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Wie berechnet man den Modulo a mod m?
a mod m = a- a/m *m (wobei die abgerundete Dezimalzahl darstellt)
für 12 mod 5 bedeutet das doch?: 12 -2*5 = 2
für 1 mod 3 entsprechend: 1-0*3=1
Warum funktioniert das für negative a nicht, bzw. wie berechnet man -a mod m?
also: -12 mod 5 = -12 +10 = -2 (ist falsch, warum? bzw. wie kommt man auf das Ergebnis 3?)
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Hallo,
> Wie berechnet man den Modulo a mod m?
> a mod m = a- a/m *m (wobei die abgerundete Dezimalzahl
> darstellt)
> für 12 mod 5 bedeutet das doch?: 12 -2*5 = 2
> für 1 mod 3 entsprechend: 1-0*3=1
> Warum funktioniert das für negative a nicht, bzw. wie
> berechnet man -a mod m?
> also: -12 mod 5 = -12 +10 = -2 (ist falsch, warum? bzw.
> wie kommt man auf das Ergebnis 3?)
-2+5=3 
Im allgemeinen versteht man unter Rest bzw. Modulo eine Zahl b mit [mm] 0\le{b}
Gruß, Diophant
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Und wie lautet da jetzt die allgemeine (zumindest oder auch für negative a) Berechnungsregel?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 10.08.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
-12=-12+3*503 mod 5
du musst nur das n*a so groß wählen, daas eine positive Zahl rauskommt.
wenn du bedenkst dass -2 ja das additive Inverse von 2 ist, und 2+3=5=0 ist klar , wie man -2 in eine positive Zahl verwandelt
-7 mod19=12 denn 12+7=19
welche "Regel du anwendest. also -12=-2mod5 dann -2=3
oder direkt -12+3*5 bleibt dir überlassen.
Diophant hat recht, wenn man wei0, was moc p bedeutet, braucht man keine "Regeln"
übrigens was ist 1/2 mod 5 wenn man mit 1/2 das multiplikativ Inverse zu 2 bezeichnet?
Mach dir dafür ne Regel"
Gru0 leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 So 10.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und wie lautet da jetzt die allgemeine (zumindest oder auch
> für negative a) Berechnungsregel?
die Fallunterscheidung für [mm] $a\,$ [/mm] ist irrelevant, wenn $m > [mm] 0\,$ [/mm] ist. Hier ist
stets der Rest etwa durch
[mm] $a-\lfloor [/mm] a/m [mm] \rfloor [/mm] *m$
zu berechnen, wenn Du ihn im Repräsentantensystem [mm] $\{0,1,...,m-1\}$ [/mm] haben
willst.
Deine Rechnung war falsch: Es ist [mm] $\lfloor [/mm] -12/5 [mm] \rfloor=-\red{3}$ [/mm] und daher
[mm] $-12-(-\red{3})*5=15-12=3\,,$
[/mm]
da käme mit obiger Formel genau das passende heraus.
(Hinweis: I.a. ist [mm] $\lfloor [/mm] -a [mm] \rfloor \not=-\lfloor [/mm] a [mm] \rfloor\,,$ [/mm] siehe oben. Aber für $a [mm] \in \IR \setminus \IZ$ [/mm] gilt: [mm] $\lfloor [/mm] -a [mm] \rfloor=-(\lfloor [/mm] a [mm] \rfloor +1)\,.$
[/mm]
Tipp: Plotte Dir mal die Funktionen "floor(-x)" und "-floor(x)-1", dann siehst
Du sicher zum Einen, warum das auf dem genannten Bereich gutgeht (die
Graphen kann man sich ja aus dem von "floor(x)" überlegen) und warum
wir für $a [mm] \in \IZ$ [/mm] Probleme bekämen!)
Den Fall $m < [mm] 0\,$ [/mm] kann man vielleicht auf den Fall $m > [mm] 0\,$ [/mm] zurückführen, in jedem
Falle ist das aber sicher nur Aufschreibarbeit. Seine Gedanken kann man ja
direkt mit Beispielen gegentesten. Danach meinetwegen auch noch formal
beweisen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 So 10.08.2014 | | Autor: | Valkyrion |
oh oh Diophant antwortet; jetzt kommt wieder ne Antwort Grundgesetz vs. mathematische Gesetze! 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 10.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Valkyrion,
> Wie berechnet man den Modulo a mod m?
> a mod m = a- a/m *m (wobei die abgerundete Dezimalzahl
> darstellt)
Du meinst die Gaußklammer: [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] ist die größte ganze Zahl kleinergleich [mm] $x\,.$
[/mm]
Du kannst auch [mm] $[x]\,$ [/mm] dafür schreiben!
> für 12 mod 5 bedeutet das doch?: 12 -2*5 = 2
> für 1 mod 3 entsprechend: 1-0*3=1
> Warum funktioniert das für negative a nicht, bzw. wie
> berechnet man -a mod m?
> also: -12 mod 5 = -12 +10 = -2 (ist falsch, warum? bzw.
> wie kommt man auf das Ergebnis 3?)
Nebenbei: Hast Du Dir schon den
![[]](/images/popup.gif) Wiki-Artikel
durchgelesen?
