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Hallo Leute!
Da ich im Internet allgemein nix wirklich befriedigendes gefunden habe zu meinen Fragen, stelle ich sie hier mal. Vielleicht kann mir das jemand schlaues von euch erklären 
1. Was ist ein Koordinatenvektor?
2. Wie steht er im Zusammenhang mit Basistransformationen?
3. Was bedeuted es wenn er "bezüglich einer Basis" angegeben wird?
4. Was bedeuted eine Basistransformation?
5. Wie berechnet man sowas?
Bsp.:
geg: v = [mm] (v)_{I}\in\IK^n [/mm] , ein Koordinatenvektor (bezüglich der Standartbasis I des [mm] \IK^n), [/mm] und [mm] X=\{x_1, x_2.....x_n\}, [/mm] eine (beliebige) Basis des [mm] \IK^n.
[/mm]
ges: [mm] (v)_X=(\alpha_1, \alpha_2,.....,\alpha_n)^T \in\IK^n, [/mm] der Koordinatenvektor bezüglich X.
Leider versteh ich schon die Aufgabenstellung nicht. :-(
Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße, Esperanza
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Mi 17.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
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> 1. Was ist ein Koordinatenvektor?
> 3. Was bedeuted es wenn er "bezüglich einer Basis"
> angegeben wird?
Ja also einen Vektor v kann man ja darstellen als :
[mm] $\vektor{v_1\\v_2\\:\\v_n}=v_1 *e_1 [/mm] + [mm] v_2 *e_2+..+v_n *e_n$
[/mm]
wobei die [mm] e_i [/mm] die Standardvektoren sein sollen.
Man kann denselben Vektor aber auch bzgl einer anderen Basis darstellen zum beispiel zu der Basis X:
[mm] $\vektor{\alpha_1\\\alpha_2\\:\\\alpha_n}=\alpha_1 *x_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 *x_2+..+\alpha_n *x_n$
[/mm]
D.h. die Darstellung eines Vektor (=Koordinatenvektor) hängt entscheidend von der Wahl der Basis ab !
> 2. Wie steht er im Zusammenhang mit
> Basistransformationen?
> 4. Was bedeuted eine Basistransformation?
Ja angenommen du hast [mm] $\vektor{v_1\\v_2\\:\\v_n}$ [/mm] gegeben und willst mittels einer linearen Abbildung f den Vektor [mm] $\vektor{\alpha_1\\\alpha_2\\:\\\alpha_n}$ [/mm] rausbekommen, d.h. du suchst eine Matrix M, so dass : [mm] $M*\vektor{v_1\\v_2\\:\\v_n}=\vektor{\alpha_1\\\alpha_2\\:\\\alpha_n}$
[/mm]
also sucht man eine  Transformationsmatrix (<- click mich !)
> 5. Wie berechnet man sowas?
> Bsp.:
>
> geg: v = [mm](v)_{I}\in\IK^n[/mm] , ein Koordinatenvektor
> (bezüglich der Standartbasis I des [mm]\IK^n),[/mm] und [mm]X=\{x_1, x_2.....x_n\},[/mm]
> eine (beliebige) Basis des [mm]\IK^n.[/mm]
>
> ges: [mm](v)_X=(\alpha_1, \alpha_2,.....,\alpha_n)^T \in\IK^n,[/mm]
> der Koordinatenvektor bezüglich X.
Wenn du dir obigen Link angesehen, dann erkennst du hoffentlich, dass :
(die Vektoren von X stehen als SPALTEN in der Matrix links !)
[mm] $\pmat{(x_1&x_2&..&x_n}*\vektor{\alpha_1\\\alpha_2\\:\\\alpha_n}=\vektor{v_1\\v_2\\:\\v_n}$
[/mm]
denn links steht nach dem ausmultiplizieren gerade :
[mm] $\alpha_1 *x_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 *x_2+..+\alpha_n *x_n$
[/mm]
so, das kann man aber jetzt sofort umstellen zu :
[mm] $\pmat{(x_1&x_2&..&x_n} [/mm] ^{-1} [mm] *\vektor{v_1\\v_2\\:\\v_n}=\vektor{\alpha_1\\\alpha_2\\:\\\alpha_n}$
[/mm]
das wars dann auch schon, wenn man keine speziellen Werte gegeben hat...
für dieses Thema empfihlt sich auch ![[]](/images/popup.gif) DIESER ARTIKEL (aufm MathePlanet)
viele Grüße
DaMenge
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