Bedeutung von dx, dt in Formel < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mo 21.05.2018 | | Autor: | donp |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Formulierung der Energieerhaltung:
[mm]{dE \over dt}[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] E = const.
Erklären Sie die Bedeutung von dE und dt und überhaupt die Verwendung von etwas wie dx in mathematischen Formeln ;) |
Konkret verstehe ich es so: Der Unterschied (Delta E) im Verlauf der Zeit (Delta t) ist 0, also keiner. Soweit so gut... aber demnach kann das kein eigentlicher Bruch in mathematischem Sinn sein.. oder doch? Weil das Delta im Zähler eben 0 ist?
Ok, diese Aufgabe habe ich mir selber gestellt, weil das ich noch nie wirklich verstanden habe, auch nicht auf Nachfrage beim Mathelehrer zum dx bei Integralen in der Oberstufe. Er gab leider nur etwas schwammige Auskunft darüber. Hängen blieb mir unter'm Strich etwa sinngemäß "man schreibt das halt so hin, damit man die veränderliche Größe erkennt".
Manchmal steht ein dx oder ein Bruch mit dx auch da wie ein normaler Faktor oder eine Funktion, z.B. in:
[mm]E \left( t, x(t), {dx \over dt}(t) \right) = E \left( 0, x(0), {dx \over dt}(0) \right)[/mm]
Wie muss man z.B. so ein [mm]{dx \over dt}(t)[/mm] auffassen? Als Funktion vermutlich hier, oder kann es auch als Faktor auftreten? Mich verwirrt einfach, dass man immer wieder solche Deltas findet, für die ich nicht recht weiss, was dafür konkret einzusetzen ist beim Anwenden einer Formel, wenn überhaut etwas.
Falls es hier zu kompliziert ist zum Erklären oder viele verschiedene Bedeutungen haben kann – was ich befürchte – Wo kann man sowas gründlich erklärt finden? Irgendeine Buchempfehlung vielleicht?
Danke für jede Hilfe
P.S.: Konnte die Formeln jetzt leserlich hinschreiben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Mo 21.05.2018 | | Autor: | donp |
Entfernt, weil in obige Frage entsprechend umformuliert.
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Hallo,
vorneweg: ich rate dir, dein Wissen im Bereich Analysis 1* aufzufrischen. Dazu würde ich ein geeignetes Lehrbuch verwenden, bei Interesse wirst du hier auf Nachfrage bestimmt viele geeignete Tipps bekommen.
*das sind i.W. Grundlagen sowie Differenzial- und Integralrechnung für eindimensionale Funktionen.
Nun zu deinen Fragen:
>
> Formulierung der Energieerhaltung:
>
> [mm]{dE \over dt}[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] E = const.
>
> Erklären Sie die Bedeutung von dE und dt und überhaupt
> die Verwendung von etwas wie dx in mathematischen Formeln
> ;)
>
Gut. Klären wir doch gleich einmal, was da oben steht. Der Term [mm] \frac{dE}{dt} [/mm] ist ein sog. Differenzialquotient und damit nichts anderes als eine Ableitung. Offensichtlich geht es hier um eine Funktion y=E(t), also vermutlich um eine Funktion, die einen Energiebetrag in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Zu der Tatsache, dass die Ableitung dieser Funktion, also ihre momentane Änderungsrate, gleich Null ist, ist dann offensichtlich der Sachverhalt äquivalent, dass dieser Energiebetrag konstant ist. Aus der Schule wirst du das kennen, dass für f(x)=c stets f'(x)=0 gilt. Und nichts anderes haben wir da oben.
>
> Konkret verstehe ich es so: Der Unterschied (Delta E) im
> Verlauf der Zeit (Delta t) ist 0, also keiner. Soweit so
> gut... aber demnach kann das kein eigentlicher Bruch in
> mathematischem Sinn sein.. oder doch? Weil das Delta im
> Zähler eben 0 ist?
