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| Aufgabe | Bestimme die Gleichung für die Tangente an dem Graphen von f durch den Punkt S. Gib auch den Berührpunkt an.
a.)
f(x)= [mm] \wurzel{25-x^2}
[/mm]
S (-1|7) |
Wie kommt man auf den Berührpunkt ?
Die Formel für den Halbkreis gibt ja nur alle Punkte auf diesem Halbkreis an und der Punkt liegt ja irgentwo bei S (-1|7) ....
kann es da nicht mehrere Lösungen geben ? weil es ist ja keine Steigung angegeben ! ?
Bitte löst mal die Aufgabe ich weiß nicht wie das gehen soll und bitte erklärt dann eure Schritte auch damit ich das nachvollziehen kann ^^
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Hallo Marvin,
> Bestimme die Gleichung für die Tangente an dem Graphen von
> f durch den Punkt S. Gib auch den Berührpunkt an.
>
> a.)
> f(x)= [mm]\wurzel{25-x^2}[/mm]
> S (-1|7)
> Wie kommt man auf den Berührpunkt ?
> Die Formel für den Halbkreis gibt ja nur alle Punkte auf
> diesem Halbkreis an und der Punkt liegt ja irgentwo bei S
> (-1|7) ....
> kann es da nicht mehrere Lösungen geben ? weil es ist ja
> keine Steigung angegeben ! ?
> Bitte löst mal die Aufgabe ich weiß nicht wie das gehen
> soll und bitte erklärt dann eure Schritte auch damit ich
> das nachvollziehen kann ^^
Mache dir erstmal eine Zeichnung, dann kannst du ablesen, dass es 2 Lösungen, also 2 Tangenten durch $S$ an den o.e. Halbkreis gibt.
Wie groß ist denn die Steigung in einem beliebigen Punkt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] des Halbkreises?
Doch [mm] $f'(x_0)$, [/mm] wobei [mm] $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ [/mm] ist
Dann berechne mal mit der Punkt-Steigungs-Form die Gerade durch $S$ mit eben dieser Steigung [mm] $f'(x_0)$
[/mm]
Dann hast du alles ganz allgemein.
Nun fehlt noch der Berührpunkt an den HK, setze also die oben ermittelte Geradengleichung und die Gleichung für den HK gleich, dann bekommst du 2 BPe
Mit diesen Punkten kannst du die allg. Geradengleichung mit der allg. Steigung [mm] $f'(x_0)$ [/mm] konkretisieren zu einer Tangentengleichung mit einer expliziten Steigung ...
Mache an der Skizze ne Kontrolle
LG
schachuzipus
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Ich habe jetzt mal die Formel der [mm] Tangentensteigung(m_{t}):
[/mm]
[mm] m_{t}=-x/\wurzel{r^2-x^2}
[/mm]
mit der Punksteigungsformel:
[mm] m=(y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1})
[/mm]
gleichgesetzt und dann bei der Punktsteigungsformel für [mm] y_{2} [/mm] 7 und für [mm] x_{2} [/mm] -1 eingesetzt (also von dem in der Aufgabe vorgegebenen Punkt)
Dann habe ich in der Punktsteigungsformel noch [mm] y_{1} [/mm] mit der Halbkreisfunktion ersetzt um nur noch eine Variabel zu haben.
Das sieht also jetzt so aus:
[mm] -x/\wurzel{r^2-x^2} [/mm] = [mm] (7-\wurzel{r^2-x^2})/(-1-x_{1})
[/mm]
So weit so gut ....
aber wie löse ich diese Gleichung :-D geht das überhaupt ? also dass man die so löst dass man auf einer Seite nur noch x stehen hat ?
Bitte sagt mir wie das geht ^^...
