Berechnung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
[mm] P(z)=z^{4}+4
[/mm]
a)Polynom als Produkt seiner komplexen Linearfaktor
b)Polynom als reele Linearfaktor und unzerlegbaren reelen quadr. Funktion
Kann mir jemand zeigen wie man das rechnet. Auf welche mathem. Gesetzmäßigkeiten man greift um diese Aufgaben zurück
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Di 10.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopf!
Wende hier ausschließlich die 3. binomische Formel an:
[mm] $$z^4+4 [/mm] \ = \ [mm] z^4-(-4) [/mm] \ = \ [mm] \left(z^2\right)^2-(2i)^2 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Wenn ich Faktorzerlegung mit den Taschenrechner mache
Der gibt das Ergebnis [mm] (z^{2}-2z+2)*(z^{2}+2z+2)
[/mm]
Das sind die reelen Linearfaktoren. Wie kommt man zu diesem Ergebnis.
Und wie macht man das dann bei komplexen Linearfaktoren.
Warum wählzt du den 3. Binomischen SAatz und warum nichtd en 4.
Kannst dumir das mal vorrechnen.
Ich wäre dir sehr dankbar Weil ich null schimmer habe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 10.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Wenn ich Faktorzerlegung mit den Taschenrechner mache
> Der gibt das Ergebnis [mm](z^{2}-2z+2)*(z^{2}+2z+2)[/mm]
>
> Das sind die reelen Linearfaktoren. Wie kommt man zu diesem
> Ergebnis.
Entweder mit Intuition und viel Erfahrung mit solchen Aufgaben, oder indem man ein CAS bemüht.
Auerdem sind das keine reellen "Linearfaktoren", weil die beiden Terme quadratisch und eben nicht linear sind.
Du kannst aber (wenn es dich interessiert) die Richtigkeit der Umformung beweisen, indem du zur Probe [mm](z^{2}-2z+2)*(z^{2}+2z+2)[/mm] ausmultiplizierst.
Reelle Lösungen gibt es trotz der Zerlegung in 2 ("Nichtlinear-")Faktoren nicht, da sowohl
[mm] z^2 [/mm] -2z [mm] +2=(z-1)^2+1 [/mm] als auch [mm] z^2 [/mm] +2z [mm] +2=(z+1)^2+1 [/mm] für kein reelles z Null wird.
>
> Und wie macht man das dann bei komplexen Linearfaktoren.
>
> Warum wählzt du den 3. Binomischen SAatz und warum nichtd
> en 4.
Weil er zum Ziel führt.
>
> Kannst dumir das mal vorrechnen.
Bitte erst mal selber probieren.
(Wenn du [mm] z^4+1 [/mm] nicht in Linearfaktoren zerlegen willst, kannst du es auch mit [mm] z^2 [/mm] -2z +2 und [mm] z^2 [/mm] +2z +2 machen - was allerdings schwieriger ist).
Gruß Abakus
>
> Ich wäre dir sehr dankbar Weil ich null schimmer habe
|
|
|
| |
|
kann mir jemand einen ernsthaften Tip geben wie ich die Teilaufgaben lösen kann
Oder wie man das macht. Mein Problem ist, das ich kein Ansatz habe.
Ich wär dankbar für ein Anstz wie man die 2 Teilaufgaben lösen kann.
Ich drücke mich nicht vor das selber lösen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Di 10.02.2009 | | Autor: | abakus |
> kann mir jemand einen ernsthaften Tip geben wie ich die
> Teilaufgaben lösen kann
>
> Oder wie man das macht. Mein Problem ist, das ich kein
> Ansatz habe.
>
> Ich wär dankbar für ein Anstz wie man die 2 Teilaufgaben
> lösen kann.
>
> Ich drücke mich nicht vor das selber lösen
Loddar hat dir 80% des Lösungswegs präsentiert. Versuche es bitte mit der 3. binomischen Formel. Wenn es dort schwierig wird, helfen wir gern.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
HaTtet Ihr Wurzeln aus komplexen Zahlen ?
Wenn ja, so bestimme mal die 4. Wurzeln aus -4
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Di 10.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Christopf,
was ist denn der 4. binomische Satz?
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo
Ist dein Tip für den Teil a oder Teil b.
Dann habe ich noch eien Frage. Ich habe das schon mal mit mein Lehrer diskutiert.