>
Ich würde mit dem Namen des vierten Buchstabens aus dem griechischen Alphabet etwas vorsichtiger sein. Schaue dir mal die ![[]](/images/popup.gif) Definition der Differenzialrechnung auf Wikipedia an. Dort wird (mittlerweile wieder) in Teilen die alte Schreibweise von Leibniz verwendet. Dieser hatte die Angewohnheit, kleine positive Größen mit griechischen Großbuchstaben zu bezeichnen, während er das was nach dem sog. Grenzübergang entstand, also die 'unendlich kleinen Größen' mit den enstprechnenden lateinischen Kleinbuchstaben bezeichnete (und das macht man bis heute so!). Das entspricht dem essentiellen Unterschied, den es ziwschen diesen Größen gibt: so lange man noch eine von Null verschiedene Differenz zumindest im Nenner hat, also etwa
[mm] \frac{E(t_2)-E(t_1)}{t_2-t_1}= \frac{\Delta E}{\Delta t}\ ;\ t_1\ne t_2[/mm]
solange ist das ein Bruch im Sinne der Algebra. Und so lange kann man sagen: das sind kleine Änderungen der betreffenden Größen.
Wenn man aber jetzt in der Analysis [mm]\Delta t[/mm] gegen Null gehen lässt, um die Ableitung zu erhalten:
[mm] \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta E}{\Delta t}= \frac{dE}{dt}=\dot{E} [/mm]
dann spricht man nicht mehr von Differenzen, sondern von Differenzialen bzw. von der Ableitung (die ich hier in der Annahme, dass t für die Zeit steht, wie in der Physik üblich mit einem Punkt notiert habe). Der Quotient, welcher die Ableitung bildet, heißt Differenzialquotient und du hast schon richtig erkannt, dass das kein normaler Bruch mehr ist. Kein Bruch mehr im mathematischen Sinn, soweit würde ich nicht gehen, aber eben auch kein Bruch im Sinne der Algebra (denn dort ist die Division durch Null grundsätzlich ausgeschlossen, zumindest innerhalb der klassischen Strukturen).
Dieser Quotient als ganzes hat eine überragende Bedeutung: er steht für die momentane Änderungsrate der zugrundeliegenden Funktion. Zähler und Nenner jedoch hier noch eine außermathematische, also anwendungsbezogene Bedeutung zu geben, halte ich nicht für sinnvoll. Denn vom Anwendungstandpunkt aus gesehen haben die Differenziale einfach den Wert Null (innerhalb der modernen Mathematik wird das bis heute kontrovers diskutiert, aber das ist eine komplizierte Materie).
>
> Ok, diese Aufgabe habe ich mir selber gestellt, weil das
> ich noch nie wirklich verstanden habe, auch nicht auf
> Nachfrage beim Mathelehrer zum dx bei Integralen in der
> Oberstufe. Er gab leider nur etwas schwammige Auskunft
> darüber. Hängen blieb mir unter'm Strich etwa sinngemäß
> "man schreibt das halt so hin, damit man die veränderliche
> Größe erkennt".
Wenn das in der Schule so gesagt wurde, dann ist es traurig. Tatsächlich entsteht das Integral aus dem Produkt [mm]f(x)*dx[/mm], das Integralzeichen ist eher nur 'schmückendes Beiwerk'. Gerade in der Physik hat man oft keinerlei Hemmungen, für unbestimmte Integrale so etwas wie
[mm]x^2*dx= \frac{x^3}{3}+C[/mm]
zu schreiben.
> Manchmal steht ein dx oder ein Bruch mit dx auch da wie ein
> normaler Faktor oder eine Funktion, z.B. in:
>
> [mm]E \left( t, x(t), {dx \over dt}(t) \right) = E \left( 0, x(0), {dx \over dt}(0) \right)[/mm]
>
> Wie muss man z.B. so ein [mm]{dx \over dt}(t)[/mm] auffassen?
