Bernoullische Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:17 Do 06.11.2008 | | Autor: | Sigma87 |
hallo
also meine aufgabe ist
für alle nat zahlen n =>2 gilt:
[mm] (1+1/(n-1))^n>(1+1/n)^{n+1} [/mm]
ok das soll ich jetzt beweisen und die bernoullische Ungleichung darauf anwenden aber irgendwie krieg ich das nicht entsprechend umgeformt
keine ahnung ob ich das mit induktion überhaupt machen muss aber die ganzen aufgaben davor waren mit induktion
danke für die hilfe im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Do 06.11.2008 | | Autor: | maxi85 |
> hallo
> also meine aufgabe ist
> für alle nat zahlen n =>2 gilt:
>
> [mm](1+(1/(n-1))^n>(1+1n)^{n+1}[/mm]
> ok das soll ich jetzt beweisen und die bernoullische
> Ungleichung darauf anwenden aber irgendwie krieg ich das
> nicht entsprechend umgeformt
> keine ahnung ob ich das mit induktion überhaupt machen muss
> aber die ganzen aufgaben davor waren mit induktion
> danke für die hilfe im voraus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Hallo Sigma,
wenn ich die gleichung oben richtig lese sollst du zeigen, dass
(1+ [mm] \bruch{1}{n-1})^n [/mm] > [mm] (1+n)^{n+1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
wenn das stimmt hättest du aber schon im Induktionsanfang nen Wiederspruch, da für n=2 gilt:
(1+ [mm] \bruch{1}{2-1})^2 [/mm] = [mm] 2^2 [/mm] = 4 > [mm] (1+2)^{2+1} [/mm] = [mm] 3^3 [/mm] = 27
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:52 Do 06.11.2008 | | Autor: | Sigma87 |
ah ne das hab ich falsch abgeschrieben das soll nach dem > zeichen heißen (1+ 1/n)^(n+1)
bin mir aber trotzdem net ganz sicher ob wir das überhaupt mit induktion lösen sollen oder nur durch umformung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Do 06.11.2008 | | Autor: | maxi85 |
hmm leider bin ich mir da auch nicht sicher.
ich weiß nur sicher, das es mit induktion lösbar ist. und das sogar relativ einfach. allerdings habe ich dabei die bernoulli ungleichung nicht gebraucht, was mir wieder zu denken gibt ob genau das gefordert ist.
naja evt. widmet sich noch jemand der aufgabe der/die es auch ohne induktion kann.
liebe grüße, die maxi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Do 06.11.2008 | | Autor: | Sigma87 |
und wie geht die induktion damit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Do 06.11.2008 | | Autor: | maxi85 |
Naja Induktion besteht ja immer aus Induktionsanfang (den solltest du selbst schaffen, induktionsvorraussetzung IV und induktionsbeweis/Schluss IB oder IS)
IV: (1+ [mm] \bruch{1}{n-1})^n [/mm] > [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] für mind. ein n [mm] \in \IN
[/mm]
IB: (1+ [mm] \bruch{1}{n-1})^{n+1} [/mm] = [mm] "X^n [/mm] * X" also einmal ausklammern = (IV einsetzen) > ... (an der stelle habe ich mir aufgeschrieben wo ich hin will. also nach
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} (1+\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+2}
[/mm]
wenn du soweit bist siehts du auf dem blatt recht leicht, das du nur noch zeigen musst, dass [mm] 1+\bruch{1}{n-1} [/mm] > [mm] 1+\bruch{1}{n} [/mm] wobei laut aufgabenstellung n [mm] \ge [/mm] 2 woraus nach ein paar schritten folgt n > n-1 oder n+1 > n (was laut den axiomen der Nat. Zahlen gilt.
versuche es einfach mal, du schaffst das schon!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Do 06.11.2008 | | Autor: | Sigma87 |
ok danke ich schätze das schaff ich lass ich halt die bernoillische ungleichung weg besser als nix auf jeden fall mal
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Hallo maxi,
> Naja Induktion besteht ja immer aus Induktionsanfang (den
> solltest du selbst schaffen, induktionsvorraussetzung IV
> und induktionsbeweis/Schluss IB oder IS)
>
> IV: (1+ [mm]\bruch{1}{n-1})^n[/mm] > [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm] für
> mind. ein n [mm]\in \IN[/mm]
>
> IB: $(1+ [mm] \bruch{1}{n-1})^{n+1}$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") = [mm]"X^n[/mm] * X" also einmal
> ausklammern = (IV einsetzen) > ... (an der stelle habe ich
> mir aufgeschrieben wo ich hin will. also nach
>
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1} (1+\bruch{1}{n})[/mm] =
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+2}[/mm]
Im Induktionsschritt musst du die Gültigkeit Behauptung für n+1 (unter Annahme der Gültigkeit für n) zeigen, du musst alle n durch n+1 ersetzen
Im Induktionsschritt ist also zu zeigen
[mm] $\left(1+\frac{1}{(n+1)-1}\right)^{n+1} [/mm] \ > \ [mm] \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)+1}$
[/mm]
Also [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{
n+2}$
[/mm]
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> wenn du soweit bist siehts du auf dem blatt recht leicht,
> das du nur noch zeigen musst, dass [mm]1+\bruch{1}{n-1}[/mm] >
> [mm]1+\bruch{1}{n}[/mm] wobei laut aufgabenstellung n [mm]\ge[/mm] 2 woraus
> nach ein paar schritten folgt n > n-1 oder n+1 > n (was
> laut den axiomen der Nat. Zahlen gilt.
>
> versuche es einfach mal, du schaffst das schon!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marc |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Die Frage wurde eine Stunde früher und eine halbe Stunde später in zwei anderen Mathe-Foren gepostet.
Wüsste gerne, was du dir von diesem Verstoß gegen unsere Forenregeln --trotz nun wirklich nicht zu übersehender Warnungen-- versprichst.
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