Bedingungen angeben < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Funktion f habe bei 1 eine Nullstelle, c und d seien aus [mm] \IR. [/mm] Welche Bedingungen müssen c und d erfüllen? Geben Sie weiter die Bedingungen für c und d an, damit f keine (eine, zwei) weitere Nullstellen hat. |
Habe ich das richtig gemacht?
[mm] f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d
[/mm]
f(1)= 4+c+d=0
Bedingung: c+d=-4
[mm] f(x)=2x(x^{2}+x+0,5c)+d
[/mm]
[mm] x_{1,2}=-0,5\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c}
[/mm]
Diskriminante [mm] D=\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c
[/mm]
zu berücksichtigen: f(0)=d
keine Nst: D<0 für c<0,5, [mm] d\not=0
[/mm]
eine Nst: D=0 für c=0,5, [mm] d\not=0
[/mm]
zwei Nst: D>0 für c >0,5, [mm] d\not=0
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:23 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Philipp91 |
Hallo Mathe-Andi,
> Die Funktion f habe bei 1 eine Nullstelle, c und d seien
> aus [mm]\IR.[/mm] Welche Bedingungen müssen c und d erfüllen?
> Geben Sie weiter die Bedingungen für c und d an, damit f
> keine (eine, zwei) weitere Nullstellen hat.
> Habe ich das richtig gemacht?
bitte schreibe die komplette Aufgabe ins Forum. Ist explizit gefordert das f ein Polynom 3. Grades ist?
>
>
>
> [mm]f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d[/mm]
>
> f(1)= 4+c+d=0
>
> Bedingung: c+d=-4
>
> [mm]f(x)=2x(x^{2}+x+0,5c)+d[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}=-0,5\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c}[/mm]
>
> Diskriminante [mm]D=\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c[/mm]
>
> zu berücksichtigen: f(0)=d
>
> keine Nst: D<0 für c<0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>
> eine Nst: D=0 für c=0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>
> zwei Nst: D>0 für c >0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>
>
MFG Philipp
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Hallo,
wir betrachten hier die Funktion f mit [mm] f(x)=$f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d$.
[/mm]
> Die Funktion f habe bei 1 eine Nullstelle, c und d seien
> aus [mm]\IR.[/mm] Welche Bedingungen müssen c und d erfüllen?
> Geben Sie weiter die Bedingungen für c und d an, damit f
> keine (eine, zwei) weitere Nullstellen hat.
> Habe ich das richtig gemacht?
>
>
>
> [mm]f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d[/mm]
>
> f(1)= 4+c+d=0
>
> Bedingung: c+d=-4
Ja, richtig.
Also ist d=-4-c, und man kann f(x) schreiben als
[mm] $f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c$ [/mm] mit [mm] c\in \IR.
[/mm]
>
> [mm]f(x)=2x(x^{2}+x+0,5c)+d[/mm]
So kommst Du nicht zum Ziel.
f(x) muß für die jetzt anstehende Untersuchung in ein Produkt zerlegt werden:
Du mußt zuerst den zur Nullstelle [mm] x_1=1 [/mm] gehörenden Linearfaktor, also (x-1), ausklammern und dann das verbleibende quadratische Polynom untersuchen.
Schreibe also [mm] f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c [/mm] als f(x)=(x-1)*(quadratisches [mm] \quad [/mm] Polynom) und untersuche danach die Nullstellen des quadratischen Polynoms.
Das quadratische Polynom kannst Du z.B. duch Polynomdivision durch (x-1) finden.
LG Angela
>
> [mm]x_{1,2}=-0,5\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c}[/mm]
>
> Diskriminante [mm]D=\bruch{1}{4}-\bruch{1}{2}c[/mm]
>
> zu berücksichtigen: f(0)=d
>
> keine Nst: D<0 für c<0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>
> eine Nst: D=0 für c=0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>
> zwei Nst: D>0 für c >0,5, [mm]d\not=0[/mm]
>
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Ok,
für diese Untersuchung muss ich also die teilweise Linearfaktorzerlegung anstreben, damit ich das quadratische Polynom gesondert von der bereits bekannten Nullstelle untersuchen kann.