In der obigen Schreibweise kann ich keinen Sinn erkennen. Da es offensichtlich um eine Funktion E geht und die Parameter Nr. 2 u. 3 vom ersten Parameter t abhängen, könnte man diese Gleichung genausogut als
E(t)=E(0)
notieren. Aber die Bedeutung ist immer die gleiche: Lassen wir oben t die Zeit sein, dann ist x(t) eine Funktion der Zeit und [mm] \frac{dx}{dt}(t)[/mm] soll wohl die Ableitung der Funktion x(t) nach der Zeit sein.
> ...
> Falls es hier zu kompliziert ist zum Erklären oder viele
> verschiedene Bedeutungen haben kann – was ich befürchte
> – Wo kann man sowas gründlich erklärt finden?
> Irgendeine Buchempfehlung vielleicht?
Ich würde dir mal ad hoc folgendes Buch (mittlerweile auch als e-Book erhältlich) empfehlen:
Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1
Das eignet sich auf jeden Fall, um sich in die Materie wieder einzulesen. Je nachdem was du vorhast, wirst du dann jedoch noch weiterführende Literatur benötigen.
Gruß, Diophant
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 11:20 Di 22.05.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
erstmal vorweg ein Danke an dich, Diophant, für die ausführliche Antwort 
Ich wollte auch etwas schreiben, sah aber, dass du die Frage markiert hattest... und bin ehrlicherweise auch ganz froh, dass ich den Roman nicht tippen musste ^^
Ich habe noch ein paar Anmerkungen zu deiner ansonsten ausführlichen Antwort:
> Tatsächlich entsteht das Integral aus dem Produkt
> [mm]f(x)*dx[/mm], das Integralzeichen ist eher nur 'schmückendes Beiwerk'.
Meines Wissens ist das Integralzeichen ein stilisiertes "S" und steht für "Summe". Das macht auch Sinn, da im anschaulichen Sinne die "Flächenteilstücke" [mm]f(x)*dx[/mm] aufsummiert werden.
> > Wie muss man z.B. so ein [mm]{dx \over dt}(t)[/mm] auffassen?
Also erst mal als Ergänzug: Ich habe den Fragesteller so verstanden, dass er die Unterschiede zwischen [mm]\frac{dx}{dt}[/mm] und [mm]\frac{dx}{dt}(t)[/mm] nicht versteht.
Wie Diophant bereits schrieb: Man kann anstelle von [mm]\frac{dx}{dt}[/mm] auch[mm]\,f'[/mm] schreiben.
Möchte man nun das Argument noch mit angeben, schreib man für gewöhnlich $f'(t)$, und ebenso tut man das bei der Differenzialschreibweise, indem man das Argument einfach in Klammern hinten anhängt: [mm]\frac{dx}{dt}(t)[/mm]
Zusammengefasst: [mm]\frac{dx}{dt}[/mm] bezeichnet die gesamte Ableitung als Funktion während [mm]\frac{dx}{dt}(t)[/mm] die Ableitungsfunktion ausgewertet an der Stelle t meint.
> > $ E [mm] \left( t, x(t), {dx \over dt}(t) \right) [/mm] = E [mm] \left( 0, x(0), {dx \over dt}(0) \right) [/mm] $
>
> In der obigen Schreibweise kann ich keinen Sinn erkennen.
> Da es offensichtlich um eine Funktion E geht und die
> Parameter Nr. 2 u. 3 vom ersten Parameter t abhängen,
> könnte man diese Gleichung genausogut als
>
> E(t)=E(0)
>
> notieren.
Mathematisch hast du natürlich recht.
In der Physik verwendet man obige Notation aber oft um gerade hervorzuheben, dass die Funktion E von der Zeit, der gegebenen Funktion und deren ersten Ableitung abhängt, aber eben nicht vom Wert der zweiten Ableitung.
