Berechnung von Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:09 Do 31.01.2008 | | Autor: | steffenw |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Eigenwerte von
B= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 &1 & 3} [/mm] und zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor. |
Ich habe folgende Eigenwerte berechnet: {-2, 1, 3}. Könnte mir jemand erklären, wie man die Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten berechnet? Ich habe das überhaupt nicht verstanden.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Do 31.01.2008 | | Autor: | Mudi |
> Berechnen Sie die Eigenwerte von
> B= [mm]\pmat{ 1 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 &1 & 3}[/mm] und zu
> jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
> Ich habe folgende Eigenwerte berechnet: {-2, 1, 3}. Könnte
> mir jemand erklären, wie man die Eigenvektoren zu diesen
> Eigenwerten berechnet? Ich habe das überhaupt nicht
> verstanden.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Deine Eigenwerte sind schonmal richtig.
Zur Berechenung von Eigenvektoren nimmst du einfach die Definition:
Ist v ein eigenvektor zum eigenwert [mm] \lambda [/mm] von B dann gilt:
Bv = [mm]\lambda[/mm]v
Das sollte dir erstmal helfen. Schreib dann mal deine Ergebnisse.
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> Berechnen Sie die Eigenwerte von
> B= [mm]\pmat{ 1 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 &1 & 3}[/mm] und zu
> jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
> Ich habe folgende Eigenwerte berechnet: {-2, 1, 3}. Könnte
> mir jemand erklären, wie man die Eigenvektoren zu diesen
> Eigenwerten berechnet? Ich habe das überhaupt nicht
> verstanden.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nehmen wir uns mal exemplarisch den Eigenwert [mm] \lambda=-2.
[/mm]
Was bedeutet es, daß [mm] \lambda=-2 [/mm] ein Eigenwert der Matrix B ist?
Es gibt einen von Null verschiedenen Vektor v, für welchen
[mm] Bv=\lambda [/mm] v=-2*v gilt, was Dir mudi bereits gesagt hat.
Dieses Gleichungssystem ist nun zu lösen, denn man will ja herausfinden, welches v es tut.
Hierzu macht man folgendes:
[mm] Bv=\lambda [/mm] v=-2*v
<==> 0=Bv - (-2v)=Bv+2v=(B+2E)v.
Man hat also den Kern der Matrix B+2E zu bestimmen.
Was ist das für eine Matrix? Die Matrix B, in welcher Du in der Hauptdiagonalen jeweils (-2) subtrahiertst (also 2 addierst).
So geht das generell, wenn man die Eigenvektoren sucht: in der matrix auf der Hauptdiagonalen den Eigenwert subtrahieren, dann den Kern berechnen.
Konkret, für [mm] \lambda=-2, [/mm] berechnest Du also den Kern, bzw. eine Basis des Kerns, von
[mm] \pmat{ 1-(-2) & -1 & 4 \\ 0 & -2-(-2) & 0 \\ 0 &1 & 3-(-2)}=\pmat{ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 5}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Do 31.01.2008 | | Autor: | crashby |
Hi Steffi, schau mal hier
Kern bestimmen
> [mm]\pmat{ 1-(-2) & -1 & 4 \\ 0 & -2-(-2) & 0 \\ 0 &1 & 3-(-2)}=\pmat{ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 5}.[/mm]
>
$ [mm] \pmat{ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 5} [/mm] $ $ [mm] \to [/mm] $ $ [mm] \pmat{ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 &0 & 0} [/mm] $
Nun siehst du das der Rang 2 ist, weil dort eine Nullzeile steht, die du aber vergessen kannst 
Was bedeutet jetzt das der rang 2 ist also rg(A)=2 ?
Das bedeutet, dass der Kern die Dimension 1 hat und du einen parameter freiwählen kannst.
Kommst du damit weiter ?
lg George
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