Beispiele finden für Ringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:20 Fr 13.12.2013 | | Autor: | derriemann |
| Aufgabe | Finden Sie möglichst viele nicht isomorphe Beispiele für Ringe R, die die untenstehenden Eigenschaften erfüllen. Hierbei soll R entweder ein Polynomring über [mm] \IR [/mm] oder ein Restklassenring eines Polynomringes nach einem seiner Ideale sein.
a) R kein Integritätsbereich (mind. zwei Beispiele)
b) R faktoriell, aber kein Hauptidealring (mind. ein Beispiel)
c) R euklidisch, aber kein Körper (mind. ein Beispiel)
d) R Körper (mind. zwei Beispiele) |
Hallo, 
wollte nur fragen, ob meine Beispiele so richtig sind:
a)
[mm] \varphi_{\alpha}: \IZ[x] \rightarrow \IZ_{4}, [/mm] mit p(x) [mm] \longmapsto p(\alpha) [/mm] mod 4, für festes [mm] \alpha \in \IZ_{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \IZ[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IZ_{4}
[/mm]
Sei z.B. [mm] \alpha=1, [/mm] dann gilt
[mm] \IZ[x]/(4x) \cong \IZ_{4}
[/mm]
Da [mm] \IZ_{4} [/mm] kein Integritätsbereich (2*2=0) folgt R[x]/ker [mm] \varphi_{\alpha} [/mm] kein Integritätsbereich
Und dann nochmal genau das selbe mit [mm] \IZ_{9} [/mm] (3*3=0)
b) [mm] \IR[x,y] [/mm] faktoriell, aber kein Hauptidealring, da (x,y) kein Hauptideal
c) [mm] \varphi_{\alpha}: \IZ[x] \rightarrow \IZ, [/mm] mit p(x) [mm] \longmapsto p(\alpha), [/mm] für festes [mm] \alpha \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow \IZ[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IZ
[/mm]
Sei z.B. [mm] \alpha [/mm] = 1, dann gilt
[mm] \IZ[x]/(x-1) \cong \IZ
[/mm]
Da [mm] \IZ [/mm] euklidisch, aber kein Körper, folgt aufgrund der Isomorphie die Behauptung
d) [mm] \varphi_{\alpha}: \IR[x] \rightarrow \IR, [/mm] mit p(x) [mm] \longmapsto p(\alpha), [/mm] für festes [mm] \alpha \in \IR
[/mm]
[mm] \IR[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IR
[/mm]
Sei z.B. [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel{2}, [/mm] dann gilt
[mm] \IR[x]/(x^{2}-2) \cong \IR
[/mm]
Da [mm] \IR [/mm] Körper folgt aufgrund der Isomorphie, dass [mm] \IR[x]/ker \varphi_{\alpha} [/mm] Körper ist
Das selbe nochmal mit [mm] \IC
[/mm]
Wäre das so ok? Würde mich über eine Rückmeldung freuen
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Sa 14.12.2013 | | Autor: | derriemann |
Niemand, der kurz rüberguckt? :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 So 15.12.2013 | | Autor: | derriemann |
:-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 So 15.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
sorry das ich erst jetzt schreibe, aber bevor das niemand tut hier ein paar Kommentare:
> Finden Sie möglichst viele nicht isomorphe Beispiele für
> Ringe R, die die untenstehenden Eigenschaften erfüllen.
> Hierbei soll R entweder ein Polynomring über [mm]\IR[/mm] oder ein
> Restklassenring eines Polynomringes nach einem seiner
> Ideale sein.
>
> a) R kein Integritätsbereich (mind. zwei Beispiele)
> b) R faktoriell, aber kein Hauptidealring (mind. ein
> Beispiel)
> c) R euklidisch, aber kein Körper (mind. ein Beispiel)
> d) R Körper (mind. zwei Beispiele)
>
> Hallo,
> wollte nur fragen, ob meine Beispiele so richtig sind:
>
> a)
> [mm]\varphi_{\alpha}: \IZ[x] \rightarrow \IZ_{4},[/mm] mit p(x)
> [mm]\longmapsto p(\alpha)[/mm] mod 4, für festes [mm]\alpha \in \IZ_{4}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \IZ[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IZ_{4}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sei z.B. [mm]\alpha=1,[/mm] dann gilt
>
> [mm]\IZ[x]/(4x) \cong \IZ_{4}[/mm]
Nein, der Kern wird nicht von 4x erzeugt. Der Restklassenring [mm] $\IZ[x]/(4 [/mm] x)$ hat uebrigens unendlich viele Elemente.
Wenn du dir das Ideal $(4, x)$ anschaust stimmt der Isomorphismus. Das ist aber der Kern fuer [mm] $\alpha [/mm] = 0$ und nicht der fuer [mm] $\alpha [/mm] = 1$.
> Da [mm]\IZ_{4}[/mm] kein Integritätsbereich (2*2=0) folgt R[x]/ker
> [mm]\varphi_{\alpha}[/mm] kein Integritätsbereich
>
>
> Und dann nochmal genau das selbe mit [mm]\IZ_{9}[/mm] (3*3=0)
Kann es aber sein, dass du Restklassenringe von Polynomringen ueber [mm] $\IR$ [/mm] anschauen sollst? Dann kannst du diese beiden Beispiele nicht nehmen.
> b) [mm]\IR[x,y][/mm] faktoriell, aber kein Hauptidealring, da (x,y)
> kein Hauptideal
Der Ring [mm] $\IZ[x]$ [/mm] tut's uebrigens auch (ist allerdings wieder kein Polynomring ueber [mm] $\IR$).
