Basis von Bild und Kern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute,
kann mir wer erklären, wie ich hier vorgehen muss?
Sei [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR^{3} [/mm] --> [mm] \IR^{3} [/mm] linear mit
[mm] (1,0,0)\phi=(-1,1,-3)
[/mm]
[mm] (1,1,0)\phi=(6,0,3)
[/mm]
[mm] (1,1,1)\phi=(4,2,-3)
[/mm]
Ich soll Kern und eine Basis des Bildes bestimmen.
Als erstes habe ich die Abbildungsmatrix aufgestellt, bzgl. der Standardbasis im Bildraum.
Also
[mm] (1,0,0)\phi [/mm] = (-1,1,-3) = -(1,0,0) + (0,1,0) - 3(0,0,1)
[mm] (1,1,0)\phi [/mm] = (6,0,3) = 6(1,0,0) + 0(0,1,0) + 3(0,0,1)
[mm] (1,1,1)\phi [/mm] = (4,2,-3) = 4(1,0,0) + 2(0,1,0)- 3(0,0,1)
Die Vektoren links brauche ich dabei nicht anders schreiben, da sie bereits eine Basis bilden.
--> [mm] \pmat{ -1 & 1 & -3 \\ 6 & 0 & 3 \\ 4 & 2 & -3 }
[/mm]
Für den Kern muss ich nun das Gleichungssystem v*A=0 lösen mit v [mm] \in \IR^{3}.
[/mm]
Ich erhalte die lin. Hülle von (-2,-1,1).
Ich weiß nun allerdings nicht, wie ich bei der Basis des Bildes vorgehen muss.
Das Bild ist einfach v*A für alle v [mm] \in \IR^{3}.
[/mm]
Also (x,y,z)* [mm] \pmat{ -1 & 1 & -3 \\ 6 & 0 & 3 \\ 4 & 2 & -3 } [/mm]
=(-x+6y+4z, x+2z, -3x+3y-3z)
Nur wie bekomm ich jetzt eine Basis dazu?
Im Netz stehen zwar ein paar Anleitungen, aber die verwirren oft, weil überall andere Notationen genommen werden, vor allem wird oft die Matrixmultiplikation von der anderen Seite und dann mit der transponierten ausgeführt...
Sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht??
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Do 20.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht??
Das ist möglich, und zwar aus folgendem Grund.
Wir sollten klar unterscheiden zwischen den Elementen des [mm] \IR^3 [/mm] an sich und ihren Darstellungen bezüglich einer Basis.
Nehmen wir mal die zweite Zeile "$ [mm] (1,1,0)\phi=(6,0,3) [/mm] $" deiner Frage zusammen mit den Äußerungen "Abbildungsmatrix aufgestellt, bzgl. der Standardbasis im Bildraum" und "Die Vektoren links brauche ich dabei nicht anders schreiben, da sie bereits eine Basis bilden." sowie
(x,y,z)* $ [mm] \pmat{ -1 & 1 & -3 \\ 6 & 0 & 3 \\ 4 & 2 & -3 } [/mm] $ = (-x+6y+4z, x+2z, -3x+3y-3z)
Die Elemente des [mm] \IR^3 [/mm] sind Zahlentripel, diese werden zeilenweise geschrieben, lass sie uns im Folgenden "Punkte" nennen. Die Abbildung [mm] \phi [/mm] bildet den Punkt (1,1,0) auf den Punkt (6,0,3) ab.
Das wird durch deine Matrix A aber nicht dargestellt, denn wenn du (1,1,0)* $ [mm] \pmat{ -1 & 1 & -3 \\ 6 & 0 & 3 \\ 4 & 2 & -3 } [/mm] $ rechnest, erhälst du offensichtlich (5,1,0).
Diese Abbildungsmatrizen arbeiten nämlich üblicherweise mit den Koordinatendarstellungen der Punkte bezüglich einer Basis. Das hast du ja auch oben für die Bildpunkte so gemacht, und zwar bezüglich der Standarsbasis [mm] \mathcal{E} [/mm] =((1,0,0),(0,1,0),0,0,1)) des [mm] \IR^3. [/mm] Andererseits benutzt du die Basis [mm] \mathcal{B}=((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)), [/mm] um mit ihrer Hilfe Punkte des [mm] \IR^3 [/mm] darzustellen und dann mittels A diese Koordinatenvektoren in die Koordinaten der Bildpunkte umzurechnen : Der Punkt (1,1,0) hat bezüglich [mm] \mathcal{B} [/mm] die Koordinatendarstellung [mm] (0,1,0)_B [/mm] und tatsächlich ist ja [mm] (0,1,0)_B*A=(6,0,3)_E.
[/mm]
Diese Darstellung, dass nämlich gleichzeitig mit zwei verschiedenen Basen desselben Vektorraumes gearbeitet wird, ist höchst unüblich. Stattdessen werden normalerweise auch die abzubildenden Punkte bezüglich [mm] \mathcal{E} [/mm] dargestellt, so dass sich für die Abbildungsmatrix [mm] A_E [/mm] dann [mm] (1,1,0)*A_E=(6,0,3) [/mm] ergibt.
