Beiweis einer Ungleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | x [mm] \in \iR [/mm] , [mm] \bruch{|2x+3|}{x+1} [/mm] > x+1 |
Hallo, ich mal wieder... UNd ich hab mal wieder eine schöne Frage:
Wie sieht das mit einem Beweis einer solchen Ungleichung aus?
Langsam freu ich mich echt auf die Prüfung im Februar-ich glaube ich kann fast nix von dem was wir können müssten...
Danke schonmal für die Hilfe.
LG Philip
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Philipp!
Bei Ungleichungen dieser Art (auch ohne Betrag) sowie bei Betrags(un)gleichungen musst Du mehrere Fallunterscheidungen machen.
Zum einen dreht sich bei der Multiplikation/Division mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen um.
Zum anderen musst Du unterscheiden zwischen $2x+3 \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 0$ und $2x+3 \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ .
Fall 1 $x+1 \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ -1$
[mm] $\bruch{|2x+3|}{x+1} [/mm] \ > \ x+1$
$|2x+3| \ > \ [mm] (x+1)^2 [/mm] \ = \ [mm] x^2+2x+1$
[/mm]
Fall 1.1 $2x+3 \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] \ = \ -1.5$
Das ist stets gewährleistet, da wir uns im Fall $x \ > \ -1 \ > \ -1.5$ befinden.
$2x+3 \ > \ [mm] x^2+2x+1$
[/mm]
$0 \ > \ [mm] x^2-2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x+\wurzel{2}\right)*\left(x+\wurzel{2}\right)$
[/mm]
Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann kleiner als Null, wenn beide Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben:
a.) [mm] $x+\wurzel{2}>0$ [/mm] und [mm] $x-\wurzel{2}<0$ $\gdw$ $x>-\wurzel{2}\approx-1.41$ [/mm] und [mm] $x<\wurzel{2}\approx [/mm] 1.41$
Hier ergibt sich als erste Lösungsmenge:
[mm] $L_{1.1(a)} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ -1 \ < \ x \ < \ \wurzel{2} \ \right\}$
[/mm]
b.) [mm] $x+\wurzel{2}<0$ [/mm] und [mm] $x-\wurzel{2}>0$ $\gdw$ $x<-\wurzel{2}\approx-1.41$ [/mm] und [mm] $x>\wurzel{2}\approx [/mm] 1.41$
Widerspruch, dieser Fall kann nicht eintreten!
[mm] $L_{1.1(b)} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ \right\}$
[/mm]
Fall 1.2 $2x+3 \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] \ = \ -1.5$
Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung des Fall 1 mit $x \ > \ -1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] keine Lösung
[mm] $L_{1.2} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ \right\}$
[/mm]
Damit ergibt sich als Lösung für unseren Fall 1:
[mm] $L_1 [/mm] \ = \ [mm] L_{1.1(a)} [/mm] \ [mm] \cup [/mm] \ \ [mm] L_{1.1(b)} [/mm] \ [mm] \cup [/mm] \ \ [mm] L_{1.2} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \left\{ \ -1 \ < \ x \ < \ \wurzel{2} \ \right\}$
[/mm]
Nun weiter und analog mit Fall 2 $x \ [mm] \red{<} [/mm] -1$ :
$|2x+3| \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] x^2+2x+1$
[/mm]
Gruß
Loddar
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