Bedeutung des Taylorpolynoms < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:47 Sa 09.09.2006 | | Autor: | gugus |
| Aufgabe | Welche Bedeutung heute und in der Geschichte der Mathematik haben Taylorpolynom und Taylorreihe?
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Ich suche historische und aktuelle Bedeutungen von Taylorpolynom und Taylorreihe. Wer kann mir da weiterhelfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Sa 09.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo gugu
Wie sollte man Funktionen, die keine Polynome sind denn ohne Taylorreihen bestimmen? Das zur aktuellen und historischen Bedeutung. sin, e-fkt, ln nur die bekanntesten! Lösg. von DGL, die Funktionen definieren gehen auch meist mehr oder weniger direkt mit Taylor.
Was ein "Taylorpolynom ist ausser einem Anfangsteil der Reihe weiss ich nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Sa 09.09.2006 | | Autor: | gugus |
| Aufgabe | | Konkrete Anwendungsbereiche ? |
Hallo leduart
Danke für deine Antwort.
Ich bin aber auf der Suche nach konkreten Anwendungsbereichen z.B in Physik, Mathe ...
Was war bevor Taylor diese Reihe entdeckt hatte, gabs da keinen Ausruf "Na endlich, jetzt können wir auch dieses und jenes Problem der Mathematik lösen !" ?
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Hallo.
Große "Ausrufe" gab es da meines Wissens nicht.
Es ist vielmehr so, daß der Taylorsche Satz ein Bindeglied darstellt zwischen der damals wohl erforschten Mathematik bis zum Mittelalter hin, die sich fast ausschließlich mit Polynomen beschäftigte, und der damals (zu Taylors Zeiten) "neuen" Mathematik der Differential- und Integralrechnung von Leibniz und Newton, nämlich, daß auch diese "neuen" Funktionen durch altbekannte angenähert werden können.
Siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Sa 09.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Konkrete Anwendungsbereiche ?
> Hallo leduart
>
> Danke für deine Antwort.
>
> Ich bin aber auf der Suche nach konkreten
> Anwendungsbereichen z.B in Physik, Mathe ...
Die Taylor-Entwicklung ist sowohl in Beweisen als auch in der Anwendung praktisch: Wenn Funktionen 'glatt genug' sind (also oft genug stetig diffbar), dann kann man sie in einer Umgebung eines Punktes durch Geraden (Taylorpolynom von Grad 1), Parabeln (Grad 2) etc. annaehern. Eine bekannte Anwendung ist Beispielsweise das Newtonverfahren: Dort wird die Funktion $f$ an einer Stelle [mm] $x_n$ [/mm] als Taylorpolynom von Grad 1 bestimmt. Dessen (eindeutig bestimmte, wenn [mm] $f'(x_n)$ [/mm] nicht grad 0 ist) Nullstelle wird als [mm] $x_{n+1}$ [/mm] bezeichnet, und bei schoenen Funktionen und nicht allzu unguenstiger Wahl von [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert die Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen eine Nullstelle.
Und auch sonst bei numerischen Verfahren ist die Taylorentwicklung sehr beliebt. Zum Beispiel fuer eine Darstellung der zweiten Ableitung einer Funktion durch einen einfachen Grenzwert, der dann angenaehert werden kann (die konkrete Formel hab ich vergessen, es war etwas a la [mm] $\lim_{h\to0} \frac{f(x + h) - f(x - h)}{h^2}$); [/mm] mit Hilfe einer Taylorentwicklung von $f$ in $x$ vom Grad $2$ (oder wars sogar 3?) kann man dies sofort verifizieren.
Und noch ein Beispiel, wo man die Taylorentwicklung sehr gut gebrauchen kann: Du kennst doch sicher die Regel, dass eine Funktion $f$ (sagen wir $n+1$-mal stetig differenzierbar, oder wars $n+2$-mal?) mit [mm] $f^{(i)}(x_0) [/mm] = 0$ fuer $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ und [mm] $f^{(n+1)}(x_0) \neq [/mm] 0$ in [mm] $x_0$ [/mm] eine Extremstelle hat, wenn $n$ ungerade ist, und sonst einen Sattelstelle (und keine Extremstelle) in [mm] $x_0$ [/mm] hat: Dies kann man sehr schoen mit der Taylorentwicklung in [mm] $x_0$ [/mm] beweisen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Sa 09.09.2006 | | Autor: | gugus |
Vielen Dank, ist ja sagenhaft wie schnell man da super Antworten kriegt !
Mach mich mal auf die Suche, da ich noch irgend eine kleine Geschichte suche  welche als "Aufmacher" dienen könnte.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:14 So 10.09.2006 | | Autor: | gugus |
| Aufgabe | | Und noch ein Beispiel, wo man die Taylorentwicklung sehr gut gebrauchen kann: Du kennst doch sicher die Regel, dass eine Funktion (sagen wir -mal stetig differenzierbar, oder wars -mal?) mit fuer und in eine Extremstelle hat, wenn ungerade ist, und sonst einen Sattelstelle (und keine Extremstelle) in hat: Dies kann man sehr schoen mit der Taylorentwicklung in beweisen. |
Kannst du mir das etwa noch etwas mehr /ausführlicher erklären ? Das interessiert mich - aber so einfach wie möglich wenns geht ;) ...
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 10.09.2006 | | Autor: | PStefan |
Hi gugus,
von mir zuerst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich denke immer an jene zwei Sätze, wenn ich die Taylorreihe gebrauche:
Die Bedeutung des Satzes von Taylor besteht in der immer besser werdenden Näherung einer beliebigen Funktion (,die den Voraussetzungen des Satzes genügt,) durch eine Polynomfunktion.
Der dabei gemachte Fehler kann bei Kenntnis des Restgliedes abgeschätzt werden.
Vielleicht ist dieser auch hilfreich für dich...
Noch etwas würde mich interessieren:
Ob du auch für mehrere Variablen die Taylorreihe schon einmal angewendet hast, da gibts nämlich auch eine ganz einfache Merkregel....
Gruß
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:14 Mo 11.09.2006 | | Autor: | gugus |
Nein habe ich nicht, höre/lese dir gerne zu ....
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:03 Sa 16.09.2006 | | Autor: | gugus |
Kannst du mir diese 2. Merkregel auch noch sagen ... kenn ich nicht .. und die erste war gut ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 17.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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