Man erhält dadurch auch ein "leichteres" Einsetzungsverfahren. Denn wenn ich eine andere Funktion x(t) habe (z.B. für ein anderes Teilchen), kann ich dennoch meine Definition für die Funktion E verwenden… das ginge bei deiner Schreibweise nicht mehr.
Nur der Vollständigkeit halber:
Gerade in der Physik verwendet man neben den "mathematischen" Bezeichnungen für die Ableitung [mm]\frac{dx}{dt}[/mm] und $x'$ bei der Ableitung nach der Zeit noch die Notation mit einem übergestellten Punkt, also [mm] $\dot{x}$ [/mm] und alles bedeutet faktisch dasselbe, d.h. es gilt:
[mm]\frac{dx}{dt} = x' = \dot{x}[/mm] bzw mit Argumenten
[mm]\frac{dx}{dt}(t) = x'(t) = \dot{x}(t)[/mm]
Zum Abschluss möchte ich noch etwas zum Thema "Rechnen mit Differenzialen" loswerden: Man sieht oft, dass mit Differenzialen einfach "gerechnet" wird, also dass sie bspw. gekürzt werden, als wären es normale Zahlen. Früher ging man sogar davon aus, dass das immer so geht.
In vielen Fällen funktioniert das sogar, allerdings im Allgemeinen eben nicht, wie man heute weiß… d.h. wenn man das macht, sollte man sich bewusst sein, wann das funktioniert und wieso man das so machen darf.
Ganz ohne Kommentar ist das aber unsauber…
In diesem Sinne,
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 11:48 Di 22.05.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> ...
> Ich habe noch ein paar Anmerkungen zu deiner ansonsten
> ausführlichen Antwort:
>
> > Tatsächlich entsteht das Integral aus dem Produkt
> > [mm]f(x)*dx[/mm], das Integralzeichen ist eher nur 'schmückendes
> Beiwerk'.
>
> Meines Wissens ist das Integralzeichen ein stilisiertes "S"
> und steht für "Summe". Das macht auch Sinn, da im
> anschaulichen Sinne die "Flächenteilstücke" [mm]f(x)*dx[/mm]
> aufsummiert werden.
Ja, genau so ist es. So lange man Ober- bzw. Unter- oder auch Riemannsummen hat, fungiert das große Sigma als 'Operator'. Daraus sollte konsistent zu den anderen Bezeichnung ein kleines 's' werden, welches aus ästhetischen Gründen (ja, das gab es in der Mathematik früher auch...) zu dem heute bekannten Symbol 'gestreckt' wurde. Ich wollte diese Dinge erwähnen, da man an solchen Kleinigkeiten ja auch irgendwie sehen kann, welch großartige Geister da in Person von Leibniz und Newton am Werk waren, wollte aber nicht noch mehr Verwirrung stiften, da es dem Fragesteller ja offensichtlich erst einmal um die Ableitung geht.
> > > Wie muss man z.B. so ein [mm]{dx \over dt}(t)[/mm] auffassen?
>
> Also erst mal als Ergänzug: Ich habe den Fragesteller so
> verstanden, dass er die Unterschiede zwischen [mm]\frac{dx}{dt}[/mm]
> und [mm]\frac{dx}{dt}(t)[/mm] nicht versteht.
>
> Wie Diophant bereits schrieb: Man kann anstelle von
> [mm]\frac{dx}{dt}[/mm] auch[mm]\,f'[/mm] schreiben.
> Möchte man nun das Argument noch mit angeben, schreib man
> für gewöhnlich [mm]f'(t)[/mm], und ebenso tut man das bei der
> Differenzialschreibweise, indem man das Argument einfach in
> Klammern hinten anhängt: [mm]\frac{dx}{dt}(t)[/mm]
>
> Zusammengefasst: [mm]\frac{dx}{dt}[/mm] bezeichnet die gesamte
> Ableitung als Funktion während [mm]\frac{dx}{dt}(t)[/mm] die
> Ableitungsfunktion ausgewertet an der Stelle t meint.
