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Hallo an alle hilfsbereiten Menschen hier.Zuerst mal ein riesen Lob an euch, dass ihr euch soviel Mühe gibt, Probleme zu lösen.
So, auch ich habe ein Problem, und zwar bezieht sich das vorwiegend auf Folgen.
Ich soll folgende Folgen auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen und gegebenfalls einen Grenzwert angeben.
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}
[/mm]
b) [mm] a_{n} [/mm] = 1+2+...+n/n+2 - n/2
So, nun zu meinem Problem.
zu a) Meiner Meinung nach divergiert [mm] \wurzel{n} [/mm] und somit auch
[mm] \wurzel{n+1}, [/mm] wenn ich nun aber mit Hilfe des Taschenrechners ein paar n berechne, stell ich fest, das die Folge insgesamt konvergiert, und zwar gegen 0. Kann das sein ? Ich hab nur überhaupt keine Ahnung, wie ich das verständlich aufs Papier bringen soll. Ich würde mich freuen, wenn sich mir jemand erbarmen würde.
zu b) Naja, da hört es bei mir schon auf, das ich 1+2+...+n nicht anders darstellen kann.
Ich habe hier schon ziemlich viel, über Diskussionen gelesen, allerdings nicht verstanden, da immer mit Hilfe von Definitionen erklärt worden ist, mit denen ich auch so meine Probleme habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 So 12.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo Chironimus!
Ad a)
Du hast hier einen unbestimmten Ausdruck stehen, ich meine
so etwas wie " [mm] \infty- \infty";
[/mm]
Also ist es ratsam deine Folge umzuformen:
[mm] (\wurzel{n+1})²- (\wurzel{n})² [/mm] = 1 =
[mm] (\wurzel{n+1}- \wurzel{n})* (\wurzel{n+1}+ \wurzel{n}) [/mm] =
[mm] a_{n}* (\wurzel{n+1}+ \wurzel{n}) [/mm]
Zuletzt hab ich die Identität a²- b² = (a- b)* (a+ b) verwendet, siehst du das?
Naja, daraus folgt:
[mm] a_{n}= \bruch{1}{ \wurzel{n+1}+ \wurzel{n}}
[/mm]
Und das hat sichtlich 0 als GW (wie du und dein Taschenrechner schon längst erkannt haben  )
Ad b)
[mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] = [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
Ich hab dann:
[mm] b_{n}= \bruch{n(n+1)}{2(n+2)}- \bruch{n}{2}=
[/mm]
[mm] -\bruch{n}{2(n+2)} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2+ 2/n}
[/mm]
Das geht offensichtlich gegen [mm] -\bruch{1}{2}.
[/mm]
Hoff bei b) deine Notation richtig interpretiert zu haben!
Liebe Grüße,
Nilez
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Hey Nilez, zunächst einmal vielen Dank für die sehr schnelle Antwort.
Ich hab das jetzt im Prinzip verstanden.
Aber
zu a) du hast ja die Folge quadriert, aber warum ist jetzt
[mm] (\wurzel{n+1})^2 [/mm] - [mm] (\wurzel{n})^2 [/mm] = 1 ???
Irgendwie hab ich da jetzt ein Brett vor dem Kopf, aber der Rest ist mir klar ! Jetzt mal noch allgemein, wenn ich das jetzt so hinschreibe wie du, hab ich dann die Konvergenz und den Grenzwert gezeigt ? Also ist das dann korrekt bewiesen ?
zu b) Ja, die Notation hast du richtig verstanden.
Die zusätzliche Folge [mm] b_{n}, [/mm] die du angegeben hast, ist ja korrekt, hab ich überprüft, aber wie bist du mit Hilfe der oberen Summe drauf gekommen ?? Das ist mir auch noch nicht ganz klar. Aber den Rest hab ich wieder verstanden.
Grüße Chiro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 So 12.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo nochmal!
>
> zu a) du hast ja die Folge quadriert, aber warum ist
> jetzt
> [mm](\wurzel{n+1})^2[/mm] - [mm](\wurzel{n})^2[/mm] = 1 ???
Das Quadrat hebt ja die Wurzel auf, also hast dann: n+1-n, das ist denk ich 1
> Jetzt mal noch allgemein, wenn ich
> das jetzt so hinschreibe wie du, hab ich dann die
> Konvergenz und den Grenzwert gezeigt ? Also ist das dann
> korrekt bewiesen ?
Du kannst das Einschließungsverfahren verwenden, denn es gilt doch:
[mm] 0\le\bruch{1}{\wurzel{n+1}+ \wurzel{n}}\le\bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Glaubst du mir dass der Ausdruck ganz rechts gegen 0 geht?
>
> zu b)
> Die zusätzliche Folge [mm]b_{n},[/mm] die du angegeben hast, ist ja
> korrekt, hab ich überprüft, aber wie bist du mit Hilfe der
> oberen Summe drauf gekommen ?? Das ist mir auch noch nicht
> ganz klar. Aber den Rest hab ich wieder verstanden.
>
Zunächst einmal ist [mm] b_{n} [/mm] dein [mm] a_{n} [/mm] in b) (habs nicht korrekt übernommen)
Ich hab für 1+2+3+...+n die Formel eingesetzt, überprüf das mal.
Grüße,
Nilez
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 So 12.12.2004 | | Autor: | Chironimus |
Hi Nilez,
Jaja, der Groschen ist gefallen
Alles klar !
Vielen Dank !!!
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