Beschränkt und monoton < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Mi 22.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es sei [mm] (x_n)_n \in [/mm] N eine Folge in R. Es gelte
(i) [mm] (x_n)_n \in [/mm] N ist nach oben beschränkt, d.h. es gibt ein M [mm] \in [/mm] R, so dass [mm] x_n \le [/mm] M für alle n [mm] \in [/mm] N.
(ii) [mm] (x_n)_n \in [/mm] N ist monoton steigend, d.h. es gilt x1 [mm] \le [/mm] x2 [mm] \le [/mm] x3 ...
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (x_n)_n \in [/mm] N konvergent ist.
Was passiert, wenn man jeweils eine der beiden Bedingungen
weglässt? |
Hallo.
Ich weiß nicht recht, wie ich die Konvergenz zeigen soll. Der Grenzwert dieser Folge ist doch durch die Beschränktheit [mm] x_n
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] > 0, aber beliebig.
Dann gilt: [mm] |x_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Laut unserer Definition ist a der Grenzwert, der ja aber hier [mm] x_n [/mm] ist. Irgendwie steh ich ziemlich auf dem Schlauch...
Und zu der Frage, was ist, wenn eine der beiden Bedingungen wegfällt.
Wenn (i) wegfällt, kann die Folge divergent werden, wenn wir z.b. eine Folge [mm] (a_n)_n \in [/mm] N haben, wie z.b. [mm] (2^n)_n \in [/mm] N. Die Beschränktheit gibt uns ja quasi einen Grenzwert vor durch ein Supremum.
Bei (ii) bin ich mir etwas unsicher. Wenn (ii) wegfällt, kann man auch monoton fallende Folgen benutzen und das Supremum würde uns da nichts bringen?
Danke schonmal im voraus. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm](x_n)_n \in[/mm] N
[mm] $$(x_n)_{n \in \IN}$$
[/mm]
> eine Folge in R.
[mm] $\IR$!
[/mm]
> Es gelte
>
> (i) [mm](x_n)_n \in[/mm] N ist nach oben beschränkt, d.h. es gibt
> ein M [mm]\in[/mm] R, so dass [mm]x_n \le[/mm] M für alle n [mm]\in[/mm] N.
>
> (ii) [mm](x_n)_n \in[/mm] N ist monoton steigend, d.h. es gilt x1
> [mm]\le[/mm] x2 [mm]\le[/mm] x3 ...
>
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](x_n)_n \in[/mm] N konvergent ist.
> Was passiert, wenn man jeweils eine der beiden Bedingungen
> weglässt?
> Hallo.
>
>
> Ich weiß nicht recht, wie ich die Konvergenz zeigen soll.
> Der Grenzwert dieser Folge ist doch durch die
> Beschränktheit [mm]x_n[/mm]
Bitte? Was soll denn [mm] $x_n$ [/mm] sein? Das [mm] $n\,$-te [/mm] Folgenglied für "sehr großes [mm] $n\,$"? [/mm]
Wenn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nicht gerade ab einem gewissen Index konstant wird,
nehme ich dann einfach ein [mm] $N\,$ [/mm] mit $N > [mm] n\,$ [/mm] und [mm] $x_{N} [/mm] > [mm] x_n$ [/mm] und Du siehst,
dass [mm] $x_n$ [/mm] nicht der Grenzwert ist!
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0, aber beliebig.
>
> Dann gilt: [mm]|x_n[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm]
Für welche [mm] $n\,$? [/mm] Was ist [mm] $a\,$?
[/mm]
> Laut unserer Definition ist a der Grenzwert, der ja aber
> hier [mm]x_n[/mm] ist.
Das macht überhaupt keinen Sinn. Tipp: Definiere Dir [mm] $a:=\sup\{x_n:\;\;n \in \IN\}$ [/mm] und zeige,
dass [mm] $a\,,$ [/mm] also das Supremum der Menge [mm] $\{x_n:\;\;n \in \IN\}\,,$ [/mm] in der Tat der Grenzwert der
Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] ist!
> Irgendwie steh ich ziemlich auf dem
> Schlauch...
>
>
> Und zu der Frage, was ist, wenn eine der beiden Bedingungen
> wegfällt.