[/mm]
> c) [mm]\varphi_{\alpha}: \IZ[x] \rightarrow \IZ,[/mm] mit p(x)
> [mm]\longmapsto p(\alpha),[/mm] für festes [mm]\alpha \in \IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \IZ[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IZ[/mm]
>
> Sei z.B. [mm]\alpha[/mm] = 1, dann gilt
>
> [mm]\IZ[x]/(x-1) \cong \IZ[/mm]
>
> Da [mm]\IZ[/mm] euklidisch, aber kein Körper, folgt aufgrund der
> Isomorphie die Behauptung
Das schon. Aber warum nimmst du nicht einfach [mm] $\IR[x]$?
[/mm]
> d) [mm]\varphi_{\alpha}: \IR[x] \rightarrow \IR,[/mm] mit p(x)
> [mm]\longmapsto p(\alpha),[/mm] für festes [mm]\alpha \in \IR[/mm]
>
> [mm]\IR[x]/ker \varphi_{\alpha} \cong \IR[/mm]
> Sei z.B. [mm]\alpha[/mm] = [mm]\wurzel{2},[/mm] dann gilt
>
> [mm]\IR[x]/(x^{2}-2) \cong \IR[/mm]
Nein! Der Ring [mm] $\IR[x]/(x^2-2)$ [/mm] ist isomorph zu [mm] $\IR \times \IR$! [/mm] Schliesslich ist [mm] $x^2 [/mm] - 2 = (x - [mm] \sqrt{2}) [/mm] (x + [mm] \sqrt{2})$.
[/mm]
Das Ideal [mm] $\ker \varphi_{\sqrt{2}}$ [/mm] ist gleich $(x - [mm] \sqrt{2})$.
[/mm]
> Da [mm]\IR[/mm] Körper folgt aufgrund der Isomorphie, dass
> [mm]\IR[x]/ker \varphi_{\alpha}[/mm] Körper ist
> Das selbe nochmal mit [mm]\IC[/mm]
(ist allerdings wieder kein Polynomring ueber [mm] $\IR$ [/mm] oder ein Quotient eines solchen.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mo 16.12.2013 | | Autor: | derriemann |
Super, dankeschön
|
|
|
| |
|
Hi, eine (oder auch mehrere) Frage habe ich doch noch
Wie kann man sich denn das Ideal (4,x) konkret vorstellen? Wäre das so etwas wie: [mm] \IR[x]*(4,x), [/mm] also z.B. x+4, [mm] x^{2}+4x,...
[/mm]
Und wieso würde denn nicht (4x) gehen?
Würde es denn mehr Beispiele mit [mm] \IR[x] [/mm] geben anstelle von [mm] \IZ[x])? [/mm] Mir sind da überhaupt keine eingefallen
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Di 17.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wie kann man sich denn das Ideal (4,x) konkret vorstellen?
> Wäre das so etwas wie: [mm]\IR[x]*(4,x),[/mm] also z.B. x+4,
> [mm]x^{2}+4x,...[/mm]
Das Ideal $(4, x)$ in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] ist die Menge [mm] $\{ 4 f + x g \mid f, g \in \IZ[x] \}$. [/mm] Durch das $4 f$ bekommst du alle Polynome, deren Koeffizienten durch 4 teilbar sind, und durch $x g$ alle Polynome, deren konstanter Term 0 ist. Wenn du beides addierst und $f, g$ ueber [mm] $\IZ[x]$ [/mm] wandern laesst, bekommst du alle Polynome, deren konstanter Term durch 4 teilbar ist und deren andere Terme beliebig sind.
Damit kannst du [mm] $\IZ[x]/(4, [/mm] x) [mm] \cong \IZ/4\IZ$ [/mm] zeigen.
> Und wieso würde denn nicht (4x) gehen?
Das geht schon, aber nicht so wie du willst. Du musst andere Nullteiler angeben. [mm] ($\IZ$ [/mm] ist uebrigens ein Unterring von [mm] $\IZ[x]/(4x)$.)
[/mm]
> Würde es denn mehr Beispiele mit [mm]\IR[x][/mm] geben anstelle von
> [mm]\IZ[x])?[/mm] Mir sind da überhaupt keine eingefallen
Nein, eher weniger, aber in der Aufgabenstellung wird danach gefragt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hm, aber für a) hätte ich dann so überhaupt keine Ahnung, wie man das mit [mm] \IR [/mm] machen sollte... :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:16 Mi 18.12.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hm, aber für a) hätte ich dann so überhaupt keine
> Ahnung, wie man das mit [mm]\IR[/mm] machen sollte... :-(
$R/I$ ist doch genau dann ein Integritaetsbereich, wenn $I$ ein Primideal ist. Wenn $R = [mm] \IR[x]$ [/mm] ist, was weisst du dann darueber, wann ein Ideal $I = (f)$ ein Primideal ist und wann nicht?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Achso, stimmt. Dieser Satz war schon wieder ganz hinten im Kopf verstaut
Das Ideal (f) wäre kein Primideal, wenn f reduzibel ist. Als Beispiel würde ich dann nehmen I = [mm] (x^{2}-1), [/mm] denn I=(x+1)*(x-1), beides Nichteinheiten in [mm] \IR[x]. [/mm]
Also wäre [mm] \IR[x]/(x^{2}-1) [/mm] kein Integritätsbereich
LG
derriemann
|
|
|
|
