Beppo Levi < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: [mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n+1}{n}1_{[n-1,n)}(x) [/mm] ist nicht Lebesgue integrierbar, [mm] f:[0,\infty)\to\IR [/mm] |
Hallo!
Es gilt ja f(x) lebesgue integrierbar [mm] \gdw [/mm] |f(x)| uneigentlich regelintegrierbar
Den Betrag kann ich nur leider nicht bestimmen. Reicht es nicht zu zeigen, dass z.B. der positive Teil von f(x) nicht absolut regelintegrierbar ist?
Der positive Teil ist:
[mm] f^{+}_k(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x) [/mm] und der ist nicht integrierbar. Dazu habe ich versucht den Satz von Beppo Levi anzuwenden, für monotone Konvergenz.
sei [mm] f^{+}_k(x)=:\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)
[/mm]
die Bedingungen von Beppo Levi sollten erfüllt sein:
(i) [mm] f^{+}_{k}(x)\to f_{+}(x) [/mm] für [mm] k\to\infty
[/mm]
(ii) [mm] f^{+}_{k}(x)\le f^{+}_{k+1}(x) [/mm]
also darf ich den Limes mit Integral vertauschen:
[mm] \integral_{0}^{\infty} f^{+}(x)=\limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\infty}\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)=\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\integral_{2n-1}^{2n}{\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)(x)}dx}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] und das divergiert ja
Würde mich freuen wenn sich das mal jemand ansehen könnte. Ich bin leider anfällig für grobe Schnitzer!
Grüße, kulli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Sa 23.02.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
ich versteh dein f(x)- eine divergente Summe -nicht. hast du was vergessen?
gruss leduart
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Hiho,
dein Beweis sieht soweit gut aus.
Eine einzige Anmerkung:
Gleichungen wie
[mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n+1}{n}1_{[n-1,n)}[/mm]
sind recht unschön, weil du links das Argument mitschreibst, rechts nicht.
Entweder du schreibst:
[mm]f =\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n+1}{n}1_{[n-1,n)}[/mm]
Oder du schreibst:
[mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n+1}{n}1_{[n-1,n)}(x)[/mm]
Aber nicht mal so, mal so.
MFG,
Gono.
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Hi, danke für die Hinweis euch beiden. Habe einfach vergessen das Argument in der Summe zu schreiben und dann nur noch kopiert und eingefügt. Ich korrigiere es.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 So 24.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeige:
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n+1}{n}1_{[n-1,n)}(x)[/mm]
> ist nicht Lebesgue integrierbar, [mm]f:[0,\infty)\to\IR[/mm]
>
>
>
> Hallo!
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> Es gilt ja f(x) lebesgue integrierbar [mm]\gdw[/mm] |f(x)|
> uneigentlich regelintegrierbar
>
> Den Betrag kann ich nur leider nicht bestimmen.
Für ungerades n ist [mm] \bruch{(-1)^n+1}{n}1_{[n-1,n)}(x)=0
[/mm]
Für gerades n ist [mm] \bruch{(-1)^n+1}{n}1_{[n-1,n)}(x) \ge [/mm] 0
Damit ist [mm] |f(x)|=f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)
[/mm]
> Reicht es
> nicht zu zeigen, dass z.B. der positive Teil von f(x) nicht
> absolut regelintegrierbar ist?
>
> Der positive Teil ist:
>
> [mm]f^{+}_k(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)[/mm]
Was soll links das k ?
Es ist
[mm]f^{+}(x)=f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)[/mm]
> und der ist nicht integrierbar. Dazu habe ich versucht den
> Satz von Beppo Levi anzuwenden, für monotone Konvergenz.
>
> sei
> [mm]f^{+}_k(x)=:\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)[/mm]
>
> die Bedingungen von Beppo Levi sollten erfüllt sein:
>
> (i) [mm]f^{+}_{k}(x)\to f_{+}(x)[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm]
>
> (ii) [mm]f^{+}_{k}(x)\le f^{+}_{k+1}(x)[/mm]
>
> also darf ich den Limes mit Integral vertauschen:
>
>
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty} f^{+}(x)=\limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\infty}\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)=\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\integral_{2n-1}^{2n}{\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)(x)}dx}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm]
> und das divergiert ja
Ja, das ist dann O.K.
FRED
>
> Würde mich freuen wenn sich das mal jemand ansehen
> könnte. Ich bin leider anfällig für grobe Schnitzer!
>
> Grüße, kulli
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> > Zeige:
> > [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n+1}{n}1_{[n-1,n)}(x)[/mm]
> > ist nicht Lebesgue integrierbar, [mm]f:[0,\infty)\to\IR[/mm]
> >
> >
> >
> > Hallo!
> >
> > Es gilt ja f(x) lebesgue integrierbar [mm]\gdw[/mm] |f(x)|
> > uneigentlich regelintegrierbar
> >
> > Den Betrag kann ich nur leider nicht bestimmen.
>
>
> Für ungerades n ist [mm]\bruch{(-1)^n+1}{n}1_{[n-1,n)}(x)=0[/mm]
>
>
> Für gerades n ist [mm]\bruch{(-1)^n+1}{n}1_{[n-1,n)}(x) \ge[/mm] 0
>
>
> Damit ist
> [mm]|f(x)|=f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)[/mm]
>
>
Ok danke, geht ja doch.
>
> > Reicht es
> > nicht zu zeigen, dass z.B. der positive Teil von f(x) nicht
> > absolut regelintegrierbar ist?
> >
> > Der positive Teil ist:
> >
> >
> [mm]f^{+}_k(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)[/mm]
>
>
>
> Was soll links das k ?
Ups, das gehört da natürlich nicht hin. Erst weiter unten..
> Es ist
>
> [mm]f^{+}(x)=f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)[/mm]
>
>
> > und der ist nicht integrierbar. Dazu habe ich versucht den
> > Satz von Beppo Levi anzuwenden, für monotone Konvergenz.
> >
> > sei
> > [mm]f^{+}_k(x)=:\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)[/mm]
> >
> > die Bedingungen von Beppo Levi sollten erfüllt sein:
> >
> > (i) [mm]f^{+}_{k}(x)\to f_{+}(x)[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm]
> >
> > (ii) [mm]f^{+}_{k}(x)\le f^{+}_{k+1}(x)[/mm]
> >
> > also darf ich den Limes mit Integral vertauschen:
> >
> >
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty} f^{+}(x)=\limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\infty}\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)}(x)=\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\integral_{2n-1}^{2n}{\bruch{1}{2n}1_{[2n-1,2n)(x)}dx}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}[/mm]
> > und das divergiert ja
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>
> Ja, das ist dann O.K.
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> FRED
> >
> > Würde mich freuen wenn sich das mal jemand ansehen
> > könnte. Ich bin leider anfällig für grobe Schnitzer!
> >
> > Grüße, kulli
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