Berechnung Konvergenzradien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}2^{k}z^{k}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k^{m}z^{k},m \in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}z^{k^{2}}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo!
Also in der Vorlesung hatten wir bei der Berechnung von Konvergenzradien immer 2 Summen mit denen wir gearbeitet haben. Mich irritiert auch, dass immer etwas stand von " z [mm] -z_{0}" [/mm] anstatt bei dem hier nur "z".....
Mir ist auch nicht so recht klar wie ich überhaupt anfangen soll.
In unserer Definition hieß es, dass [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge in [mm] \IK [/mm] ist, [mm] z_{0} \in \IK [/mm] und a:= [mm] \overline{lim}_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] ist. Jedoch kam als Satz danach gleich "Dann heißt [mm] r:=\bruch{1}{a} [/mm] der Konvergenzradius der zugehörigen Potenzreihe." Wie kommt man darauf? Brauch ich zu meinen Reihen noch die Potenzreihen? Wenn ja, wie komm ich auf die?
Bitte helft mir.
Gruß little_sunshine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Mo 03.12.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
leider kann ich dir nur bei der a) helfen. Habe das vor 2 Semestern gemacht und müsste eigentlich noch wissen, wie das alles geht. Sicher bin ich mir aber nur bei der a).
Bei der a) kannst du Quotientenkriterium für Konvergenzradius anwenden.
[mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k}=\bruch{2^{k+1}}{2^k}=\bruch{2*2^k}{2^k}=2.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenzradius [mm] =\bruch{1}{2}.
[/mm]
Du wendest also "das ganz normale Quotientenkriterium" an und bildest am Ende den Kehrwert. Wie du schon schreibst:
[mm] Konvergenzradius=\bruch{1}{a}.
[/mm]
MfG barsch
|
|
|
| |
|
Kann ich bei der dritten Summe davon ausgehen, dass [mm] a_{n}= [/mm] 1 ist? Oder ist hier dann mein [mm] a_{n}=z^{{k}^2}? [/mm] Kann ich dann die Dritte genauso rechen wie die Erste?
Gruß little_sunshine
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Di 04.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Mit dem Quotienten kannst du nur rechnen, wenn alle Koeffizienten ungleich 0 sind. Ist hier nicht der Fall, denn nur [mm]a_1[/mm], [mm]a_4[/mm], [mm]a_9[/mm], usw. sind ungleich 0.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
du fragst, wie man darauf kommt, dass [mm] r=\bruch{1}{a} [/mm] ist. wobei a so wie bei dir definiert sei. dies folgt unmittelbar aus dem wurzelkriterium und stimmt 100pro :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Di 04.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die Konvergenzradien der folgenden
> Potenzreihen:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}2^{k}z^{k}[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k^{m}z^{k},m \in \IN[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k^{2}}[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo!
> Also in der Vorlesung hatten wir bei der Berechnung von
> Konvergenzradien immer 2 Summen mit denen wir gearbeitet
> haben. Mich irritiert auch, dass immer etwas stand von " z
> [mm]-z_{0}"[/mm] anstatt bei dem hier nur "z".....
Das bedeutet nur, dass du hier den Spezialfall [mm]z_0=0[/mm] hast.
> Mir ist auch nicht so recht klar wie ich überhaupt
> anfangen soll.
>
> In unserer Definition hieß es, dass [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> eine Folge in [mm]\IK[/mm] ist, [mm]z_{0} \in \IK[/mm] und a:=
> [mm]\overline{lim}_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] ist.
Das ist das Kriterium von Cauchy-Hadamard, mit dem du immer den Konvergenzradius einer Potenzreihe ausrechnen kannst. Ich vielen Fällen kannst du den Konvergenzradius einfacher ausrechnen, wie Blech dir vorgeführt hat.
Ich zeig's dir am dritten Beispiel:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k^{2}}[/mm]
Das heisst für die Koeffizienten
[mm] a_n = \begin{cases} 1 & \text{wenn n eine Quadratzahl ist} \\ 0 & \text {wenn n keine Quadratzahl ist} \end{cases} [/mm].
Daraus folgt, dass die Folge [mm](\wurzel[n]{a_n})[/mm] die zwei Häufungspunkte 0 und 1 hat. Also ist der Limes superior (der größte Häufungspunkt) 1 und damit der Konvergenzradius 1/1=1.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Di 04.12.2007 | | Autor: | mcyonx |
Bei b) müsste ich ja die [mm] \wurzel[n]{k^{m}} [/mm] betrachten. Das wäre k, wenn m=n. Aber davon kann man jawohl nicht ausgehen. Wir kann ich sonst an ein Ergbnis kommen?
Gruß mcyonx
|
|
|
| |
|
Hallo myconx!
> Bei b) müsste ich ja die [mm]\wurzel[n]{k^{m}}[/mm] betrachten.
Es gilt ja: [mm] $$\wurzel[n]{k^{m}} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel[n]{k} \ \right)^m$$
[/mm]
Nun den Grenzwert ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