>
> Wenn (i) wegfällt, kann die Folge divergent werden, wenn
> wir z.b. eine Folge [mm](a_n)_n \in[/mm] N haben, wie z.b. [mm](2^n)_n \in[/mm]
> N.
Ja, wobei die "bestimmt divergent gegen [mm] $\infty$" [/mm] ist.
> Die Beschränktheit gibt uns ja quasi einen Grenzwert vor durch ein
> Supremum.
Na, wenn ich diesen Satz lese, dann frage ich mich, wieso Du nicht einfach
selbst das [mm] $a\,$ [/mm] wie oben definiert hast? Hier sagst Du doch selber, was
Du als Grenzwert vermutest!
> Bei (ii) bin ich mir etwas unsicher. Wenn (ii) wegfällt,
> kann man auch monoton fallende Folgen benutzen und das
> Supremum würde uns da nichts bringen?
Klar, könntest Du - es sollte dann aber eine nach unten unbeschränkte
monoton fallende sein. Du kannst aber sogar beschränkte, nicht monotone
Folgen betrachten, als einfachstes Beispiel
[mm] $$((-1)^n)_n\,.$$
[/mm]
P.S. Das obige nennt man auch "Hauptsatz über monotone Folgen"!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Mi 22.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
in der Aufgabe ist kein Supremum gegeben, sondern nur eine obere Schranke M.
Der Grenzwert ist mit diesen Angaben nicht zu bestimmen, aber es ist sehr wohl möglich, die Konvergenz zu zeigen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Mi 22.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel,
>
> in der Aufgabe ist kein Supremum gegeben, sondern nur eine
> obere Schranke M.
>
> Der Grenzwert ist mit diesen Angaben nicht zu bestimmen,
> aber es ist sehr wohl möglich, die Konvergenz zu zeigen.
Hallo Reverend,
ist [mm] (x_n) [/mm] nach oben beschränkt und wachsend, so konv. [mm] (x_n) [/mm] gegen a:=sup [mm] \{ x_n: n \in \IN\}.
[/mm]
Um dieses a kommt man im Beweis nicht herum !!!
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mi 22.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> ist [mm](x_n)[/mm] nach oben beschränkt und wachsend, so konv.
> [mm](x_n)[/mm] gegen a:=sup [mm]\{ x_n: n \in \IN\}.[/mm]
>
> Um dieses a kommt man im Beweis nicht herum !!!
Das ist klar. Mir ging es darum, dass das a nicht gegeben ist. Man muss also seine Existenz zeigen.
Am einfachsten m.E. per Widerspruchsbeweis: nehmen wir an, es gebe kein solches a...
Grüße
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 22.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Na wenn es kein solches a gibt, gibt es auch keine konvergente Folge.
Das versteh ich, aber ich weiß nur nicht, wie ich es zeigen soll.
Kann ich Bedingung 1 und Bedingung 2 für den Widerspruchsbeweis zusammenfassen? Mein a ist ja eigentlich das M, wenn ich das nicht ganz falsch sehe. (i) sagt mir ja, es gibt ein größtes Element.
Und (ii) sagt mir ja, dass die Folge monoton wachsend ist, mit (i) aber gibt es ja dann irgendwann einen Stop, damit die Folge konvergent ist.
[mm] x_1\le x_2 \le [/mm] ... [mm] \le x_n \le [/mm] M
Gäbe es kein M, würde die Folge immer weiter wachsen:
Also [mm] x_1 \le x_2 \le [/mm] ... [mm] \le x_n \le x_n+1 \le [/mm] ...
und wäre somit divergent.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mi 22.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] (x_n) [/mm] nach oben beschränkt und wachsend. Setze a:=sup [mm] \{x_n: n \in \IN \}
[/mm]
Nun sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] $x_N> [/mm] a- [mm] \varepsilon$
[/mm]
Für n >N ist dann
a- [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] x_N \le x_n \le [/mm] a [mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Na wenn es kein solches a gibt, gibt es auch keine
> konvergente Folge.
?? Ich ahne, was Du sagen willst, aber benutze dann auch die richtigen
Worte:
"Hätte die Menge kein Supremum..."