Der hatte mal (i+1)*(i+1)*(i-1)*(i-1)
Mir fehlt überhaupt das verständnis für die Aufgabe und wie Ich das lösen muss. Weil mir das Verständnis fehlt für die Aufgabe habe ich keine idee wie ich das lösen muss und was ich mir überhaupt überlegen muss und deswegen kann ich leider mit dein noch nichts anfangen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Di 10.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> Ist dein Tip für den Teil a oder Teil b.
>
> Dann habe ich noch eien Frage. Ich habe das schon mal mit
> mein Lehrer diskutiert.
>
> Der hatte mal (i+1)*(i+1)*(i-1)*(i-1)
>
> Mir fehlt überhaupt das verständnis für die Aufgabe und wie
> Ich das lösen muss. Weil mir das Verständnis fehlt für die
> Aufgabe habe ich keine idee wie ich das lösen muss und was
> ich mir überhaupt überlegen muss und deswegen kann ich
> leider mit dein noch nichts anfangen.
Loddar hat dir einen Ansatz gegeben, bei dem er den gegebenen Term umgeschrieben hat in die Differenz zweier Quadrate. Darauf sollte man die 3. binomische Formel anwenden.
Machen wir es Schritt für Schritt an einem Beispiel: Wie lautet (nach dem Anwenden der 3. binomischen Formel) der Ausdruck für den Term [mm] u^2-v^2 [/mm] ?
[mm] u^2-v^2= [/mm] .....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Di 10.02.2009 | | Autor: | Christopf |
[mm] (u-v)^{2} [/mm] = [mm] u^{2} [/mm] - 2uv + [mm] v^{2} [/mm]
|
|
|
| |
|
> [mm](u-v)^{2}[/mm] = [mm]u^{2}[/mm] - 2uv + [mm]v^{2}[/mm]
Hallo,
das ist ja ganz nett und auch richtig, es ist die 2. binomische Formel.
Aber abakus riet Dir ja, mal die dritte aufzuschreiben: [mm] u^2-v^2= [/mm] ???
Durch Vergleich mit Deiner Aufgabe findest Du dann eine Zerlegung.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
[mm] u^{3}-3*u^{2}v+3uv^{2}-v^{3}
[/mm]
Ist [mm] u^{2}-v^{2} [/mm] nicht der 2.Grad
|
|
|
| |
|
Hallo Christopf,
ich frage mich allen Ernstes, ob du die Hinweise, die dir hier gegeben werden, liest?
Ich fürchte fast, dass das nicht der Fall ist!
> [mm]u^{3}-3*u^{2}v+3uv^{2}-v^{3}[/mm]
Was soll das so kommentarlos sein?
>
> Ist [mm]u^{2}-v^{2}[/mm] nicht der 2.Grad
Was soll das heißen? Ist das Südtibetanisch? Ich kann dem keinen Sinn entnehmen!
Du solltest die 3. binomische Formel mal hinschreiben [mm] $u^2-v^2=(...)\cdot{}(...)$
[/mm]
Dann auf Loddars (Fast-)Lösung schielen; das kann doch nicht so schwer sein.
Meine Güte ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Di 10.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Hi
ich habe doch dden 3. Binomischen Satz geschrieben
|
|
|
| |
|
Wo?
verlinke das mal!
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du mußt zweierlei unterscheiden: die wackeren Helfer reden allesamt über die binomischen Formeln, Du aber über den binomischen Satz.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi angela
[mm] (u-v)*(u^{2}+uv+v^{2})
[/mm]
Binich diesmal richtig mit der Binomischen Formel
|
|
|
| |
|
Hallo Christopf,
> Hi angela
>
> [mm](u-v)*(u^{2}+uv+v^{2})[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Binich diesmal richtig mit der Binomischen Formel
Das ergibt dann $u^3-v^3$, aber was nützt es im Hinblick auf die Aufgabe?
1. binomische Formel: $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$
2. binomische Formel $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$
3. binomische Formel $(\blue{u}+\red{v})\cdot{}(\blue{u}-\red{v})=\blue{u}^2-\red{v}^2$
Darauf wollten wir seit geraumer Zeit hinaus.
Nun schaue nochmal auf Loddars Zerlegung $z^4+4=\left(\blue{z^2})^2-\left(\red{2i}\right)^2$
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ja danke
Ist das gleiche und was msuss ich da jetzt weiter machen
Und was ich noch gerne wissen möchte ist welcher Teil meiner Aufgabe mit diesen Überlegungen gelöst wird
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Di 10.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopf!
Jetzt werde ich meinem Vorsatz untreu und schreibe dennoch nochmals ...
