Basis von Fix(F) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:29 So 27.06.2010 | | Autor: | Achilles2084 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis von Fix(F) für folgendes [mm] F:\IR^{4}\to\IR^{4}:
[/mm]
[mm] x\mapsto \pmat{ 1 & 3 &0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 &4 & 1 } [/mm] * x
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Hallo,
habe hier ein Problem bei dem ich eure Hilfe brauche. Ich soll ja die Basis des Bildes bestimmen.
Dies funktioniert doch, wenn ich die Matrix Ax=0 in ZSF bringe.
Wenn ich dies nun mache, komme ich am Ende zur Einheitsmatrix hätte also 4 Basisvektoren. (1,0,0,0),....,(0,0,0,1).
Ist das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:16 So 27.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Es reicht voellig aus, wenn du diese Frage einmal hier im Forum loescht (siehe auch die Forenregeln!). Ich habe die Frage im Schulbereich versteckt.
LG Felix
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> Bestimmen Sie eine Basis von Fix(F) für folgendes
> [mm]F:\IR^{4}\to\IR^{4}:[/mm]
>
> [mm]x\mapsto \pmat{ 1 & 3 &0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 &4 & 1 }[/mm]
> * x
>
> Hallo,
>
> habe hier ein Problem bei dem ich eure Hilfe brauche. Ich
> soll ja die Basis des Bildes bestimmen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
das ist wohl nicht gemeint !
> Dies funktioniert doch, wenn ich die Matrix Ax=0 in ZSF
> bringe.
>
> Wenn ich dies nun mache, komme ich am Ende zur
> Einheitsmatrix hätte also 4 Basisvektoren.
> (1,0,0,0),....,(0,0,0,1).
>
> Ist das richtig?
Hallo Dario,
die gesuchte Basis von Fix(F) soll doch wohl eine Basis für
die Menge (bzw. für den linearen Raum) der Fixpunkte der
Abbildung F sein und nicht eine Basis des gesamten Bildes
von F ?
LG Al-Chw.
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Morgen,
okay. Und wie stelle ich das an?
Dann ist mein Ansatz mit Ax=0 wahrscheinlich auch falsch. Hab in einem Übungsbuch den Ansatz Ax=x gelesen. Den hab ich nicht ganz verstanden hab es aber auch probiert.
Ich bekomme, egal wie ich die die Koeffizienten berechne, immer 0 raus. Demnach hätte ich 4 Basisvektoren. Das kann aber im Hinblick auf die nächste Aufgabenstellung nicht richtig sein.
Da heißt es, ich soll zu einer Basis des [mm] \IR^{4} [/mm] erweitern.
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 So 27.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Morgen,
>
> okay. Und wie stelle ich das an?
>
> Dann ist mein Ansatz mit Ax=0 wahrscheinlich auch falsch.
> Hab in einem Übungsbuch den Ansatz Ax=x gelesen. Den hab
> ich nicht ganz verstanden hab es aber auch probiert.
ist denn vielleicht
[mm] $$(\*)\;\;\;\text{Fix}(F)=\{x:\; x \text{ ist Fixpunkt für }F\}\text{ ?}$$ [/mm]
Ich weiß hier nämlich nicht wirklich, was bei Dir Fix(F) ist, und diese Definition nachzutragen wäre sicher auch sinnvoll, damit man weiß, worum es hier überhaupt geht.
Aber [mm] $(\*)$ [/mm] scheint eine vernünftige Definition zu sein, jedenfalls für den Ansatz [mm] $Ax=x\,.$ [/mm] Denn ein Fixpunkt für eine Funktion [mm] $f\;$ [/mm] ist ja gerade durch Erfüllung der Gleichung [mm] $f(x)=x\;$ [/mm] definiert.
> Ich bekomme, egal wie ich die die Koeffizienten berechne,
> immer 0 raus. Demnach hätte ich 4 Basisvektoren. Das kann
> aber im Hinblick auf die nächste Aufgabenstellung nicht
> richtig sein.
>
> Da heißt es, ich soll zu einer Basis des [mm]\IR^{4}[/mm]
> erweitern.
Schauen wir uns das mal so an:
[mm] $$\pmat{ 1 & 3 &0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 &4 & 1 }*x=x$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \pmat{ 1 & 3 &0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 &4 & 1 }*x-\pmat{ 1 & 0&0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 }*x=\bf{0}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \pmat{ 1-1 & 3 &0 & 2 \\ 0 & 1-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-1 & 0 \\ 1 & 0 &4 & 1-1 }*x=\bf{0}$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \underbrace{\pmat{ 0 & 3 &0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 &4 & 0 }}_{=A-E_4}*x=\bf{0}\,,$$
[/mm]
wobei [mm] ${\bf 0}=(0,0,0,0)^T \in \IR^4$ [/mm] und [mm] $E_4$ [/mm] die Einheitsmatrix des [mm] $\IR^4\,.$
[/mm]
Aus obiger Rechnung ist klar, dass $A*x=x [mm] \gdw (A-E_4)*x={\bf 0}\,.$ [/mm] Es ist also [mm] $\text{kern} (A-E_4)$ [/mm] zu bestimmen, und es ist so gut wie offensichtlich, dass
[mm] $$\mathcal{B}=\left\{\vektor{4\\0\\-1\\0},\;\vektor{0\\2\\0\\-3}\right\}$$
[/mm]
eine Basis von [mm] $\text{kern} (A-E_4)$ [/mm] ist:
Die Vektoren aus [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] liegen offensichtlich in [mm] $\text{kern} (A-E_4)$ [/mm] und sind offenbar linear unabhängig. Ferner ist [mm] $\text{dim Bild}(A-E_4)=2\,,$ [/mm] was man z.B. daran erkennt, dass [mm] $(A-E_4)$ [/mm] stets maximal zwei linear unabhängige Spalten (und auch stets maximal zwei linear unabhängige Zeilen) hat. Der Dimensionssatz zeigt nun, dass [mm] $\text{dim kern}(A-E_4)=2\,,$ [/mm] woraus nun insgesamt folgt, dass [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\text{kern} (A-E_4)$ [/mm] ist.
