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| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Bereichsintegral:
[mm] \integral_{a}{xy sin(xy) dydx} [/mm]
a={(x;y); 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 ; 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \pi/2} [/mm] |
Komm einfach nich auf die entsprechende Aufleitung.
Ich muss ja erst die inner Fkt. integrieren, dann die Grenzen einsetzen und dann das gleiche nochmal mit der äußeren Fkt. machen.
Aber wie kann ich sinnvoll aufleiten?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Mi 25.07.2007 | | Autor: | Blech |
> Berechnen Sie das folgende Bereichsintegral:
> [mm]\integral_{a}{xy sin(xy) dydx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> a={(x;y); 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 ; 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le \pi/2}[/mm]
> Komm einfach
> nich auf die entsprechende Aufleitung.
> Ich muss ja erst die inner Fkt. integrieren, dann die
> Grenzen einsetzen und dann das gleiche nochmal mit der
> äußeren Fkt. machen.
> Aber wie kann ich sinnvoll aufleiten?
Partielle Integration von [mm]y \sin(by)[/mm] (mit b als Parameter), dann partielle Integration beim resultierenden [mm] \frac{1}{x^2} \sin(cx)[/mm] (mit [mm]f'=\frac{1}{x^2}\ \text{und}\ g=\sin(cx)[/mm]), soweit ich das sehe, oder?
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aber wie genau stell ich denn jetzt so eine Aufleitung von einem Doppelintegral an??
Meines wissens muss ich doch erst nach y aufleiten und x wie eine Konstante behandeln, und dann das gleiche einfach ncohmal für x machen und y als Konstante behandeln.
komm bei der Aufgabe oben auf nichts sinnvolles.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Do 26.07.2007 | | Autor: | Walty |
> aber wie genau stell ich denn jetzt so eine Aufleitung von
> einem Doppelintegral an??
> Meines wissens muss ich doch erst nach y aufleiten und x
> wie eine Konstante behandeln, und dann das gleiche einfach
> ncohmal für x machen und y als Konstante behandeln.
> komm bei der Aufgabe oben auf nichts sinnvolles.
den Terminus "Aufleiten" ist nett ;), aber ich weiss was Du meinst *gg*
und ja, im Grunde hast Du recht, was hält Dich dann davon ab?
Blech hats Dir ja eigentlich schon hingeschrieben:
> Partielle Integration von [mm]y \sin(by)[/mm] (mit b als Parameter),
> dann partielle Integration beim resultierenden
wobei ich den Rest nicht nachvollziehen kann:
> [mm] \frac{1}{x^2} \sin(cx)[/mm] (mit [mm]f'=\frac{1}{x^2}\ \text{und}\ g=\sin(cx)[/mm]),
> soweit ich das sehe, oder?
(oh, doch - er hat die Methode der "Partiellen Integration" (gem Produktregel) mit der partiellen Integration einer von mehreren Variablen abhängenden Funktion nach einer der Variablen zusammengezogen )
...eine Formelsammlung, (oder eigene Rechnung) liefert als Stammfunktion von [mm]x*\sin{cx}[/mm]:
[mm] \integral{}{}{x*sincx}= \bruch{\sin{}cx}{c^2} -\bruch{x\cos{cx}}{c}
[/mm]
hier nun das unbestimmte Integral weiterzuintegrieren wird etwas schwierig, da das unbest Integral von [mm] \bruch{\sin{cy}}{y} [/mm] keine geschlossene Lösung hat....
Vielleicht führt Auseinandersetzung mit den bestimmten Integralen weiter:
[mm]\integral_{0}^{1}{x*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{y*\sin{(xy)}}} dy dx[/mm]
oder
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{y*\integral_{0}^{1}{x*\sin{(yx)}}} dx dy[/mm]
??
Walty
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Do 26.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie das folgende Bereichsintegral:
> [mm]\integral_{a}{xy sin(xy) dydx}[/mm]
> [mm]a=\{(x;y); 0 \le x \le 1 ; 0 \le y \le \pi/2\}[/mm]
> Komm einfach
> nich auf die entsprechende Aufleitung.
> Ich muss ja erst die inner Fkt. integrieren, dann die
> Grenzen einsetzen und dann das gleiche nochmal mit der
> äußeren Fkt. machen.0
Richtig.
> Aber wie kann ich sinnvoll aufleiten?
Als erstes würde ich mir überlegen, wie die Grenzen aussehen. Der Integrationsbereich ist ein Rechteck in der [mm](x,y][/mm]-Ebene. Das heisst, die Integrations über x geht von 0 bis 1, die über y von 0 bis [mm]\pi/2[/mm]. Die Integrationsgrenzen sind also unabhängig.
Dann schreibst du das Integral
[mm]\integral_{a}{xy \sin(xy) dydx} = \integral_0^1\left(\integral_0^{\pi/2} xy \sin(xy) dy \right) dx[/mm].
In dem inneren Integral muss man x als Konstante betrachten, kann es deswegen vorziehen und muss
[mm] \integral_0^{\pi/2} y \sin(xy) dy [/mm]
berechnen. Das machst du am besten mit partieller Integration (u = y, [mm]v'=\sin(xy)[/mm]):
[mm] \integral_0^{\pi/2} y \sin(xy) dy = \left. y \bruch{-\cos(xy)}{x} \right|_0^{\pi/2} - \integral_0^{\pi/2} 1\cdot \bruch{-\cos(xy)}{x} dy = - \bruch{\pi\cos(\pi x/2)}{2x} + \left.\bruch {\sin(xy)}{x^2}\right|_0^{\pi/2} = - \bruch{\pi\cos(\pi x/2)}{2x} + \bruch{\sin(\pi x/2)}{x^2} [/mm].