Zu Deiner Rechnung oben: [mm] $a-\lfloor [/mm] a/m [mm] \rfloor [/mm] *m$ liefert Dir immer eine Zahl
größergleich [mm] $0\,$ [/mm] und kleiner [mm] $m\,.$ [/mm] (Wegen der Positivität von [mm] $m\,,$ [/mm] das
steht auch im Wiki-Artikel:
"Ist m positiv, so ist [mm] a\;\bmod\;m\geq0 [/mm] für alle a.")
Du rechnest falsch: [mm] $\lfloor [/mm] -12/5 [mm] \rfloor=-3\,,$ [/mm] und nicht [mm] $-2\,.$
[/mm]
Deswegen
[mm] $-12-\lfloor -12/5\rfloor *5=-12-(-3)*5=15-12=3\,.$
[/mm]
Nebenbei, worauf auch Diophant aufmerksam gemacht hat:
Wenn
$a [mm] \equiv [/mm] b$ mod [mm] $m\,$
[/mm]
ist, so bedeutet dass, dass [mm] $m\,$ [/mm] ein Teiler von [mm] $a-b\,$ [/mm] ist. Aus
$a [mm] \equiv [/mm] b$ mod [mm] $m\,$
[/mm]
folgt dann aber
$a [mm] \equiv [/mm] b+k*m$ mod [mm] $m\,$
[/mm]
für jedes $k [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] (Es gilt sogar Äquivalenz, denn für [mm] $k=0\,$ [/mm] folgt aus der
letzten Aussage ja wieder $a [mm] \equiv [/mm] b$ mod [mm] $m\,.$)
[/mm]
Du siehst sicher, dass man damit auch immer den Rest dahin erzwingen kann,
wo Du ihn hinhaben willst...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 So 10.08.2014 | | Autor: | Valkyrion |
Ah, mein Fehler war: Ich hab in die Gauß-Klammer irgendwie ne Betragsgeschichte hineininterpretiert. Gaußklammer ist die Abrundungsfunktion und im negeativen bedeutet das die betragsmäßig größere Zahl; ja Mathe ist einfach nur das machen was da steht. (Mal wieder)
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 So 10.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah, mein Fehler war: Ich hab in die Gauß-Klammer irgendwie
> ne Betragsgeschichte hineininterpretiert. Gaußklammer ist
> die Abrundungsfunktion und im negeativen bedeutet das die
> betragsmäßig größere Zahl; ja Mathe ist einfach nur das
> machen was da steht. (Mal wieder)
> Vielen Dank!
kein Thema. Das, was Du vielleicht gedacht hast, ist, dass
$x [mm] \mapsto \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$
[/mm]
einfach die Nachkommastellen wegschneidet. Für $x > [mm] 0\,$ [/mm] stimmt das
auch (wir schreiben bitte auch niemals [mm] $a.\overline{9}\,,$ [/mm] sondern dann [mm] $a+1\,$ [/mm] für
$a [mm] \in \IN_0$).
[/mm]
Im negativen nicht. Deswegen: Wenn mit $x [mm] \mapsto \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] im negativen bei
$a - [mm] \lfloor [/mm] a/m [mm] \rfloor [/mm] *m$
"das Gewünschte" berechnet wird, und Du dort eine "Nachkomma-
stellen-Abschneidefunktion" anstatt [mm] $\lfloor [/mm] . [mm] \rfloor$ [/mm] benutzt, dann musst Du den
Unterschied, den diese zur Gaußklammer verursacht, korrigieren.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 So 10.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah, mein Fehler war: Ich hab in die Gauß-Klammer irgendwie
> ne Betragsgeschichte hineininterpretiert. Gaußklammer ist
> die Abrundungsfunktion und im negeativen bedeutet das die
> betragsmäßig größere Zahl; ja Mathe ist einfach nur das
> machen was da steht. (Mal wieder)
> Vielen Dank!
ja, ich finde es generell nicht verkehrt, wenn man
[mm] $\bullet$ [/mm] sich mal den Graphen von $x [mm] \mapsto \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] anschaut (an den Punkten $(x, [mm] \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor)$ [/mm]
für $x [mm] \in \IZ$ [/mm] sollte man sich gewisse Symboliken überlegen)
[mm] $\bullet$ [/mm] sich einfach mal [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] für einige nichtganzzahlige $x < [mm] 0\,,$ [/mm] $x > [mm] 0\,$ [/mm] berechnet
[mm] $\bullet$ [/mm] sich auch mal [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] für einige ganzzahlige [mm] $x\,$ [/mm] berechnet
Insbesondere der letzte Punkt sollte bei Verallgemeinerung helfen (auch,
wenn dies per Definitionem klar wird) und auch deutlicher machen, warum
ich an ganzzahligen Stellen am Graphen eine Kennzeichnung machen würde.
(Zum Beispiel kann der Graph zwischen [mm] $x=1\,$ [/mm] und [mm] $x=2\,$ [/mm] so markiert werden:
[---------)
Das soll bedeuten, dass [mm] $(1,1)\,$ [/mm] zum Graphen gehört, und für jedes $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$ auch
[mm] $(1+\epsilon,1)\,,$ [/mm] aber der Punkt [mm] $(2,1)\,$ [/mm] gehört nicht dazu [mm] ($x=2\,$ [/mm] ist "Sprungstelle")....)
Gruß,
Marcel
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