> Für den Kern muss ich nun das Gleichungssystem v*A=0 lösen
> mit v $ [mm] \in \IR^{3}. [/mm] $
> Ich erhalte die lin. Hülle von (-2,-1,1).
Das ist richtig, allerdings ist dabei zu berücksichtigen, dass (-2,-1,1) dabei keinen Punkt des [mm] \IR^3 [/mm] meint, sondern die Koordinatendarstellung bezüglich [mm] \mathcal{B} [/mm] und also besser [mm] (-2,-1,1)_B [/mm] geschrieben werden sollte, was ja unschön ist; am besten rechnest du das in Koordinaten bzgl [mm] \mathcal{E} [/mm] um, dann simmen die Zahlenwerte des Punktes mit seinen Koordinaten überein.
> Ich weiß nun allerdings nicht, wie ich bei der
> Basis des Bildes vorgehen muss
(Richtiger sollte es heißen "..bei einer Basis...") Du suchst dir linear unabhängige Vektoren aus {(-1,1,-3),(6,0,3),(4,2,-3)}, die den Bildraum aufspannen. Da dim ker [mm] \phi [/mm] = 1 ist, müssen das zwei Stück sein.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 20.03.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo Sax,
ich bedanke mich für die ausführliche Antwort, die mir meinen Fehler vor Augen geführt hat.
Jetzt kann ich auch nachvollziehen, warum die Zeilen der Matrix das Bild aufspannen: weil sie die Bilder meiner Ausgangsbasisvektoren sind!
Kannst du hier nochmal drüber schauen (oder sonst wer, der das hier gerade liest ;))?
Zuerst musste ich herausfinden, wie die Einheitsvektoren transformieren:
[mm] (1,0,0)\phi [/mm] = (-1,1,-3) ist ja schon gegeben.
Nun:
[mm] (1,1,0)\phi=(1,0,0)\phi [/mm] + [mm] (0,1,0)\phi [/mm] =(6,0,3) | - [mm] (1,0,0)\phi
[/mm]
<--> [mm] (0,1,0)\phi=(7,-1,6)
[/mm]
Das kann ich verwenden um analog aus [mm] (1,1,1)\phi=(4,2,-3) [/mm] zu erhalten: [mm] (0,0,1)\phi=(-2,2,-6).
[/mm]
Frage hier: Was mache ich, wenn ich die erste Basisvektor-Transformation nicht gegeben hätte, wenn ich also die Transformation von drei beliebigen Vektoren gegeben hätte?
Daraus erhalte ich die Abbildungsmatrix
A= [mm] \pmat{ -1 & 1 & -3 \\ 7 & -1 & 6 \\ -2 & 2 & -6 }
[/mm]
[mm] Kern(\phi)= [/mm] (x,y,z)A=O
Ich erhalte y=0 und z=- 0,5 x, also [mm] Kern(\phi)= [/mm] Span((1,0,-0.5)).
Bild von der Abb. ist nun der Spann der Zeilenvektoren, also
Span((-1,1,-3) , (7,-1,6) , (-2,2,-6))
Mit einem Gleichungssystem habe ich fix gezeigt, dass man den ersten aus den beiden anderen darstellen kann.
Dann wäre eine Basis {(7,-1,6) , (-2,2,-6)}
Wegen der Dimensionsformel brauche ich hier ja nur zwei Vektoren.
Hätte ich mit der Dim-Formel auch direkt argumentieren und einen der drei Vektoren streichen können?
edit: Was mache ich, wenn ich nun eine Basis für die Vereinigung von Kern und Bild brauche?
Eigentlich ist das doch nur die Bildbasis erweitert um meinen Vektor, der den Kern erzeugt, oder?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Fr 21.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
i.A. leigen Kern und Bild in verschiedenen Vektorräumen. dann macht die vereinigung keinen Sinn. Wenn V nach V abgebldet wird ist die Vereinigung wieder V
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Fr 21.03.2014 | | Autor: | Paivren |
Hey Leduart,
das heißt, bei Endomporphismen ist V die disjunkte Vereinigung aus Kern und Bild?
Kann ich kaum glauben,
in der Klausuraufgabe soll man eine Basis für [mm] Kern(\phi)\cup Bild(\phi) [/mm] angeben.
Dann schreib ich einfach die Standardbasis des [mm] R^{3} [/mm] hin und fertig?
Gruß
Kannst du auch zu meinen anderen Fragen im letzten Post was sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:50 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> das heißt, bei Endomporphismen ist V die disjunkte
> Vereinigung aus Kern und Bild?
>
> Kann ich kaum glauben,
ich auch nicht.
V ist die Summe aus Kern und Bild, das ist der von der Vereinigung aufgespannte Raum. Die Vereinigung ist mengentheoretisch nicht disjunkt, weil beides den Nullvektor enthält.