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Hallo marvinxxl,
> Ich habe jetzt mal die Formel der
> [mm]Tangentensteigung(m_{t}):[/mm]
> [mm]m_{t}=-x/\wurzel{r^2-x^2}[/mm]
> mit der Punksteigungsformel:
> [mm]m=(y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1})[/mm]
> gleichgesetzt und dann bei der Punktsteigungsformel für
> [mm]y_{2}[/mm] 7 und für [mm]x_{2}[/mm] -1 eingesetzt (also von dem in der
> Aufgabe vorgegebenen Punkt)
> Dann habe ich in der Punktsteigungsformel noch [mm]y_{1}[/mm] mit
> der Halbkreisfunktion ersetzt um nur noch eine Variabel zu
> haben.
> Das sieht also jetzt so aus:
>
> [mm]-x/\wurzel{r^2-x^2}[/mm] = [mm](7-\wurzel{r^2-x^2})/(-1-x_{1})[/mm]
>
> So weit so gut ....
> aber wie löse ich diese Gleichung :-D geht das überhaupt ?
> also dass man die so löst dass man auf einer Seite nur noch
> x stehen hat ?
>
> Bitte sagt mir wie das geht ^^...
>
Nachdem Du die Gleichung mit [mm]\wurzel{1-x^{2}}*\left(1+x\right)[/mm]
durchmultipliziert und ausmultipliziert hast,
bringe alle Wurzelausdrücke auf eine Seite
und quadriere die so erhaltene Gleichung.
Das machst Du solange bis in der Gleichung keine Wurzelausdrücke mehr vorkommen.
Zum Schluss überprüfst Du die so erhaltenen Lösungen.
Gruß
MathePower
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danke !
ich habe als letztes in der gleichung dann stehen
[mm] x^2+x+3=0
[/mm]
ich habe dann die p/q formel benutzt und gemerkt dass das unlösbar ist -.- also irgentwie geht heute mal gar nix 
hast du das gerade auch gerechnet ?
Wenn ja hattest du am Ende das gleiche Ergebnis also [mm] x^2+x+3=0 [/mm] ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Sa 22.11.2008 | | Autor: | marvin8xxl |
ah schon gut habs raus
Danke nochma ^^
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Hallo marvinxxl,
> danke !
> ich habe als letztes in der gleichung dann stehen
> [mm]x^2+x+3=0[/mm]
> ich habe dann die p/q formel benutzt und gemerkt dass das
> unlösbar ist -.- also irgentwie geht heute mal gar nix
> hast du das gerade auch gerechnet ?
> Wenn ja hattest du am Ende das gleiche Ergebnis also
> [mm]x^2+x+3=0[/mm] ?
Nein, ich bekomme da eine lösbare Gleichung.
Multiplikation mit [mm]\wurzel{25-x^{2}}\left(-1-x\right)[/mm] liefert:
[mm]x*\left(1+x\right)=\left(7-\wurzel{25-x^{2}}\right)*\wurzel{25-x^{2}}[/mm]
[mm]\gdw x*\left(1+x\right)=7*\wurzel{25-x^{2}}-\left(\wurzel{25-x^{2}}\right)^{2}[/mm]
[mm]\gdw
x*\left(1+x\right)+\left(\wurzel{25-x^{2}}\right)^{2}=7*\wurzel{25-x^{2}}[/mm]
Sind wir uns soweit einig?
Gruß
MathePower
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Ja ich hab meinen Fehler gefunden ...
habe am Ende dann
[mm] x^2+x-12=0 [/mm]
raus.
Das habe ich dann mit der p/q Formel ausgerechnet und dann die Werte
[mm] x_{1}= [/mm] 3 und
[mm] x_{2}= [/mm] -4 raus!
Das ist ja soweit richtig jetzt oda ?
jetzt muss ich ja noch die y werte ausrechnen für die Berührpunkte und setze dafür [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] in die Halbkreisgleichung
f(x)= [mm] \wurzel{25-x^2}
[/mm]
ein... (soweit richtig?)
Dann habe ich bei [mm] x_{1} [/mm] raus:
[mm] y_{1}= [/mm] 4 v [mm] y_{2}= [/mm] -4
und für [mm] x_{2}:
[/mm]
[mm] y_{3}= [/mm] 3 v [mm] y_{4}= [/mm] -3
Dabei entfällt [mm] y_{2} [/mm] und [mm] y_{4} [/mm] weil die y werte ja positiv sein müssen! (richtig ?)