Von daher würde die Aufgabe mit dem Ansatz [mm] $A*x=x\;$, [/mm] im Gegensatz zu Deiner Behauptung, durchaus auch Sinn machen. Denn z.B. wäre dann (bei meiner Rechnung) noch [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] zu einer Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] zu erweitern (durch Aufnahme zweier weiterer Vektoren des [mm] $\IR^4\,,$ [/mm] so dass dann alle [mm] $4\,$ [/mm] Vektoren linear unabhängig sind).
P.S.:
Selbst, wenn [mm] $\mathcal{B}=\{e_1,\;e_2,\;e_3,\;e_4\}$ [/mm] die euklidische Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist, so kann man diese zu einer Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] erweitern. Man hat einfach nichts mehr an [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] zu verändern, sondern nur zu sagen: Das ist bereits eine Basis des [mm] $\IR^4,$ [/mm] also bin ich fertig.
Aber oben wird das nicht der Fall sein. Und wenn Du mal kompliziertere Matrizen da stehen hast, die im [mm] $\IR^{n \times n}$ [/mm] sind, von denen Du den Kern oder das Bild bestimmen willst: Mithilfe der Determinante kann man wenigstens schonmal sagen, ob die Dimension des Bildes [mm] $=n\,$ [/mm] ist (falls die Determinante [mm] $\not=0$ [/mm] ist) oder ob sie $< [mm] n\,$ [/mm] ist (falls die Determinante [mm] $=0\,$ [/mm] ist).
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel,
erstmal danke für deine ausführliche Erklärung. Find ich echt nett, dass du dir so ne Mühe gemacht hast.
Die Rechnung habe ich verstanden, verstehe aber nicht ganz wie du auf die Basis kommst.
$ [mm] \gdw \underbrace{\pmat{ 0 & 3 &0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 &4 & 0 }}_{=A-E_4}\cdot{}x=\bf{0}\,, [/mm] $
Dann kriegst man ja das LGS.
[mm] 3x_{2}+2x_{4}=0 [/mm] und
[mm] x_{1}+4x_{3}=0
[/mm]
also [mm] 2x_{4}=-3x_{2} [/mm] und [mm] 4x_{3}=-x_{1}
[/mm]
Und daraus kann ich dann einfach die Vektoren B machen.
Es irritiert mich, weil ich dachte, dass ich die Basisvektoren einfach aus den Spalten der MAtrix ablesen kann.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 So 27.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> erstmal danke für deine ausführliche Erklärung. Find ich
> echt nett, dass du dir so ne Mühe gemacht hast.
>
> Die Rechnung habe ich verstanden, verstehe aber nicht ganz
> wie du auf die Basis kommst.
>
> [mm]\gdw \underbrace{\pmat{ 0 & 3 &0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 &4 & 0 }}_{=A-E_4}\cdot{}x=\bf{0}\,,[/mm]
>
> Dann kriegst man ja das LGS.
>
> [mm]3x_{2}+2x_{4}=0[/mm] und
> [mm]x_{1}+4x_{3}=0[/mm]
>
> also [mm]2x_{4}=-3x_{2}[/mm] und [mm]4x_{3}=-x_{1}[/mm]
>
> Und daraus kann ich dann einfach die Vektoren B aus [mm] $\blue{\mathcal{B}}$ [/mm] machen.
Ja. Man kann die von mir vorgeschlagenen Vektoren aber auch fast ablesen, wobei natürlich dann schon die letzten Gleichungen von Dir zum tragen kommen.
> Es irritiert mich, weil ich dachte, dass ich die
> Basisvektoren einfach aus den Spalten der MAtrix ablesen
> kann.
Nein. Die Spalten von [mm] $A-E_4$ [/mm] bilden ein Erzeugendensystem des Bildes von [mm] $A-E_4,$ [/mm] d.h. Du könntest alle Spalten von [mm] $A-E_4$ [/mm] als Vektoren des [mm] $\IR^4$ [/mm] auffassen, in eine Menge schmeißen und diese Menge, die das Bild von [mm] $A-E_4$ [/mm] schon aufspannt, zu einem minimalen Erzeugendensystem, d.h. einer Basis, des Bildraums von [mm] $A-E_4$ [/mm] verkleinern.
(Alternativ kannst Du das auch so machen, dass Du die Basis nach und nach durch Hinzufügen geeigneter Spalten in eine Menge bildest, bis Du eine Menge linear unabhängiger Vektoren hast, bei der durch Hinzufügen irgendeiner weiteren Spalte diese Vektoren dann linear abhängig werden würden.)
Aber die Spalten hängen erstmal nur mit dem Bildraum dieser Matrix zusammen, Du brauchst aber keine Basis des Bildraums, sondern eine des Kerns von [mm] $A-E_4\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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