Bedeutung "knapp konvergent"? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Forum,
unser Anaylsis-Professor hatte zum Thema konvergente Reihen den Begriff "knapp konvergent" für 1/n² und "knapp divergent" für 1/n eingeführt. Ist das eine konventionelle Bezeichnung? Für mich suggeriert diese Sprache, dass zwischen 1/n und 1/n² (und ihren Reihen mit verschobenem Index wie 1/n+1, 1/n²+1) gerade die Grenze zwischen Konvergenz und Divergenz liegt.
Heißt dass zum Beispiel auch, dass 1/n die einzige Reihe ist, für die Umkehrung von [Konvergiert eine Reihe => Die Folge hinter dem Summenzeichen ist eine Nullfolge.] nicht gilt? Oder gibt es weitere, andersartige Reihen, so dass die Umkehrung keinen Sinn macht?
Handelt es sich bei 1/n und 1/n² zudem um die einzigen beiden Reihen, die beim Quotientenkriterium Probleme machen?
Irgendwie bin ich mir über die Rolle der beiden Reihen noch nicht ganz im Klaren - scheinbar scheinen sie ja eine "Grenze" zu markieren, aber sind sie die einzigen Reihen mit diesen Eigenschaften?
Vielen Dank schonmal für umfassendere Antworten; ich glaube, ein paar allgemeine Informationen zu diesen Reihen würden mir helfen!
°amai
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Mi 24.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
also als eine übliche Bezeichnung würde ich "knapp konvergent" nicht bezeichnen, ich habe das auf jeden Fall noch nicht gehört. Berechtigt ist der Ausdruck aber, weil die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] divergent ist und die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} [/mm] für s > 1 konvergent ist.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^s} [/mm] nennt sich übrigens Riemannsche Zetafunktion
Und mit der Funktion bist Du ganz nah bei der Riemanschen Vermutung für die es immer noch keinen Beweis gibt.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:01 Mi 24.02.2010 | | Autor: | cycore |
> Hallo Forum,
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> unser Anaylsis-Professor hatte zum Thema konvergente Reihen
> den Begriff "knapp konvergent" für 1/n² und "knapp
> divergent" für 1/n eingeführt. Ist das eine
> konventionelle Bezeichnung?
Nie gehört und auch Recherche im internet hat (ebenfalls auf der suche nach englischen entsprechungen) nichts ergeben..vielleicht ist es ein didaktischer zug deines prof...
> Für mich suggeriert diese
> Sprache, dass zwischen 1/n und 1/n² (und ihren Reihen mit
> verschobenem Index wie 1/n+1, 1/n²+1) gerade die Grenze
> zwischen Konvergenz und Divergenz liegt.
nunja, dass die "grenze" dazwischen liegt ist wohl richtig..aber wie bereis angemerkt wurde konvergiert [mm] $\summe_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}}$ [/mm] für $s>1$, also ist 2 vielleicht nicht gerade die beste obere grenze..
> Heißt dass zum Beispiel auch, dass 1/n die einzige Reihe
> ist, für die Umkehrung von [Konvergiert eine Reihe => Die
> Folge hinter dem Summenzeichen ist eine Nullfolge.] nicht
> gilt? Oder gibt es weitere, andersartige Reihen, so dass
> die Umkehrung keinen Sinn macht?
doch...gibts ganz viele...z.b. [mm] \sum\frac{1}{\sqrt{n}}
[/mm]
> Handelt es sich bei 1/n und 1/n² zudem um die einzigen
> beiden Reihen, die beim Quotientenkriterium Probleme
> machen?
[mm] \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} [/mm] konvergiert, aber weder quotienten-, noch wurzelkriterium liefern eine aussage...nur das als kleines gegenbeisp.
aber: sollte irgendjemand lust haben soetwas wie knappe konvergenz/divergenz zu definieren, halte ich dies für einen offensichtlichen ansatz..also sowas wie eine konvergente folge heiße knapp konvergent, falls quotienten- oder wurzelkriterium keine aussage liefern....wirklich interessante ergebnisse oder aussagen daraus kann ich mir aber nicht wirklich vorstellen...
EDIT:
Hab nochmal nachgedacht und mir überlegt, dass [mm] \sum\frac{1}{n^s} [/mm] dann für [mm] s\in\IR^+ [/mm] immer knapp konvergent/divergent ist^^
somit ist die definition vielleicht doch nichtmehr so sinnvoll glaube ich...
>
> Irgendwie bin ich mir über die Rolle der beiden Reihen
> noch nicht ganz im Klaren - scheinbar scheinen sie ja eine
> "Grenze" zu markieren, aber sind sie die einzigen Reihen
> mit diesen Eigenschaften?
s.o.
>
> Vielen Dank schonmal für umfassendere Antworten; ich
> glaube, ein paar allgemeine Informationen zu diesen Reihen
> würden mir helfen!
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> °amai
>
> [Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.]
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Vielen Dank für die Antworten, haben beide etwas weitergeholfen! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mi 24.02.2010 | | Autor: | fred97 |
die harmonische Reihe als "knapp divergent" zu bezeichnen, macht ja noch Sinn, denn ihre Teilsummenfolge "schrammt" wirklich knapp an der Konvergenz vorbei.
Aber die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] als "knapp konvergent" zu bezeichnen , halte ich für Unfug, denn schließlich konvergieren die Reihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{\alpha}} [/mm]
für jedes [mm] $\alpha> [/mm] 1$
FRED
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