Wie sieht es denn mit Deiner Mitarbeit hier aus? Bisher kann ich davon in konstruktiver Weise davon kaum (bis gar nichts) in diesem langen Thread erkennen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Di 10.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du verwendest das, um es in 2 quadratische Terme zu zerlegen (komplex) danach die nochmal mit dem 3. bin. Formel jeweils in Linearfaktoren zerlegen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Mit der 3. Bin Formel wird es ind reel Linearfaktoren zerlegt
Habe ich das richtig verstanden
|
|
|
| |
|
> Mit der 3. Bin Formel wird es ind reel Linearfaktoren
> zerlegt
>
> Habe ich das richtig verstanden
Hallo,
zerlegt werden soll das Polynom [mm] p(x)=x^4 [/mm] + 4.
Reelle Linearfaktoren kann man nur abspalten, wenn ein Polynom reelle Nullstellen hat. Das kann man sich überlegen, und das war sicher in der Vorlesung dran.
Überzeuge Dich davon, daß das hier nicht der Fall ist. Es müßte ja [mm] x^4=-4 [/mm] sein.
Um nun die Zerlegung in komplexe Linearfaktoren zu bekommen, wären die komplexen Nullstellen des Polynoms zu bestimmen.
Das kannst Du mit irgendeiner Vorgehensweise machen, die Dir gefällt, z.B. auch unter Verwendung der vierten Einheitswurzeln. Ich bin mir ziemlich sicher, daß auch sie in der Vorlesung dran waren.
Wenn Du dann irgendwie die Nullstellen hast - und im Komplexen gibt es derer 4, nennen wir sie a, b, c. d -, so hast Du die Linearfaktoren
Es ist dann p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d), und mit ein bißchen Probieren bekommst Du daraus dann die unzerlegbaren quadratischen Polynome mit reellen Koeffizienten - sehr viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es ja nicht.
Wie gesagt, einen reellen Linearfaktor bekommst Du hier nicht aus den erwähnten Gründen. (Ich weiß, daß ich mich wiederhole, und ich werde es ohne Scheu wieder tun.)
Eine andere Möglichkeit wäre die Nutzung der dritten binomischen Formel, indem Du p(x) schreibst als
[mm] p(x)=(x^2)^2 [/mm] - [mm] (-2^2) =(x^2)^2 [/mm] - (2i) ^2= ??? , und dann hiervon ausgehend weitermachst - aber das hatten wir ja schon mehrfach.
Nächste Möglichkeit: man sieht bei kurzer Betrachtung des Polynoms sofort, daß es keine reellen Nullstellen hat. (Warum hat es die eigentlich nicht? Wie sieht [mm] x^4 [/mm] aus, und was hat p(x) damit zu tun. )
Aus der Vorlesung - falls Du sie gelegentlich besuchst - wirst Du wissen, daß man Polynome mit reellen Koeffizienten, welche keine Nullstellen haben, auf jeden Fall in reelle Polynome vom Grad 2 zerlegen kann.
Du kannst also [mm] x^4+4 [/mm] zerlegen in [mm] x^4+4=(x^2 [/mm] + rx +s)*( [mm] x^2 [/mm] +kx+l). (Ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich.)
So, ich glaube, das wäre es von meiner Seite.
Von Deiner Seite erwarten wir hier jetzt ausführliche, verständliche Lösungsversuche. Wenn Fehler drin sind, ist das nicht so schlimm, aber Du solltest schildern was Du warum und wie zu tun gedenkst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Di 10.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Danke für deine auführliche Erklärung.
[mm] Z^{4}+4 [/mm] hat keine reelen Nullstellen
[mm] Z^{4}+4 [/mm] hat als komplexe Nullstellen 1+i,1-i,-1+i,-1-i
|
|
|
| |
|
> Danke für deine auführliche Erklärung.
>
> [mm]Z^{4}+4[/mm] hat keine reelen Nullstellen
>
> [mm]Z^{4}+4[/mm] hat als komplexe Nullstellen 1+i,1-i,-1+i,-1-i
>
Boah! Das verbuche ich jetzt unter "Zeichen und Wunder".
Ja, das sind die Nullstellen. So hat diese Angelegentheit doch noch am heutigen Tage ein gutes Ende genommen.
Damit hast Du ja nun die komplexen Linearfaktoren. Gut.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Di 10.02.2009 | | Autor: | Loddar |
.
Und ich habe hier schon den letzten Loddar'schen Satz formuliert ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
|
|
|
|
