Bedeutung f(x+pi) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | f(x) = cos(x), wobei 0 < x < [mm] \pi, [/mm] und f(x) = [mm] f(x+\pi) [/mm] |
Hallo liebes Forum,
hoffe alle hatten einen guten Start ins neue Jahr!
Habe eine Frage:
Gegeben ist die oben genannte Funktion.
Dazu soll die Fourierreihe aufgestellt werden.
Was aber bedeutet das [mm] f(x+\pi) [/mm] genau? Ist doch das gleiche wie f(x) = -cos(x) oder nicht?
ich verstehe darunter einen verschobenen Cosinus um [mm] \pi [/mm] nach rechts.
Oder gibts da mehr zu beachten?
Danke vorab für eure Hilfe
Grüße
Manuel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mi 07.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
die Funktion f ist im Intervall [mm] (0,$\pi$) [/mm] als Kosinus definiert und wird dann durch [mm] $f(x)=f(x+\pi)$ [/mm] periodisch fortgesetzt. Z.B. ist damit [mm] $f(x)=-\cos(x)$ [/mm] für $x [mm] \in (-\pi,0)$, [/mm] d.h. die Funktion ist punktsymmetrisch, was dir die Berechnung der Koeffizienten erleichtern sollte.
Liebe Grüße
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Hi Andy,
danke für deine schnelle Antwort.
Ich bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstanden habe.
Ich kenne die Aufgabenstellung normalerweise so:
f(x) = cos(x) für 0<x< [mm] \pi, [/mm] werde periodisch fortgesetzt
Dass der Cosinus im Abschnitt von 0 - [mm] \pi [/mm] punktsymmetrisch wird ist mir klar.
Mich hat das f(x) = [mm] f(x+\pi) [/mm] nur irritiert.
Wenn ich deine Antwort richtig verstanden habe bedeutet das nur, dass der Teil der Funktion f(x) im Abschnitt [mm] 0,\pi [/mm] einfach periodisch fortgesetzt werden soll.
Ich muss also nichts an der Funktion rumbasteln um einen versteckten Hinweis durch das [mm] f(x+\pi) [/mm] zu beachten??
Grüße
Manuel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Do 08.01.2015 | | Autor: | andyv |
Nein, du hast es richtig verstanden.
Liebe Grüße
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Hallo Andy,
super vielen Dank für deine schnelle Erklärung :)
Grüße
Manuel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 Do 08.01.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f(x) = cos(x), wobei 0 < x < [mm]\pi,[/mm] und f(x) = [mm]f(x+\pi)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
das ist zwar sehr kurz und irgendwie prägnant, aber wenn vorher nichts
weiter dazu gesagt wurde, sehr schlampig.
Zumindest *einmal* würde ein - damit keine Missverständnisse entstehen,
betone ich meiner Meinung nach - vernünftig arbeitender Autor das
so formulieren:
Die Funktion
$f \colon D:=\IR\red{\,\setminus\,\{k \cdot \pi\mid \;\; k \in \IZ\}} \to \IR$
werde durch $f(x):=\cos(x)$ für $0 < x < \pi$ und der Bedingung
$f(x):=f(x+\pi)$ für alle $x \in D$
definiert.
Dazu noch ein paar Worte: Deine Funktion $f\,$ wird weder an der Stelle 0
noch an der Stelle $\pi$ definiert. Daher dieser *merkwürdig anmutende
Definitionsbereich*! (Der hat aber quasi keinen Einfluss auf die
Fourierreihe - das ist jetzt meinerseits sehr schlampig gesagt, aber wenn
Dir nicht klar ist, was ich damit meine, dann frage bitte nach!)
Vielleicht hast Du Dich aber verschrieben, und da steht eigentlich ein $\le$
an einer Stelle statt des <. Beachte:
$f(x)=\cos(x)$ für $0$ $\red{\le}$ $\,x\,$ $\red{\le}$ $\pi$
KANN dort nicht stehen, denn dann wäre die Funktion nicht ($\pi$-) periodisch!
Übrigens sollte man sich mal klarmachen, dass etwa durch
$g \colon \IR \to \IR$
mit $g(x):=\cos(x)$ für $0 \le x < \pir$ und $g(x):=g(x+\pi)$ für alle $x \in \IR$
wirklich eine auf $\IR$ definierte, $\pi$-periodische Funktion auch definiert ist!
Das meine ich etwa so: Die folgende eingeschränkte Funktion
$\left.g\right|_{[0,\pi)}$
ist ja definiert. Damit kann man sich klarmachen, wie
$\left.g\right|_{[\pi,2\pi)}$
aussieht. Etc. pp..
Weiter kann man sich klarmachen, wie
$\left.g\right|_{[-\pi,0)}$
aussieht, und damit, wie
$\left.g\right|_{[-2\pi,-\pi)}$
aussieht, usw. usf..
Da
$\IR={\bigcup_{k \in \IZ}}^{d}[k*\pi,\,(k+1)*\pi)$
gilt, folgt... (Hinweis: das "hochstehende d" steht für "disjunkt", ich meine also
eine "disjunkte Vereinigung"!)
Gruß,
Marcel
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