[mm] f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d
[/mm]
f(1)=4+c+d=0
c+d=-4 [mm] \Rightarrow [/mm] d=-4-c
[mm] f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c
[/mm]
Polynomdivision:
[mm] (2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c) [/mm] : (x-1) = [mm] 2x^{2}+4x+c+4
[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] f(x)=(x-1)(2x^{2}+4x+c+4)
[/mm]
[mm] 2x^{2}+4x+c+4=0
[/mm]
[mm] x_{1}=-1+\wurzel{-0,5c-1}
[/mm]
[mm] x_{2}=-1-\wurzel{-0,5c-1}
[/mm]
Untersuchung an der Diskriminante: D=-0,5c-1
keine Nst: D<0 für c<-2
eine Nst: D=0 für c=-2
zwei Nst: D>0 für c>-2
Damit wäre die Aufgabe hoffentlich richtig gelöst!? 
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Hallo,
> für diese Untersuchung muss ich also die teilweise
> Linearfaktorzerlegung anstreben, damit ich das quadratische
> Polynom gesondert von der bereits bekannten Nullstelle
> untersuchen kann.
>
> [mm]f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx+d[/mm]
> f(1)=4+c+d=0
> c+d=-4 [mm]\Rightarrow[/mm] d=-4-c
> [mm]f(x)=2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c[/mm]
>
> Polynomdivision:
>
> [mm](2x^{3}+2x^{2}+cx-4-c)[/mm] : (x-1) = [mm]2x^{2}+4x+c+4[/mm]
>
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]f(x)=(x-1)(2x^{2}+4x+c+4)[/mm]
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]2x^{2}+4x+c+4=0[/mm]
> [mm]x_{1}=-1+\wurzel{-0,5c-1}[/mm]
> [mm]x_{2}=-1-\wurzel{-0,5c-1}[/mm]
>
> Untersuchung an der Diskriminante: D=-0,5c-1
>
> keine Nst: D<0 für c<-2
> eine Nst: D=0 für c=-2
> zwei Nst: D>0 für c>-2
>
> Damit wäre die Aufgabe hoffentlich richtig gelöst!?
>
>
Wenn die Anzahl der Nullstellen nur für den quadratischen Faktor gelten soll, dann ja. Bedenke aber, dass du einen Linearfaktor hast, der in jedem Fall eine Nullstelle liefert. Die Funktion f bseitzt damit, wie jede ganzrationale Funktion ungerader Ordnung, mindestens eine Nullstelle, und u.U. eben auch zwei oder drei.
Zusatzfrage: wie sieht das geometrisch aus für den Fall, dass die Diskriminante gleich Null ist und f somit zwei Nullstellen besitzt? Von welcher Art ist insbesondere eine dieser Nullstellen?
Gruß, Diophant
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Ja, es ist nach keiner, einer bzw. zwei weiteren Nullstellen gefragt.
Zur Zusatzfrage:
angenommen D=0, wären die Nullstellen
[mm] x_{1}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=-1
[/mm]
[mm] x_{3}=-1
[/mm]
Eine doppelte Nullstelle bei -1 würde sich graphisch in einem Berührpunkt an x-Achse äußern, eine Extremstelle an der die x-Achse nicht geschnitten wird.
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Hallo,
> Ja, es ist nach keiner, einer bzw. zwei weiteren
> Nullstellen gefragt.
alles klar, dann passt deine obige Antwort.
> Zur Zusatzfrage:
>
> angenommen D=0, wären die Nullstellen
>
> [mm]x_{1}=1[/mm]
> [mm]x_{2}=-1[/mm]
> [mm]x_{3}=-1[/mm]
>
> Eine doppelte Nullstelle bei -1 würde sich graphisch in
> einem Berührpunkt an x-Achse äußern, eine Extremstelle
> an der die x-Achse nicht geschnitten wird.
Genau so ist es. Und es ist bei vielen Aufgaben hilfreich, dies zu wissen: immer wenn die Vielfachheit einer solchen Nullstellegerade ist, liegt ein Berührpunkt vor.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:33 Sa 14.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Auswertung für c ist falsch ausser für eine Nullstelle. z.b D>0 für c<-2
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Mathe-Andi,
netterweise hat leduart gut aufgepasst:
> keine Nst: D<0 für c<-2
> eine Nst: D=0 für c=-2
> zwei Nst: D>0 für c>-2
Es ist genau andersherum:
c<-2: zwei NST
c=-2: eine NST
c>-2: keine NST
Das war vermutlich ein Tipp- oder ein kleiner Denkfehler, auf jeden Fall natürlich noch wichtig, es noch zu korrigieren.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
keine Nst: D<0 für c>-2
eine Nst: D=0 für c=-2
zwei Nst: D>0 für c<-2
Stimmt ja, eine Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen um. Danke für den Hinweis!
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