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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $\alpha>1$ [/mm] und $x [mm] \in \IR, [/mm] x > -1, x [mm] \not=0$. [/mm] Dann gilt [mm] $(1+x)^\alpha [/mm] > [mm] 1+\alpha [/mm] x$. |
Hallo und frohes Neues Jahr,
diese Ungleichung sieht wie die Bernoulli-Ungleichung aus, es fehlt aber die Voraussetzung [mm] $\alpha \in \IN$.
[/mm]
Sonst könnte ich die Ungleichung mit der vollständigen Induktion beweisen, mit Induktionsanfang [mm] $\alpha=2$, [/mm] da hier > und nicht [mm] $\geq$ [/mm] steht. Aber wenn [mm] $\alpha$ [/mm] keine natürliche Zahl ist, geht das ja nicht.
Fehlt hier diese Angabe in der Aufgabenstellung oder muss ich anders an diese Aufgabe herangehen? Unser aktuelles Thema in der Vorlesung ist die Differentiation, gäbe es da einen Ansatz?
Palonina
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Hallo Palonina,
> Es sei [mm]\alpha>1[/mm] und [mm]x \in \IR, x > -1, x \not=0[/mm]. Dann gilt
> [mm](1+x)^\alpha > 1+\alpha x[/mm].
> Hallo und frohes Neues Jahr,
>
> diese Ungleichung sieht wie die Bernoulli-Ungleichung aus,
> es fehlt aber die Voraussetzung [mm]\alpha \in \IN[/mm].
> Sonst
> könnte ich die Ungleichung mit der vollständigen Induktion
> beweisen, mit Induktionsanfang [mm]\alpha=2[/mm], da hier > und
> nicht [mm]\geq[/mm] steht. Aber wenn [mm]\alpha[/mm] keine natürliche Zahl
> ist, geht das ja nicht.
> Fehlt hier diese Angabe in der Aufgabenstellung
Nein, wenn nix dasteht, so ist [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] und [mm] $\alpha [/mm] > 1$
> oder muss ich anders an diese Aufgabe herangehen?
Ja, ich denke schon, über ein reelles [mm] $\alpha$ [/mm] kannst du keine Induktion machen
> Unser aktuelles Thema in der Vorlesung ist die Differentiation, gäbe es da einen Ansatz?
Ja, wenn ihr in dem Themenzusammenhang schon das Taylorpolynom hattet, kannst du dir mal die Funktion [mm] $f(x)=(1+x)^{\alpha}$ [/mm] definieren und in ein Taylorpolynom 1.Ordnung entwickeln.
Dann betrachte das Restglied [mm] $R_1(x)$.
[/mm]
Damit ergibt sich die Beh. direkt
>
> Palonina
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 04.01.2009 | | Autor: | Palonina |
Hallo schachuzipus,
das habe ich jetzt versucht. Aber für welche Stelle [mm] $x_0$ [/mm] entwickle ich die Funktion? Den gesuchten Ausdruck erhalte ich näherungsweise für [mm] $x_0=0$, [/mm] kann ich die Stelle einfach so wählen oder wie begründe ich, dass ich 0 nehme?
Mein Taylor-Polynon 1. Ordnung lautet:
$f(x) = [mm] \sum_{k=0}^1 \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x-x_0)^{k}+ R_1 [/mm] $
$= [mm] \frac{(1+x_0)^\alpha}{0!}(x-x_0)^0 [/mm] + [mm] \frac{\alpha (1+x_0)^{\alpha-1}}{1!}(x-x_0)^1 [/mm] + [mm] \frac{\alpha (\alpha-1)(1+\xi)^{\alpha-2}}{2!}(x-x_0)^2$.
[/mm]
Für [mm] $x_0=0$ [/mm] erhalte ich dann
$f(x)= 1 + [mm] \alpha [/mm] x + [mm] \frac{\alpha (\alpha-1)(1+\xi)^{\alpha-2}}{2}x^2$.
[/mm]
Falls [mm] $R_1>0$ [/mm] ist, kann ich diesen Ausdruck nach unten abschätzen und habe meine Behauptung. Laut Voraussetzung ist [mm] $\alpha>1$, [/mm] wie kann ich aber eine Aussage über [mm] $(1+\xi)^{\alpha-2}$ [/mm] machen?
Viele Grüße,
Palonina
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> das habe ich jetzt versucht. Aber für welche Stelle [mm]x_0[/mm]
> entwickle ich die Funktion? Den gesuchten Ausdruck erhalte
> ich näherungsweise für [mm]x_0=0[/mm], kann ich die Stelle einfach
> so wählen oder wie begründe ich, dass ich 0 nehme?
>
> Mein Taylor-Polynon 1. Ordnung lautet:
>
> [mm]f(x) = \sum_{k=0}^1 \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!} (x-x_0)^{k}+ R_1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]= \frac{(1+x_0)^\alpha}{0!}(x-x_0)^0 + \frac{\alpha (1+x_0)^{\alpha-1}}{1!}(x-x_0)^1 + \frac{\alpha (\alpha-1)(1+\xi)^{\alpha-2}}{2!}(x-x_0)^2[/mm].
>
> Für [mm]x_0=0[/mm] erhalte ich dann
>
> [mm]f(x)= 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha-1)(1+\xi)^{\alpha-2}}{2}x^2[/mm].
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
sehr schön!
>
> Falls [mm]R_1>0[/mm] ist, kann ich diesen Ausdruck nach unten
> abschätzen und habe meine Behauptung. Laut Voraussetzung
> ist [mm]\alpha>1[/mm], wie kann ich aber eine Aussage über
> [mm](1+\xi)^{\alpha-2}[/mm] machen?
Ja, das [mm] $\xi$ [/mm] liegt doch zwischen $x$ und [mm] $x_0=0$ [/mm] und nach Vor. ist $x>-1$, also auch [mm] $\xi>-1$
[/mm]
Damit [mm] $1+\xi>0$ [/mm] ...
>
> Viele Grüße,
> Palonina
>
LG
schachuzipus
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