Beschränkte monot. Folge konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 So 06.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend zusammen!
Ich habe eine Frage zu dem Beweis des Satues, dass jede beschränkte monotone Folge [mm] (a_n) [/mm] reeller Zahlen konvergiert.
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Beweis: Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (a_{n_{k}}). [/mm] Sei a der Limes dieser Teilfolge. Wir zeigen, dass auch die gesamte Folge gegen a konvergiert. Dabei setzen wir voraus, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] monoton wächst; für monoton fallende Folgen geht der Beweis analog.
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 vorgegeben. Dann existiert ein [mm] k_0 \in \IN, [/mm] so dass
| [mm] a_{n_{k}} [/mm] - a | < [mm] \epsilon [/mm] für alle k [mm] \ge k_0.
[/mm]
Sei [mm] N:=a_{n_{k_{0}}}. [/mm] Zu jedem n [mm] \ge [/mm] N gibt es ein k [mm] \ge k_0 [/mm] mit [mm] n_k \le [/mm] n [mm] \le n_{k+1}. [/mm] Da die Folge [mm] (a_n) [/mm] monoton wächst, folgt daraus
[mm] a_{n_{k}} \le a_n \le a_{n_{k+1}} \le [/mm] a,
also [mm] |a_n [/mm] - a| [mm] \le |a_{n_{k}} [/mm] - a| < [mm] \epsilon.
[/mm]
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Zuerst einmal verstehe ich den Satz "Sei [mm] N:=a_{n_{k_{0}}}. [/mm] Zu jedem n [mm] \ge [/mm] N gibt es ein k [mm] \ge k_0 [/mm] mit [mm] n_k \le [/mm] n [mm] \le n_{k+1}" [/mm] nicht.
Könnt ihr mir das irgendwie verständlich machen?
Würde mich sehr freuen! 
Viele Grüße,
X3nion
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> Guten Abend zusammen!
>
> Ich habe eine Frage zu dem Beweis des Satues, dass jede
> beschränkte monotone Folge [mm](a_n)[/mm] reeller Zahlen
> konvergiert.
>
> ---
>
> Beweis: Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die
> Folge [mm](a_n)[/mm] eine konvergente Teilfolge [mm](a_{n_{k}}).[/mm] Sei a
> der Limes dieser Teilfolge. Wir zeigen, dass auch die
> gesamte Folge gegen a konvergiert. Dabei setzen wir voraus,
> dass die Folge [mm](a_n)[/mm] monoton wächst; für monoton fallende
> Folgen geht der Beweis analog.
>
> Sei [mm]\epsilon[/mm] > 0 vorgegeben. Dann existiert ein [mm]k_0 \in \IN,[/mm]
> so dass
>
> | [mm]a_{n_{k}}[/mm] - a | < [mm]\epsilon[/mm] für alle k [mm]\ge k_0.[/mm]
>
> Sei [mm] N:=a_{n_{k_{0}}}.
[/mm]
Dies muss mit Sicherheit heißen: Sei [mm] N:=n_{k_{0}} [/mm] - ohne das a.
> Zu jedem n [mm]\ge[/mm] N gibt es ein k [mm]\ge k_0[/mm]
> mit [mm]n_k \le[/mm] n [mm]\le n_{k+1}.[/mm] Da die Folge [mm](a_n)[/mm] monoton
> wächst, folgt daraus
>
> [mm]a_{n_{k}} \le a_n \le a_{n_{k+1}} \le[/mm] a,
>
> also [mm]|a_n[/mm] - a| [mm]\le |a_{n_{k}}[/mm] - a| < [mm]\epsilon.[/mm]
>
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>
> Zuerst einmal verstehe ich den Satz "Sei [mm]N:=a_{n_{k_{0}}}.[/mm]
> Zu jedem n [mm]\ge[/mm] N gibt es ein k [mm]\ge k_0[/mm] mit [mm]n_k \le[/mm] n [mm]\le n_{k+1}"[/mm]
> nicht.
>
> Könnt ihr mir das irgendwie verständlich machen?
> Würde mich sehr freuen!
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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Nun mal vernünftig erklärt:
Wenn eine monotone Teilfolge gegen a konvergiert, könnte es theoretisch sein, dass eine andere Teilfolge gegen [mm] b\ne [/mm] a konvergiert. Es soll bewiesen werden, dass das nicht geht.
Angenommen, eine monotone beschränkte Teilfolge [mm] a_m [/mm] konvergiert gegen a, wobei der Index m eine steigende Folge natürlicher Zahlen ist, von denen auch welche übersprungen werden können (z.B. [mm] a_3, a_7,a_8, a_{123},...). [/mm]
Zu vorgegebenem $ [mm] \epsilon [/mm] $ ist dann ab irgendeinem Index N für alle i>N der Wert [mm] |a_{m_i} [/mm] - a|<$ [mm] \epsilon$.
[/mm]
Nun liegen alle [mm] a_n [/mm] der Gesamtfolge, die jetzt noch kommen, zwischen irgendwelchen [mm] a_{m_i} [/mm] und [mm] a_{m_{i+1}}. [/mm] Für diese gilt wegen der Monotonie:
[mm] a_{m_i} \le a_n \le a_{m_{i+1}} \le [/mm] a
und deshalb
[mm] |a_n [/mm] - a| [mm] \le |a_{m_i} [/mm] - a|<$ [mm] \epsilon$.
[/mm]
Dabei garantiert erst der Teil [mm] a_n \le a_{m_{i+1}} [/mm] wegen [mm] a_{m_{i+1}} \le [/mm] a, dass [mm] a_n \le [/mm] a bleibt, denn sonst könnte [mm] |a_n [/mm] - a| >$ [mm] \epsilon$ [/mm] werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 So 06.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo,
danke für die Antwort!