Ja, da hätte ich noch näher darauf eingehen sollen. Mein Text ist ein wenig mit der heißen Nadel gestrickt, da passiert so etwas.
>
> > > [mm]E \left( t, x(t), {dx \over dt}(t) \right) = E \left( 0, x(0), {dx \over dt}(0) \right)[/mm]
> >
> > In der obigen Schreibweise kann ich keinen Sinn erkennen.
> > Da es offensichtlich um eine Funktion E geht und die
> > Parameter Nr. 2 u. 3 vom ersten Parameter t abhängen,
> > könnte man diese Gleichung genausogut als
> >
> > E(t)=E(0)
> >
> > notieren.
>
> Mathematisch hast du natürlich recht.
> In der Physik verwendet man obige Notation aber oft um
> gerade hervorzuheben, dass die Funktion E von der Zeit, der
> gegebenen Funktion und deren ersten Ableitung abhängt,
> aber eben nicht vom Wert der zweiten Ableitung.
> Man erhält dadurch auch ein "leichteres"
> Einsetzungsverfahren. Denn wenn ich eine andere Funktion
> x(t) habe (z.B. für ein anderes Teilchen), kann ich
> dennoch meine Definition für die Funktion E verwenden…
> das ginge bei deiner Schreibweise nicht mehr.
Ok. Das ergibt Sinn. Da bin ich zu wenig Physiker, um mich zu erinnern, so etwas schonmal gelesen zu haben.
> Nur der Vollständigkeit halber:
> Gerade in der Physik verwendet man neben den
> "mathematischen" Bezeichnungen für die Ableitung
> [mm]\frac{dx}{dt}[/mm] und [mm]x'[/mm] bei der Ableitung nach der Zeit noch
> die Notation mit einem übergestellten Punkt, also [mm]\dot{x}[/mm]
> und alles bedeutet faktisch dasselbe, d.h. es gilt:
>
> [mm]\frac{dx}{dt} = x' = \dot{x}[/mm] bzw mit Argumenten
> [mm]\frac{dx}{dt}(t) = x'(t) = \dot{x}(t)[/mm]
>
>
Das hatte ich ja weiter oben auch erwähnt. Aber gut, wenn es nochmals näher erläutert wird.
> Zum Abschluss möchte ich noch etwas zum Thema "Rechnen mit
> Differenzialen" loswerden: Man sieht oft, dass mit
> Differenzialen einfach "gerechnet" wird, also dass sie
> bspw. gekürzt werden, als wären es normale Zahlen.
> Früher ging man sogar davon aus, dass das immer so geht.
> In vielen Fällen funktioniert das sogar, allerdings im
> Allgemeinen eben nicht, wie man heute weiß… d.h. wenn
> man das macht, sollte man sich bewusst sein, wann das
> funktioniert und wieso man das so machen darf.
> Ganz ohne Kommentar ist das aber unsauber…
>
Ja, aber da muss man sich schon ganz gut in die Grundlagen eingearbeitet haben, um das verstehen zu können (was der Themenstarter ja offensichtlich auch vorhat).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Di 22.05.2018 | | Autor: | donp |
Vielen Dank euch für die umfangreichen Ausführungen.
Da lichtet sich doch gleich der Nebel ein gutes Stück weit. Werde auf jeden Fall dem Rat folgen und nochmal die Kenntnisse in Analysis, Differential- und Integralrechnung auffrischen.
Ohne wenigstens eine Ahnung was solche Formeln ausdrücken, kann man ja kaum einen naturwissenschaftlichen Wikipedia-Artikel lesen, oder jedenfalls nicht verstehen... und Mathematik interessiert mich halt schon.