Um jetzt die Tangentengleichung aufzustellen rechnet man erst [mm] "m_{t}", [/mm] die Tangentensteigung aus. Dazu habe ich in die Formel
[mm] m_{t}=- x/(r^2-x^2)
[/mm]
die beiden x Werte
[mm] x_{1}= [/mm] 3 und
[mm] x_{2}= [/mm] -4
eingesetzt und habe raus:
für [mm] x_{1}:
[/mm]
[mm] m_{1}= [/mm] 0.75 v [mm] m_{2}= [/mm] -0.75
für [mm] x_{2}:
[/mm]
[mm] m_{3}= [/mm] -4/3 v [mm] m_{4}= [/mm] 4/3
Man bekommt jetzt ja 4 Steigungen raus ... also jeweils zwei für die beiden x-Werte! Bisher kann man aber noch nicht sagen WELCHE Steigungen richtig bzw. falsch sind oder ????
Ich habe jetz weiter gerechnet und den y-Achsenabschnitt (bei mir "b") ausgerechnet und am Ende 4 Geradengleichungen ausgerechnet:
für [mm] x_{1}= [/mm] 3 und [mm] m_{1}= [/mm] 0.75
---> [mm] y_{1}= [/mm] 0.75*x + 7.75
für [mm] x_{1}= [/mm] 3 und [mm] m_{2}= [/mm] -0.75
---> [mm] y_{2}= [/mm] -0.75*x + 6.25
für [mm] x_{2}= [/mm] -4 und [mm] m_{3}= [/mm] -4/3
---> [mm] y_{3}= [/mm] -4/3*x + 17/3
für [mm] x_{2}= [/mm] -4 und [mm] m_{4}= [/mm] 4/3
---> [mm] y_{4}= [/mm] 4/3*x + 25/3
So jetzt habe ich mal überall die Probe gemacht und den Punkt S und den Berührpunkt eingesetzt und habe dann gesehen dass nur
[mm] y_{2}= [/mm] -0.75*x + 6.25 und
[mm] y_{4}= [/mm] 4/3*x + 25/3
richtig sind.
Die Berührpunkte sind dabei bei
[mm] x_{1}= [/mm] 3 --> P(3|4) und bei
[mm] x_{2}= [/mm] -4 --> P(-4|3)
Kann man nicht irgentwie vorher sehen welche Werte man benutzen muss um nicht nacher noch eine Probe zu machen ? Das dauert nämlich ziemlich lange das alles auszurechnen und zu prüfen am Ende!
Zum Beispiel bei den Steigungen kann man da nicht irgentwie sehen welche richtig sind ? Oder auch bei den unterschiedlichen x-Werten, obwohl diesmal beide richtig waren, kann man da nicht vorab sehen ob beide werte oder nur einer richtig ist ?
-> Oder habe ich einfach nur zu kompliziert gerechnet und es gibt noch einen anderen Weg ??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 So 23.11.2008 | | Autor: | marvin8xxl |
Bitte antwortet mir mal ! Ich weiß sonst echt nicht weiter
In unserem Mathebuch ist voll nichts erklärt dazu :(
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Hallo Marvin,
> Ja ich hab meinen Fehler gefunden ...
> habe am Ende dann
> [mm]x^2+x-12=0[/mm]
> raus.
> Das habe ich dann mit der p/q Formel ausgerechnet und dann
> die Werte
>
> [mm]x_{1}=[/mm] 3 und
> [mm]x_{2}=[/mm] -4 raus!
>
> Das ist ja soweit richtig jetzt oda ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
oder 
richtig gerechnet!
>
> jetzt muss ich ja noch die y werte ausrechnen für die
> Berührpunkte und setze dafür [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] in die
> Halbkreisgleichung
> f(x)= [mm]\wurzel{25-x^2}[/mm]
> ein... (soweit richtig?) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann habe ich bei [mm]x_{1}[/mm] raus:
> [mm]y_{1}=[/mm] 4 v [mm]y_{2}=[/mm] -4
>
> und für [mm]x_{2}:[/mm]
> [mm]y_{3}=[/mm] 3 v [mm]y_{4}=[/mm] -3
>
> Dabei entfällt [mm]y_{2}[/mm] und [mm]y_{4}[/mm] weil die y werte ja
> positiv sein müssen! (richtig ?)