>
> in der Klausuraufgabe soll man eine Basis für
> [mm]Kern(\phi)\cup Bild(\phi)[/mm] angeben.
> Dann schreib ich einfach die Standardbasis des [mm]R^{3}[/mm] hin
> und fertig?
Das ist eine Basis für [mm]Kern(\phi)\oplus Bild(\phi)[/mm]
Es kann aber sein, dass die Bezeichnungen hier bei deinem Prof von denen meines ehemaligen Profs (Gott hab' ihn selig) abweichen. Das trifft ja auch auf die Zeilen-/Spaltenschreibweise von Vektoren und Matrizen zu, wovon (und von deiner Verwirrung darüber) du schon in deinem ersten Beitrag geschrieben hast. Ich bemühe mich, soweit es geht, deiner Schreibweise in dieser Hinsicht zu folgen, obwohl ich eine andere gewohnt bin und (deshalb ?) besser finde.
>
> Gruß
> Kannst du auch zu meinen anderen Fragen im letzten Post
> was sagen?
Deine Rechnungen sind alle richtig.
> Frage hier: Was mache ich, wenn ich die erste Basisvektor-
> Transformation nicht gegeben hätte, wenn ich also die Transformation
> von drei beliebigen Vektoren gegeben hätte?
Du stellst die Basiswechselmatrix S auf, die die Koordinaten eines Punktes P=(x,y,z) bezüglich der Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] in solche der Basis [mm] \mathcal{E} [/mm] umrechnet.
Bei dir ist z.B. [mm] S=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm] und [mm] (0,1,0)_B*S=(1,1,0)_E [/mm] .
Für den Punkt P wird dann umgekehrt [mm] (x,y,z)_E*S^{-1}=(u,v,w)_B [/mm] und das kann mit der Matrix $ A= [mm] \pmat{ -1 & 1 & -3 \\ 6 & 0 & 3 \\ 4 & 2 & -3 } [/mm] $ aus deinem ersten Beitrag gemäß [mm] (u,v,w)_B*A=(r,s,t)_E [/mm] in die Koordinaten des Bildpunktes Q=(r,s,t) von P unter der Abbildung [mm] \phi [/mm] umgerechnet werden.
Die beiden Multiplikationen [mm] (x,y,z)_E*S^{-1}=(u,v,w)_B [/mm] und [mm] (u,v,w)_B*A=(r,s,t)_E [/mm] lassen sich zusammenfassen zu [mm] (x,y,z)_E*S^{-1}*A=(r,s,t)_E [/mm] bzw. [mm] (x,y,z)_E*A_E=(r,s,t)_E [/mm] wobei die Abbildungsmatrix [mm] A_E=S^{-1}*A [/mm] die von dir in deinem zweiten Beitrag angegebene ist :
mit [mm] S=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm] wird [mm] S^{-1}=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 } [/mm] und
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 }*\pmat{ -1 & 1 & -3 \\ 6 & 0 & 3 \\ 4 & 2 & -3 }=\pmat{ -1 & 1 & -3 \\ 7 & -1 & 6 \\ -2 & 2 & -6 }
[/mm]
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Paivren |
Hallo Sax,
danke für Deine Ausführungen!
Ich kann nicht behaupten, dass ich alles auf Anhieb verstanden habe, aber ich lese mir das nochmal durch (hoffe mal, dass das ich eher auf obigen Aufgabentyp stoße).
Gehe ich dann Recht in der Annahme, dass ich eine Basis von
Kern U Bild bekomme, wenn ich die beiden Basen einfach zusammenfasse?
Oder wie muss ich vorgehen. Habe ja Basis von Bild und Kern jeweils bestimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 So 23.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hallo Sax,
>
> danke für Deine Ausführungen!
> Ich kann nicht behaupten, dass ich alles auf Anhieb
> verstanden habe, aber ich lese mir das nochmal durch (hoffe
> mal, dass das ich eher auf obigen Aufgabentyp stoße).
>
> Gehe ich dann Recht in der Annahme, dass ich eine Basis von
> Kern U Bild bekomme, wenn ich die beiden Basen einfach
> zusammenfasse?
>
Ich habe mich oben wohl nicht klar genug ausgedrückt.
Normalerweise bezeichnet [mm] \cup [/mm] die Vereinigung zweier Mengen und $ [mm] Kern(\phi)\cup Bild(\phi) [/mm] $ ist überhaupt kein Vektorraum, so dass sich die Frage nach einer Basis gar nicht stellt.
Sollte aber bei euch dieses Zeichen die Summe von $ [mm] Kern(\phi) [/mm] $ und $ [mm] Bild(\phi) [/mm] $ bezeichnen (wofür sonst im Allgemeinen $ [mm] Kern(\phi)\oplus Bild(\phi) [/mm] $ geschrieben wird), dann lautet die Antwort tatsächlich "ja", weil die Summe in diesem Fall eine direkte Summe ist.
Gruß Sax.
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