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| Aufgabe | Die Legendre-Polynome [mm] L_{n} [/mm] sind definiert als [mm] L_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{n}n!} \bruch{d^{n}}{dx^{n}} (x^{2}-1)^{n}.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] L_{n} [/mm] genau n Nullstellen zwischen -1 und 1 hat.
(b) Berechnen Sie [mm] L_{n}(1) [/mm] und [mm] L_{n}(-1).
[/mm]
(c) Zeigen Sie (x²-1) Ln´´(x) + 2x Ln´(x) - n(n+1) Ln(x) = 0
Hinweis: Zeigen Sie f´(x) (x²-1) = 2n x f(x) für fn(x) = [mm] (x²-1)^{n} [/mm] |
Hallo!
Die Teilaufgabe (b) habe ich bereits gelöst.
Ln(1) = [mm] \bruch{d^{n-1}}{2^{n}n!}
[/mm]
Ln(-1) = [mm] \bruch{1}{2^{n}n!} \bruch{d^{n}}{d(-1)^{n}}
[/mm]
Stimmt das so?
Bei Teilaufgabe (a) habe ich gerechnet [mm] d^{n} (x²-1)^{n} [/mm] = 0 und komme ich auf x=+/- 1...irgendwas ist da falsch weil ich soll ja n herausbekommen...???
Und mit (c) komme ich überhaupt nicht zurecht. Zumal ich nichtmal die Ableitungen hinbekomme.
Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Wäre echt suupppppeeeeerrrrrrrrrrrrrrr!
DANKE!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Do 23.03.2006 | | Autor: | metzga |
> [mm]\bruch{d^{n}}{dx^{n}}[/mm]
bedeutet die n-te Ableitung nach x.
Also ist deine Antwort b leider falsch.
meine Idee zur b):
[mm]\bruch{1}{2^n*n!}*\bruch{d^n}{dx^n}*(x^2-1)^n
=\bruch{1}{2^n*n!}*\bruch{d^{n-1}}{dx^{n-1}}*n*(x^2-1)^{n-1}*2*x
=\bruch{1}{2^{n-1}*(n-1)!}*\bruch{d^{n-1}}{dx^{n-1}}*(x^2-1)^{n-1}*x
[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2^{n-1}*(n-1)!}*\bruch{d^{n-2}}{dx^{n-2}}*(n-1)*(x^2-1)^{n-2}*2*x^2+(x^2-1)^{n-1}}
[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2^{n-1}*(n-1)!}*\left[\left(\bruch{d^{n-2}}{dx^{n-2}}*(n-1)*(x^2-1)^{n-2}*2*x^2\right)+\left(\bruch{d^{n-2}}{dx^{n-2}}(x^2-1)^{n-1}}\right)\right]
[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2^{n-2}*(n-2)!}*\left(\bruch{d^{n-2}}{dx^{n-2}}*(x^2-1)^{n-2}*x^2\right)+\bruch{1}{2^{n-1}*(n-1)!}*\left(\bruch{d^{n-2}}{dx^{n-2}}(x^2-1)^{n-1}}\right)
[/mm]
so beim rechten Summanden bleibt nach dem n-ten ableiten auf jeden fall ein [mm](x^2-1)[/mm] stehen, somit kann man diesen Term weglassen für [mm]x=1[/mm] oder [mm]x=-1[/mm]
.
.
.
[mm]
=\bruch{1}{2*1!}*\bruch{d}{dx}*(x^2-1)*x^{n-1} + Q(x)=
\bruch{1}{2*1!}*\bruch{d}{dx}*(x^{n+1}+x^{n-1}) + Q(x)=
\bruch{1}{2*}*((n+1)*)x^{n}+(n-1)*x^{n-2}) + Q(x)[/mm]
da ja für [mm]Q(1)=Q(-1) =0[/mm] gilt, folgt:
[mm]=\bruch{1}{2}*((n+1)*x^{n}+(n-1)*x^{n-2})[/mm]
Für x=1 folgt:
[mm]\bruch{1}{2}*((n+1)*1^{n}+(n-1)*1^{n-2})=n[/mm]
Für x=-1 folgt:
[mm]\bruch{1}{2}*((n+1)*(-1)^{n}+(n-1)*(-1)^{n-2})=\left\{\begin{matrix}
n, & \mbox{wenn }n\mbox{ gerade} \\
-n, & \mbox{wenn }n\mbox{ ungerade}
\end{matrix}\right[/mm]
Ich hoffe da ist kein Fehler drin!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 25.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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