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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Do 02.07.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Geben Sie jeweils ein Beispiel an für:
a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist
b) Halbgruppe, die kein Monoid ist
c) Monoid, das keine Gruppe ist
d) nicht abelsche Gruppe unendlicher Ordnung, die ausschließlich Elemente der Ordnung [mm] 1,2,5 [/mm] enthält
e) unendlich, nicht kommutativer, nicht unitärer Ring mit Nullteilern
f) endlicher, nicht kommutativer Ring mit Nullteilern
g) Ring der Charakteristik 3 und Ordnung 9 |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf ein Testat vor.
Zur Vorbereitung möchte ich die oben gestellte Aufgabe lösen.
Hier meine Vorschläge:
a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist
b) Halbgruppe, die kein Monoid ist
[mm] (\IN,+) [/mm]
c) Monoid, das keine Gruppe ist
[mm] (\IR^{2 \times 2},\*)
[/mm]
d) nicht abelsche Gruppe unendlicher Ordnung, die ausschließlich Elemente der Ordnung [mm] 1,2,5 [/mm] enthält
e) unendlich, nicht kommutativer, nicht unitärer Ring mit Nullteilern
[mm] ((2\IZ)^{2 \times 2},+, \*)
[/mm]
f) endlicher, nicht kommutativer Ring mit Nullteilern
g) Ring der Charakteristik 3 und Ordnung 9
[mm] (\IZ_{3} \times \IZ_{3},+,\*)
[/mm]
Bei a), d) und f) habe ich leider keine Idee. Vielleicht kann mir da jemand helfen.
Vielen Danke
Liebe Grüße
riju
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Do 02.07.2015 | | Autor: | riju |
Ich habe jetzt noch ein paar Ideen zu a) d) und f)
> a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist
Verknüpfungstafel
[mm] \pmat{ & a & b & c \\ a & a & b & c \\ b & c & a & b \\ c & b & c & a }
[/mm]
(wobei die erste Spalte die Randspalte ist und die erste Zeile die Kopfzeile ist)
> d) nicht abelsche Gruppe unendlicher Ordnung, die
> ausschließlich Elemente der Ordnung [mm]1,2,5[/mm] enthält
[mm] D_{5} \times D_{5} \times \ldots [/mm] = [mm] \times_{i \in \IN} D_{5}
[/mm]
> f) endlicher, nicht kommutativer Ring mit Nullteilern
[mm] ((\IZ_{2})^{2 \times 2},+,\*)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Fr 03.07.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe jetzt noch ein paar Ideen zu a) d) und f)
> > a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist
>
> Verknüpfungstafel
> [mm]\pmat{ & a & b & c \\ a & a & b & c \\ b & c & a & b \\ c & b & c & a }[/mm]
>
> (wobei die erste Spalte die Randspalte ist und die erste
> Zeile die Kopfzeile ist)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > d) nicht abelsche Gruppe unendlicher Ordnung, die
> > ausschließlich Elemente der Ordnung [mm]1,2,5[/mm] enthält
>
> [mm]D_{5} \times D_{5} \times \ldots[/mm] = [mm]\times_{i \in \IN} D_{5}[/mm]
> > f) endlicher, nicht kommutativer Ring mit Nullteilern
> [mm]((\IZ_{2})^{2 \times 2},+,\*)[/mm]
(Wenn der Ring eine 1 enthält, endlich ist und keine Nullteiler hat, so muss er übrigens bereits ein kommutativer Körper sein: aus dem Nicht-Vorhandensein von Nullteilern folgt, dass es sich um einen Schiefkörper handeln muss, und nach dem Satz von Wedderburn sind alle endlichen Schiefkörper bereits Körper, also kommutativ.)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Do 02.07.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Geben Sie jeweils ein Beispiel an für:
> a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist
> b) Halbgruppe, die kein Monoid ist
> c) Monoid, das keine Gruppe ist
> d) nicht abelsche Gruppe unendlicher Ordnung, die
> ausschließlich Elemente der Ordnung [mm]1,2,5[/mm] enthält
> e) unendlich, nicht kommutativer, nicht unitärer Ring mit
> Nullteilern
> f) endlicher, nicht kommutativer Ring mit Nullteilern
> g) Ring der Charakteristik 3 und Ordnung 9
> Hallo,
>
> ich bereite mich gerade auf ein Testat vor.
> Zur Vorbereitung möchte ich die oben gestellte Aufgabe
> lösen.
>
> Hier meine Vorschläge:
> a) Quasigruppe, die keine Gruppe ist
>
>
> b) Halbgruppe, die kein Monoid ist
> [mm](\IN,+)[/mm]
Wenn [mm] $\IN$ [/mm] bei euch die 0 nicht enthält, dann ja :)
> c) Monoid, das keine Gruppe ist
> [mm](\IR^{2 \times 2},\*)[/mm]
Es geht aber auch einfacher. Du kannst z.B. [mm] $(\IN, \cdot)$ [/mm] betrachten (egal ob mit oder ohne 0).
> e) unendlich, nicht kommutativer, nicht unitärer Ring mit
> Nullteilern
> [mm]((2\IZ)^{2 \times 2},+, \*)[/mm]
> g) Ring der Charakteristik 3 und Ordnung 9
> [mm](\IZ_{3} \times \IZ_{3},+,\*)[/mm]
LG Felix
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