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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mi 29.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | | Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung mithilfe des Mittelwertsatzes der Differentialgleichung. |
Es ist:
[mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1 + nx
Und:
[mm] f(x)-f(0)=f´(\varepsilon)*(x-0)
[/mm]
Ich untersuche also: [mm] \varepsilon \in [/mm] [0,x] x>0
Ich setze also ein und erhalte:
[mm] (1+x)^n [/mm] - 1 = n* (1+ [mm] \varepsilon)^{n-1} [/mm] * x + 1 [mm] \ge [/mm] 1 + nx
Ist damit der Beweis schon fertig?
Ich glaube eigentlich nicht, denn diese Gleichung hat doch nur für ein [mm] \varepsilon [/mm] innerhalb des Intervalls bestand, oder nicht? Ich wüsste aber auch ncicht, wie es sonst noch weitergeht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mi 29.01.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung mithilfe des
> Mittelwertsatzes der Differentialgleichung.
> Es ist:
> [mm](1+x)^n \ge 1 + nx[/mm]
>
> Und:
> [mm]f(x)-f(0)=f'(\varepsilon)*(x-0)[/mm]
>
> Ich untersuche also: [mm]\varepsilon \in [0,x][/mm] x>0
> Ich setze also ein und erhalte:
>
> [mm](1+x)^n - 1 = n* (1+ \varepsilon)^{n-1} * x + 1 \ge 1 + nx[/mm]
>
> Ist damit der Beweis schon fertig?
> Ich glaube eigentlich nicht, denn diese Gleichung hat doch
> nur für ein [mm]\varepsilon[/mm] innerhalb des Intervalls bestand,
> oder nicht? Ich wüsste aber auch ncicht, wie es sonst noch
> weitergeht...
Für $n>1$ reicht das, denn für dieses eine [mm] $\varepsilon$ [/mm] gilt ja:
[mm]\varepsilon >0 \implies 1+\varepsilon >1 \implies (1+\varepsilon)^{n-1} \ge 1[/mm].
(Für $n=1$) ist [mm] $(1+\varepsilon)^{n-1}=1$.
[/mm]
Allerdings gilt die Bernoullische Ungleichung auch für [mm] $x\ge [/mm] -1 $ und [mm] $n\ge [/mm] 0$; für $x<0$ hast du sie nicht gezeigt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Do 30.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Wenn ich das für x<0 zeigen will,
mache ich dann:
[mm] f(0)-f(x)=f'(\varepsilon)*(0-x)
[/mm]
oder:
f(0)-f(-1)...etc...
?
Mit ersterem kommt genau dasselbe raus wie für x>0....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Do 30.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Wenn ich das für x<0 zeigen will,
> mache ich dann:
> [mm]f(0)-f(x)=f'(\varepsilon)*(0-x)[/mm]
>
> oder:
> f(0)-f(-1)...etc...
>
Das erstere natürlich, f(0)-f(-1) ist doch eine feste Zahl, damit kannst du die Behaupting nicht für beliebige x zeigen.
> ?
> Mit ersterem kommt genau dasselbe raus wie für x>0....
Die Rechnung ist in der Tat dieselbe, aber mache dem Leser / Korrektor unbedingt klar, dass du verstanden hast, warum die Ungleichung z.B. nicht für x=-2 gilt.
Wenn du dann die Fälle x>0 und [mm] ...\le [/mm] x<0 bearbeitet hast bleibt noch der Fall ...
Gruß Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Do 30.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung mithilfe des
> Mittelwertsatzes der Differentialgleichung.
> Es ist:
> [mm](1+x)^n \ge[/mm] 1 + nx
>
> Und:
> [mm]f(x)-f(0)=f´(\varepsilon)*(x-0)[/mm]
>
> Ich untersuche also: [mm]\varepsilon \in[/mm] [0,x] x>0
> Ich setze also ein und erhalte:
>
> [mm](1+x)^n[/mm] - 1 = n* (1+ [mm]\varepsilon)^{n-1}[/mm] * x + 1 [mm]\ge[/mm] 1 + nx
Es ist doch [mm](1+x)^n- 1 = n* (1+ \varepsilon)^{n-1} * x - 1 [/mm] !!!
FRED
>
> Ist damit der Beweis schon fertig?
> Ich glaube eigentlich nicht, denn diese Gleichung hat doch
> nur für ein [mm]\varepsilon[/mm] innerhalb des Intervalls bestand,
> oder nicht? Ich wüsste aber auch ncicht, wie es sonst noch
> weitergeht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Do 30.01.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ah, ich hab die -1 von dir linken Seite rübergezogen (+1 auf beiden Seiten)
und die versehentlich auf der linken Seite trotzdem wieder hingeschrieben...
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