> Das versteh ich, aber ich weiß nur nicht, wie ich es
> zeigen soll.
Das hat Fred ja nun i.W. vorgemacht!
>
> Kann ich Bedingung 1 und Bedingung 2 für den
> Widerspruchsbeweis zusammenfassen?
Du brauchst keinen Widerspruchsbeweis. Für was? Das [mm] $a\,$ [/mm] kannst Du
bedenkenlos so definieren, wie ich es getan habe. Reverends Einwand ist
insofern richtig, dass er ja sagen kann: "Aber Hallo, moment mal: Wer sagt
uns denn, dass diese Menge da überhaupt ein Supremum hat?"
Dazu haben ich und Fred Fred und ich (jaja: "ich und der Esel..." hätte
meine Deutschlehrerin jetzt bei dem Durchgestrichenen gesagt) nun was
gesagt!
> Mein a ist ja eigentlich
> das M, wenn ich das nicht ganz falsch sehe.
Das siehst Du leider absolut falsch: Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nach oben beschränkt und ist
[mm] $M\,$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $(x_n)_n\,,$ [/mm] so ist mit jedem $M' > [mm] M\,$ [/mm] auch [mm] $M'\,$
[/mm]
obere Schranke für [mm] $(x_n)_n\,.$ [/mm] Du müsstest mit dieser Sichtweise quasi
die Menge der oberen Schranken dieser Folge "infimieren" (kann man vielleicht
sogar "minimieren" sagen? Denk' mal drüber nach...)!
P.S. Beispiele: [mm] $((1-1/n))_n$ [/mm] wächst streng monoton gegen [mm] $1\,,$ [/mm] ist aber auch
durch [mm] $M=2\,$ [/mm] nach oben beschränkt!
[mm] ${((1+1/n)^n)}_n$ [/mm] ist durch 3 nach oben beschränkt und wächst streng monoton
gegen $e=2,7... < [mm] 3\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Mi 22.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > ist [mm](x_n)[/mm] nach oben beschränkt und wachsend, so konv.
> > [mm](x_n)[/mm] gegen a:=sup [mm]\{ x_n: n \in \IN\}.[/mm]
> >
> > Um dieses a kommt man im Beweis nicht herum !!!
>
> Das ist klar. Mir ging es darum, dass das a nicht gegeben
> ist. Man muss also seine Existenz zeigen.
> Am einfachsten m.E. per Widerspruchsbeweis: nehmen wir an,
> es gebe kein solches a...
Nein. Wir setzen (!) a:=sup $ [mm] \{ x_n: n \in \IN\}. [/mm] $.
Dann zeigt man: ist [mm] \varepsilon>0, [/mm] so ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] |x_n-a|< \varepsilon [/mm] für n>N.
Gruß FRED
>
> Grüße
> rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mi 22.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
wir reden offenbar aneinander vorbei.
> > > ist [mm](x_n)[/mm] nach oben beschränkt und wachsend, so konv.
> > > [mm](x_n)[/mm] gegen a:=sup [mm]\{ x_n: n \in \IN\}.[/mm]
> > >
> > > Um dieses a kommt man im Beweis nicht herum !!!
> >
> > Das ist klar. Mir ging es darum, dass das a nicht gegeben
> > ist. Man muss also seine Existenz zeigen.
> > Am einfachsten m.E. per Widerspruchsbeweis: nehmen wir
> an,
> > es gebe kein solches a...
>
>
> Nein. Wir setzen (!) a:=sup [mm]\{ x_n: n \in \IN\}. [/mm].
>
> Dann zeigt man: ist [mm]\varepsilon>0,[/mm] so ex. ein N [mm]\in \IN[/mm]
> mit:
>
> [mm]|x_n-a|< \varepsilon[/mm] für n>N.
Auch das ist mir klar. Nur muss man halt die Existenz des Supremums nicht nur annehmen, sondern zeigen. Das ist ja nicht schwer (wenn es kein Supremum gäbe, gäbe es auch keine andere obere Schranke), aber ein logisch nötiger Schritt.