Die Schule hatte mir mit der Zeit den Spass daran etwas verdorben, und ich fühlte mich schliesslich richtig betrogen, als sich erst gegen Ende der Schulzeit plötzlich herausstellte, dass wir jahrelang mit Kurvendiskussionen etc. "gequält" worden waren, obwohl es doch noch was viel schöneres gibt, z.B. analytische Geometrie, Vektoren, Matrizen usw., wo plötzlich alles wunderbar klar und anschaulich vor Augen lag. Wenn man nicht aus akademischem Elternhaus stammt, kommt man von selber nicht entfernt auf die Idee, wie groß und schön die Gedankenwelt eigentlich sein kann, sogar in der Mathematik... aber ich schweife ab :)
Wenn es noch Fragen gibt, weiss ich ja jetzt, wo ich nach fragen kann.
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Nur kurz zu deiner Frage, warum man beim Integral das dx nicht weglassen kann. Tun wir das mal einfach.
Beispiel: [mm] \integral{x^2}
[/mm]
Wir [mm] wissen:\integral{x^2}=\bruch{1}{3}x^3
[/mm]
Das vereinfachen wir mal: [mm] y=x^2 [/mm] als Abkürzung.
Somit: [mm] \integral{x^2}=\integral{y}=\bruch{1}{2}y^2=\bruch{1}{2}x^4
[/mm]
Nanu. Sieht ein bisschen anders aus, oder?
Oder sagen wir mal [mm] \integral{(x-9)^{12}}. [/mm] Das gibt einen Term 12. Grades, wenn man die Klammer ausrechnet, und das Integral wäre 13. Grades.
Wir machen wieder [mm] y=(x-9)^{12} [/mm] und damit [mm] \integral{y}=\bruch{1}{2}y^2=\bruch{1}{2}(x-9)^{24}, [/mm] ein Term 24. Grades.
Überhaupt können wir nun auf diese Weise alles integrieren und wissen gar nicht, warum mit Integralen ganze Bücher gefüllt werden, weil die angeblich so schwer zu berechnen sind...
Jetzt mal mit dx:
Beispiel: [mm] \integral{x^2 dx}
[/mm]
Keiner würde das so machen wie ich jetzt, ich zeige dir nur, dass es mit dx funktioniert. Es gibt aber komplizierte Funktionen, die sich nur auf die folgende Art berechnen lassen!
Wir [mm] wissen:\integral{x^2 dx}=\bruch{1}{3}x^3
[/mm]
Das vereinfachen wir mal: [mm] y=x^2 [/mm] als Abkürzung.
Somit: [mm] \integral{x^2 dx}=\integral{y dx}= [/mm] ???
Nun brauchen wir ein dy.
Es ist [mm] \bruch{dy}{dx}=2x [/mm] (die Ableitung von y nach x), also
[mm] \bruch{dy}{2x}=dx [/mm] und somit
[mm] \integral{y dx}=\integral{ \bruch{y}{2x}dy}= [/mm] ???
jetzt haben wir y, dy, aber noch ein störendes x. Das drücken wir nun auch durch y aus:
x = [mm] \wurzel{y}.
[/mm]
[mm] ...=\integral{ \bruch{y}{2\wurzel{y}}dy}=\integral{ \bruch{\wurzel{y}}{2}dy}=\integral{ \bruch{y^{0,5}}{2}dy}=\bruch{y^{1,5}}{3}=y\wurzel{y}/3=x^2x/3=x^3/3
[/mm]
Und das stimmt mit obigem Ergebnis überein.
Hier ein Beispiel, wo es sich wirklich lohnt:
[mm] \integral{sinx*cosx dx}
[/mm]
Setze y=sinx. Dann ist dy/dx=cosx, also dy=cosx dy und damit
[mm] \integral{sinx*cosx dx}=\integral{y*dy}=y^2/2=sin^2x [/mm] /2
Zur Kontrolle kannst du das mit der Produktregel wieder ableiten und feststellen, dass das Ergebnis stimmt.
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