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| Aufgabe | Bestimme folgendes Integral:
I= [mm] \integral\integral_{\Omega}{\bruch{1}{x}*\cos(xy) dydx}
[/mm]
[mm] \Omega=[(x,y); 0\le [/mm] x [mm] \le1 [/mm] , [mm] -\bruch{\pi}{2} \le [/mm] y [mm] \le0] [/mm]
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Hab jetzt das Integral auseinander gezogen...
also [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
und das ist doch [mm] \infty
[/mm]
also kann ich doch eigentlich schon an dieser Stelle abbrechen und sagen das Integral wäre [mm] \infty
[/mm]
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 So 29.07.2007 | | Autor: | cardia |
Hallo!
Ich komme da auf folgendes:
inneres Intergral
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x}*cos(xy) dy}=\bruch{180*sin(x)}{\pi*x^{2}}=Ii
[/mm]
äußeres Integral
[mm] \integral_{-\pi/2}^{0}{Ii dx}
[/mm]
Diese Int. ebenfalls lösen und das ist dann Deine Lösung!
Ich hoffe es hat geholfen!
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??
Kann ich nicht das Bereichsintegral in zwei Integrale trennen?
und zwar in
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
[mm] *\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{0}{\cos(xy) dy}
[/mm]
Und dann einfach nacheinander auflösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 So 29.07.2007 | | Autor: | cardia |
[mm] \integral_{0}^{1}{(2x+4)dx}
[/mm]
hier kannst Du trennen
[mm] \integral_{0}^{1}{2xdx}+\integral_{0}^{1}{4dx}
[/mm]
als Beispiel!
Bei einer Mehrfachintegration musst Du erst das innere Integral lösen und diese daraus neu entstandene Funktion nach der zweiten (äußeren Grenze) lösen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 So 29.07.2007 | | Autor: | cardia |
Habe da die Grenzen vertauscht wie ich sehe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 So 29.07.2007 | | Autor: | cardia |
inneres Integral:
[mm] \integral_{-\pi/2}^{0}{\bruch{1}{x}*cos(xy) dy}=\bruch{180*sin(\bruch{\pi*x}{2})}{\pi*x^{2}}=Ii
[/mm]
äußere Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{Ii dx}
[/mm]
dennoch ohne Gewähr!
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Aber ganz sicher kann ich [mm] \bruch{1}{x} [/mm] aus dem Integral ziehen , da ich als erstes doch nach y integriere und deshalb 1/x als Konstante betrachten darf.
Deshalb muss es noch eine etwas einfachere Lösung geben als deine, denn in der Klausur sind weder Taschenrechner noch Integraltabellen erlaubt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 So 29.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
es gibt doch nur 2 Möglichkeiten. Entwedererst nach x oder y integrieren. Wenn du nach erst y integrierst, dann darfst du natürlich 1/x vor das Integral ziehen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Das wäre mein Ergebnis... aber das kann doch nicht sein...
ich meine das müssen wir in der Klausur im Kopf können.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 So 29.07.2007 | | Autor: | Blech |
[mm]\int_0^1 \int_{-\pi/2}^0 \frac{1}{x}\cos(xy)dy dx = \int_{-\pi/2}^0 \int_0^1 \frac{\cos(yx)}{x}dx dy[/mm] oder geht das hier nicht?
In diesem Fall würde nämlich gelten: [mm]\int_0^b \frac{\cos(ax)}{x}dx = \infty[/mm] für alle [mm]a \in \IR, b \in \IR^+[/mm] und damit auch das Doppelintegral oben.
Wenn du nicht die Reihenfolge der Integration vertauschst, kommst du durch Integration nach y zuerst auf:
[mm]\int\int \cdot = \int_0^1 \frac{1}{x}\left[ \frac{\sin xy}{x}\right]_{y=-\pi/2}^0 dx = - \int_0^1 \frac{\sin(-\frac{\pi}{2} x)}{x^2}dx[/mm] und das ist auch [mm] \infty, [/mm] da [mm]\sin x \approx x[/mm] für x klein, und [mm] x/x^2 = 1/x \xrightarrow[x \rightarrow 0]{} \infty[/mm]
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aber was ist denn dann an meiner ersten Ausführung falsch, das ich in dem fall zuerst von außen Integriere, was ja erlaubt sein müsste, da die Integralgrenzen unabhängig voneinander sind.
Da bekomm ich dann auch [mm] \infty [/mm] raus denn [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] ist doch auch [mm] \infty.
[/mm]
und [mm] \infty [/mm] * eine endliche Zahl = [mm] \infty [/mm]
oder lieg ich da wieder falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 So 29.07.2007 | | Autor: | Blech |
> aber was ist denn dann an meiner ersten Ausführung falsch,
> das ich in dem fall zuerst von außen Integriere, was ja
> erlaubt sein müsste, da die Integralgrenzen unabhängig
> voneinander sind.
> Da bekomm ich dann auch [mm]\infty[/mm] raus denn
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x} dx}[/mm] ist doch auch [mm]\infty.[/mm]
> und [mm]\infty[/mm] * eine endliche Zahl = [mm]\infty[/mm]
>
> oder lieg ich da wieder falsch?
Du kannst doch das x im Kosinus nicht ignorieren.
[mm]\int_{-\pi/2}^0 \cos(xy) dy = f(x)[/mm] soll heißen das Integral ist eine Funktion von x und damit ist das äußere [mm]\int_0^1 \frac{f(x)}{x} dx[/mm]. Wenn Du das nicht näher betrachtest könnte es ja theoretisch sein, daß f(x) z.B. [mm] x^2 [/mm] ist, und damit das äußere Integral [mm]\int_0^1 \frac{x^2}{x}dx \neq \infty[/mm] wäre.
Wenn Du direkt gesehen hast, daß das innere Integral keine Rolle spielt, dann müßtest Du das begründen, wie ich das durch Vertauschen der Integrale oder durch das Ausrechnen des inneren versucht habe.
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ah ha!
Danke für die Erklärung Blech
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 So 29.07.2007 | | Autor: | Blech |
Kein Problem =)
Schau Dir eure Version des Satzes von Fubini nochmal an.
> [mm]\int_0^1 \int_{-\pi/2}^0 \frac{1}{x}\cos(xy)dy dx = \int_{-\pi/2}^0 \int_0^1 \frac{\cos(yx)}{x}dx dy[/mm] oder geht das hier nicht?
Das war nämlich keine rein rhetorische Frage. Hier die Integrale formal sauber zu vertauschen könnte je nach Formulierung schwierig sein.
Es ist möglich, weil das Hauptproblem beim Vertauschen das Auftreten von [mm]\infty - \infty[/mm] (oder ähnlichem) ist. Man kann also Fälle erhalten, wo die eine Reihenfolge 5 ergibt und die andere 6.
Hier ist das nicht der Fall und die Vertauschung möglich, allerdings kann je nach spezifischer Definition und Formulierung (sowie Ordnungsliebe der Korrektoren) das oben erlaubt sein oder auch nicht (tendenziell nicht).
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