>
> Um jetzt die Tangentengleichung aufzustellen rechnet man
> erst [mm]"m_{t}",[/mm] die Tangentensteigung aus. Dazu habe ich in
> die Formel
> [mm]m_{t}=- x/(r^2-x^2)[/mm]
> die beiden x Werte
> [mm]x_{1}=[/mm] 3 und
> [mm]x_{2}=[/mm] -4
> eingesetzt und habe raus:
>
> für [mm]x_{1}:[/mm]
> [mm]m_{1}=[/mm] 0.75 v [mm]m_{2}=[/mm] -0.75
>
> für [mm]x_{2}:[/mm]
> [mm]m_{3}=[/mm] -4/3 v [mm]m_{4}=[/mm] 4/3
>
> Man bekommt jetzt ja 4 Steigungen raus ... also jeweils
> zwei für die beiden x-Werte! Bisher kann man aber noch
> nicht sagen WELCHE Steigungen richtig bzw. falsch sind oder
> ????
Man kann sich an der Skizze klarmachen, dass mit der Lage des Punktes S und den errechneten Berührstellen nur jeweils die eine Steigungsrichtung (fallend oder steigend, also "-" oder "+") in Frage kommen kann
>
> Ich habe jetz weiter gerechnet und den y-Achsenabschnitt
> (bei mir "b") ausgerechnet und am Ende 4 Geradengleichungen
> ausgerechnet:
>
> für [mm]x_{1}=[/mm] 3 und [mm]m_{1}=[/mm] 0.75
> ---> [mm]y_{1}=[/mm] 0.75*x + 7.75
>
> für [mm]x_{1}=[/mm] 3 und [mm]m_{2}=[/mm] -0.75
> ---> [mm]y_{2}=[/mm] -0.75*x + 6.25
>
> für [mm]x_{2}=[/mm] -4 und [mm]m_{3}=[/mm] -4/3
> ---> [mm]y_{3}=[/mm] -4/3*x + 17/3
>
> für [mm]x_{2}=[/mm] -4 und [mm]m_{4}=[/mm] 4/3
> ---> [mm]y_{4}=[/mm] 4/3*x + 25/3
>
>
> So jetzt habe ich mal überall die Probe gemacht und den
> Punkt S und den Berührpunkt eingesetzt und habe dann
> gesehen dass nur
> [mm]y_{2}=[/mm] -0.75*x + 6.25 und
> [mm]y_{4}=[/mm] 4/3*x + 25/3
> richtig sind.
> Die Berührpunkte sind dabei bei
> [mm]x_{1}=[/mm] 3 --> P(3|4) und bei
> [mm]x_{2}=[/mm] -4 --> P(-4|3)
>
> Kann man nicht irgentwie vorher sehen welche Werte man
> benutzen muss um nicht nacher noch eine Probe zu machen ?
> Das dauert nämlich ziemlich lange das alles auszurechnen
> und zu prüfen am Ende!
> Zum Beispiel bei den Steigungen kann man da nicht
> irgentwie sehen welche richtig sind ? Oder auch bei den
> unterschiedlichen x-Werten, obwohl diesmal beide richtig
> waren, kann man da nicht vorab sehen ob beide werte oder
> nur einer richtig ist ?
Wie oben gesagt, immer auf die Skizze schielen ...
> -> Oder habe ich einfach nur zu kompliziert gerechnet und
> es gibt noch einen anderen Weg ??
Das hast du alles sehr gut zusammengerechnet, ich wüsste nicht, wie es kürzer geht
Ich hänge dir mal die Skizze an, die ich gestern dazu gemacht habe, dann war das nicht umsonst
Ist übrigens mit dem sehr netten und kostenlosen Programm ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot gemacht
LG
schachuzipus
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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