freuen, wenn
> jemand mal einen Blick drauf werfen könnte.
>
> B = [mm]\{\vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 2 \\ -3}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
> ist linear unabhängig. Denn es gilt:
>
> [mm]\lambda_{1}*\vektor{1 \\ 2 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda_{2}*\vektor{0 \\ 2 \\ -3}, \lambda_{3}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow \lambda_{1}[/mm] =
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0. Da [mm]dim(\IR^{3})[/mm] = 3, handelt
> es sich somit um eine Basis von [mm]Bild(f_{A}).[/mm]
Dass es sich um eine Basis des Bildraumes handelt ist zwar richtig, gezeigt hast Du das aber nicht.
> Desweiteren ist [mm]f_{A}[/mm] nicht injektiv, denn es gilt:
> [mm]dim(\IR^{4})[/mm] = [mm]dim(Bild(f_{A}))[/mm] + [mm]dim(Kern(f_{A}))[/mm]
> [mm]\Rightarrow Kern(f_{A}) \not= \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
Korrekt: [mm]\Rightarrow Kern(f_{A}) \not= \{ \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \}.[/mm]
FRED
> Somit ist [mm]f_{A}[/mm] nicht injektiv.
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> Hoffe so stimmt es.
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Erst mal danke für die Hilfe. Müsste ich noch erwähnen, dass [mm] f_{A}(\vektor{1 \\ 0 \\0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\0}, f_{A}(\vektor{0 \\ 0 \\0 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\-3} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ein Basis Vektor aus [mm] \IR^{3} [/mm] ist? Wäre es damit getan? Oder was fehlt da bei der Argumentation?
LG Loriot95
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> Erst mal danke für die Hilfe. Müsste ich noch erwähnen,
> dass [mm]f_{A}(\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0})[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
2 \\
0}, f_{A}(\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
1})[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\
2 \\
-3}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm] ein Basis
> Vektor aus [mm]\IR^{3}[/mm] ist? Wäre es damit getan? Oder was
> fehlt da bei der Argumentation?
Hallo,
Du gibst eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] an.
Den Grund dafür, daß das Bild Deiner Abbildung gerade der [mm] \IR^3 [/mm] ist, bleibst Du schuldig.
Was machst Du, wenn ich sage: "Stimmt ja gar nicht!"?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Aber wenn ich eine Basis des Kerns bestimme, also Ax= 0 setze und somit nachweise das [mm] dim(Kern(f_{A})) [/mm] = 1 ist, hätte ich aufgrund [mm] dim(\IR^{4}) [/mm] = [mm] dim(Bild(f_{A}) [/mm] + [mm] dim(Kern(f_{A})) [/mm] gezeigt, dass [mm] dim(Bild(f_{A})) [/mm] = 3 sein muss und somit handelt sich bei der obigen Menge um eine Basis des Bildes, oder? Eine andere Möglichkeit fällt mir sonst nicht ein. Da gibt es vermutlich noch leichtere Wege...
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> Ok. Aber wenn ich eine Basis des Kerns bestimme, also Ax=
> 0 setze und somit nachweise das [mm]dim(Kern(f_{A}))[/mm] = 1 ist,
> hätte ich aufgrund [mm]dim(\IR^{4})[/mm] = [mm]dim(Bild(f_{A})[/mm] +
> [mm]dim(Kern(f_{A}))[/mm] gezeigt, dass [mm]dim(Bild(f_{A}))[/mm] = 3 sein
> muss
Ja!
> und somit handelt sich bei der obigen Menge um eine
> Basis des Bildes, oder?
Generell ist es so:
Das Bild wird von den Spaltenvektoren aufgespannt.
Das sind 4 Stück, suche dir also 3 linear unabh. aus den 4 Spaltenvektoren aus ...
Hier ist es allerdings trivial, denn der Bildraum ist der ganze [mm] $\IR^3$, [/mm] du kannst als Basis also jede dir bekannte nehmen, etwa diejenige, die aus den Einheitsvektoren besteht!
> Eine andere Möglichkeit fällt mir
> sonst nicht ein. Da gibt es vermutlich noch leichtere
> Wege...
>
> LG Loriot95
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok. Ich denke damit ist alles geklärt. Danke schön.
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