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Mi 22.05.2013 | | Autor: | reverend |
Dass ich das so monoton vortrage, liegt natürlich daran, dass ich (vor allem nach oben) ziemlich beschränkt bin.
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Mi 22.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> wir reden offenbar aneinander vorbei.
>
> > > > ist [mm](x_n)[/mm] nach oben beschränkt und wachsend, so konv.
> > > > [mm](x_n)[/mm] gegen a:=sup [mm]\{ x_n: n \in \IN\}.[/mm]
> > > >
> > > > Um dieses a kommt man im Beweis nicht herum !!!
> > >
> > > Das ist klar. Mir ging es darum, dass das a nicht
> gegeben
> > > ist. Man muss also seine Existenz zeigen.
> > > Am einfachsten m.E. per Widerspruchsbeweis: nehmen
> wir
> > an,
> > > es gebe kein solches a...
> >
> >
> > Nein. Wir setzen (!) a:=sup [mm]\{ x_n: n \in \IN\}. [/mm].
> >
> > Dann zeigt man: ist [mm]\varepsilon>0,[/mm] so ex. ein N [mm]\in \IN[/mm]
>
> > mit:
> >
> > [mm]|x_n-a|< \varepsilon[/mm] für n>N.
>
> Auch das ist mir klar. Nur muss man halt die Existenz des
> Supremums nicht nur annehmen, sondern zeigen. Das ist ja
> nicht schwer (wenn es kein Supremum gäbe, gäbe es auch
> keine andere obere Schranke), aber ein logisch nötiger
> Schritt.
Hallo rev,
wir müssen die Existenz des Supremuns nicht zeigen, denn die ist axiomatisch festgklopft im Supremumsaxiom. Und zwar völlig egal, wie man die reellen Zahlen einführt, irgenwann kommt man zum folgenden Punkt:
ist M eine nichtleere, nach oben beschränkte , Menge reeller Zahlen, so besitzt M eine kleinste obere Schranke.
Erst damit ist man in der Lage, Grenzprozesse zu betrachten, den aus obigem folgt das Archimedische Prinzip:
[mm] \IN [/mm] ist nicht nach oben beschränkt.
( denn [mm] \IN [/mm] ist eine Induktionsmenge , und zwar die kleinste).
Aus diesem Prinzip folgt:
(*) ist [mm] \varepsilon [/mm] >0, so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: 1/N< [mm] \varepsilon [/mm] .
Ohne (*) kannst Du alles, was mit Grenzwerten zu tun hat, vergessen !
So, nun haben wir eine nach oben beschränkte Folge [mm] (x_n). [/mm] Dann ist ihre Wertemenge M nicht leer und nach oben beschränkt.
Das Supremumsaxiom liefert die Existenz von sup(M)
Herzlichst FRED
>
> Grüße
> rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mi 22.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend!
> Hallo Fred,
>
> > ist [mm](x_n)[/mm] nach oben beschränkt und wachsend, so konv.
> > [mm](x_n)[/mm] gegen a:=sup [mm]\{ x_n: n \in \IN\}.[/mm]
> >
> > Um dieses a kommt man im Beweis nicht herum !!!
>
> Das ist klar. Mir ging es darum, dass das a nicht gegeben
> ist.
Deswegen wird es definiert!
> Man muss also seine Existenz zeigen.
Das ist richtig, ansonsten hätte man evtl. Unsinn definiert!
> Am einfachsten m.E. per Widerspruchsbeweis: nehmen wir an,
> es gebe kein solches a...
Nein, viel einfacher: [mm] $\{x_n:\;\; n \in \IN\}$ [/mm] ist nach Voraussetzung eine nach oben beschränkte
Teilmenge reeller Zahlen, und wegen der Vollständigkeit von [mm] $\IR$ [/mm] hat diese
Menge daher ein Supremum! (Du kannst auch das Schnittaxiom hernehmen...)
Edit: Achja, die Nichtleerheit von [mm] $\{x_n:\;\; n \in \IN\}$ [/mm] sollte ich auch erwähnen, auch,
wenn sie trivial ist...
Ansonsten:
![[]](/images/popup.gif) https://de.wikipedia.org/wiki/Supremum
P.S. Satz 5.12
Gruß,
Marcel
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