Jetzt setzt du dieses Ergebnis ein und musst noch
[mm]\integral_0^1 x \left(- \bruch{\pi\cos(\pi x/2)}{2x} + \bruch{\sin(\pi x/2)}{x^2} \right) dx = -\bruch{\pi}{2} \integral_0^1 cos(\pi x/2) dx + \integral_0^1 \bruch{\sin(\pi x/2)}{x} dx \right)[/mm]
ausrechnen. Das letzte Integral ist nicht durch elementare Funktionen darstellbar. Ich kann es mit der Substitution [mm]u=\pi x/2[/mm] in
[mm] \integral_0^{\pi/2} \bruch{\sin u}{u} du[/mm]
umformen, aber mir fällt im Moment keine Methode ein, das auszurechnen (außer numerisch).
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Do 26.07.2007 | | Autor: | Blech |
> In dem inneren Integral muss man x als Konstante
> betrachten, kann es deswegen vorziehen und muss
> [mm]\integral_0^{\pi/2} y \sin(xy) dy[/mm]
> berechnen. Das machst du am besten mit partieller
> Integration (u = y, [mm]v'=\sin(xy)[/mm]):
> [mm]\integral_0^{\pi/2} y \sin(xy) dy = \left. y \bruch{-\cos(xy)}{x} \right|_0^{\pi/2} - \integral_0^{\pi/2} 1\cdot \bruch{-\cos(xy)}{x} dy = - \bruch{\pi\cos(\pi x/2)}{2x} + \left.\bruch {\sin(xy)}{x^2}\right|_0^{\pi/2} = - \bruch{\pi\cos(\pi x/2)}{2x} + \bruch{\sin(\pi x/2)}{x^2} [/mm].
Falls sich irgendwer wundert wo bei mir das [mm]\frac{1}{x^2}[/mm] herkam. In meiner unergründlichen Weisheit habe ich das [mm]x[/mm] , das ich zuerst aus dem ersten Integral rausgezogen hab, dann vergessen.
Zu meiner Verteidigung möchte ich anmerken, daß das ganze dadurch viel *schöner* wird =P
[mm]\integral_0^1 \left(- \frac{\pi}{2}\bruch{\cos(\frac{\pi}{2} x)}{x} + \bruch{\sin(\frac{\pi}{2}x)}{x^2} \right) dx = - \integral_0^1 \frac{\pi}{2}\frac{\cos(\frac{\pi}{2}x)}{x} dx + \integral_0^1 \frac{\pi}{2}\frac{\cos(\frac{\pi}{2}x)}{x} dx - \left.\frac{\sin(\frac{\pi}{2}x)}{x}\right|_0^1[/mm]
Es ist sogar so viel schöner, daß du schauen solltest, ob Deine urspr Aufgabe stimmt =)
Sonst hat Rainer recht:
>
> ausrechnen. Das letzte Integral ist nicht durch elementare
> Funktionen darstellbar. Ich kann es mit der Substitution
> [mm]u=\pi x/2[/mm] in
> [mm]\integral_0^{\pi/2} \bruch{\sin u}{u} du[/mm]
> umformen, aber
> mir fällt im Moment keine Methode ein, das auszurechnen
> (außer numerisch).
Man nennt es den Integralsinus [mm]si(\pi /2)[/mm], und ich wüßte außer für die Integralgrenzen [mm](0,\infty)[/mm] auch keine Methode, es symbolisch zu lösen.
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die Aufgabenstellung ist richtig
ich kann rainer Lösung sehr gut nachvollzeihen, leider kann ich mir auch keinen Reim daraus machen, wie das integral [mm] \left( \bruch{\sin(u)}{u} \right) [/mm] in den betreffenden Grenzen weiter ausrechnen soll. Weiß da vlt. noch jmd. eine Antwort?
Als Anmerkung sei gegeben, dass wir keinen Taschenrechner und auch keine Formelsammlung benutzen dürfen. Also muss diese Aufgabe auch irgentwie ohne zu rechnen sein.
Aber vielen Dank schonmal für eure bisherige Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Do 26.07.2007 | | Autor: | Blech |
> die Aufgabenstellung ist richtig
Also:
[mm]\int \cdot = Si(\pi /2) - 1[/mm]
ist dann auf jeden Fall eine richtige Lösung =)
Du könntest auch die Reihenentwicklung hernehmen (siehe Wikipedia) und schauen ob du da für [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] was findest, mir würde spontan nichts auffallen.
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ok...
hab ich soweit verstanden. Nur bin ich jetzt verwirrt so bei dir die -1 herkommt? aus [mm] -\bruch{\pi}{2} \integral_0^1 cos(\pi [/mm] x/2) dx kann es doch nich kommen, da die Stammfunktion doch
[mm] \bruch{2* (\sin0,5 \pi *x)}{\pi} [/mm] ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Do 26.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> hab ich soweit verstanden. Nur bin ich jetzt verwirrt so
> bei dir die -1 herkommt? aus [mm]-\bruch{\pi}{2} \integral_0^1 cos(\pi[/mm] x/2) dx kann es doch nich kommen, da die Stammfunktion doch
> [mm]\bruch{2* (\sin0,5 \pi *x)}{\pi}[/mm] ist
Da hast du den Faktor [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] vor dem Integral gerade mal unter den Tisch fallen lassen.
Grüße
Rainer
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man man man
jetzt bin ich schon so verwirrt und hab auf den falschen Button geklickt, dabei ist meine Frage doch schon beantwortet...
Danke an euch alle, habt mir echt gut geholfen!
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