Ja natürlich müsste es heißen N:= [mm] n_{k_{0}}.
[/mm]
Und es sollte auch heißen "existiert mit [mm] n_k \le [/mm] n < [mm] n_{k+1}.
[/mm]
Ich verstehe die Aussage immer noch nicht so ganz, wieso zu jedem n [mm] \ge [/mm] N ein k [mm] \ge k_0 [/mm] existiert mit [mm] n_k \le [/mm] n [mm] \le n_{k+1} [/mm] .
Kann ich es mir so vorstellen, dass aufgrund der Relation [mm] n_0 [/mm] < [mm] n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < ... ich auf jeden Fall jede natürliche Zahl "n" zwischen zwei benachbarten [mm] n_k [/mm] "einzwingen" kann?
VG X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Mo 07.11.2016 | | Autor: | chrisno |
kurz: ja
"einzwingen" ist etwas hart. Es steht dort [mm] $\le$. [/mm]
Im engsten Fall ist [mm] $n_{k+1} [/mm] = [mm] n_k [/mm] +1$. Dann geht es eben mit $n = [mm] n_k$ [/mm] weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi chrisno,
>
> danke für die Antwort, nun habe ich es verstanden
>
> Ja einzwingen ist wirklich etwas hart ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
>
> Eine Frage habe ich noch:
>
> 1) Es steht im Beweis, dass es zu jedem n [mm]\ge[/mm] N ein k [mm]\ge k_0[/mm]
> gibt, sodass [mm]n_k \le[/mm] n < [mm]n_{k+1}[/mm] gilt.
> Aber dies gilt ja nicht nur für n [mm]\ge[/mm] N, sondern ja
> allgemein für alle n, dass ich sie zwischen ein [mm]n_k[/mm] und
> [mm]n_{k+1}[/mm] setzen kann, sodass [mm]n_k \le[/mm] n < [mm]n_{k+1}[/mm] gilt, oder?
klar, aber man will ja doch was über [mm] $a_n$ [/mm] danach aussagen, bzw. über [mm] $|a_n-a|$:
[/mm]
Da steht sowas wie: Aus
[mm] $a_{n_{k}} \le a_n \le a_{n_{k+1}} \le [/mm] $ a,
kann man dann
[mm] $|a_n-a|=a-a_n [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
erkennen.
> Dann wäre halt auch ggf. k < [mm]k_0[/mm]
Dann wäre aber nicht notwendig [mm] $|a_{n_k}-a|=a-a_{n_k} [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm] Hast Du Dir
nochmal hingeschrieben, was man eigentlich zeigen will?
Man will zeigen: Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N(\epsilon) \in \IN$ [/mm] so, dass
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ schon gilt: [mm] $|a_n [/mm] -a| < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Wie fangen solche Beweise an? Man nehme ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ her, und es sei beliebig,
aber fest (das [mm] $\epsilon$ [/mm] wird nicht konretisiert, nur seine Eigenschaft [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ist halt
wichtig).
Nun gilt es, zu zeigen: Wir können ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] so finden/angeben/dessen Existenz
begründen, dass FÜR ALLE $n [mm] \ge [/mm] N$ schon [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] gelten muss.
Das ist quasi die Definition "der Konvergenz der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen (den
Grenzwert) [mm] $a\,$".
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 07.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hey Marcel,
danke für deinen Beitrag
Jap das meine ich insgesamt schon verstanden zu haben, nur ich hatte gefragt, ob die Abschätzung [mm] n_k \le [/mm] n < [mm] n_{k+1} [/mm] auch allgemein gilt, also unabhängig von einem Index [mm] k_0.
[/mm]
...
Da die Teilfolge gegen a konvergiert, gibt es zu jedem vorgegebenen [mm] \epsilon [/mm] > 0 einen ersten Index [mm] k_0 [/mm] der Teilfolge, sodass [mm] |a_{n_{k}} [/mm] - a| < [mm] \epsilon [/mm] für alle k [mm] \ge k_0.
[/mm]
Nun setzt man N:= [mm] n_{k_{0}}, [/mm] also der Index von [mm] (a_n), [/mm] dem [mm] n_{k_{0}} [/mm] entspricht.
Jetzt kann man zu jedem Folgenindex n von der Folge [mm] (a_n), [/mm] der noch kommt, also für n [mm] \ge [/mm] N ein k [mm] \ge k_0 [/mm] finden, sodass [mm] n_k \le [/mm] n < [mm] n_{k+1}.
[/mm]
Diese Abschätzung führt zusammen mit der Monotonie von [mm] (a_n) [/mm] zur Abschätzung [mm] a_{n_{k}} \le a_n \le a_{n_{k+1}} \le [/mm] a
Wenn ich jetzt [mm] |a_n [/mm] - a| betrachte, so ist dies [mm] \le |a_{n_{k}} [/mm] - a|, denn [mm] a_{n_{k}} \le a_n [/mm] und somit die Differenz [mm] |a_{n_{k}} [/mm] - a| [mm] \ge [/mm] die Differenz [mm] |a_n [/mm] - a|
Wichtig ist in diesem Zusammenhang, dass ich k [mm] \ge k_0 [/mm] betrachte, denn für k [mm] \ge k_0 [/mm] habe ich oben die Abschätzung [mm] |a_{n_{k}} [/mm] - a| < [mm] \epsilon, [/mm] sowie alle Folgenglieder [mm] (a_n) [/mm] mit Index n [mm] \ge [/mm] N betrachte, um sicher zu gehen, dass auch alle noch kommenden Folgenglieder von einem [mm] n_{k} [/mm] und [mm] n_{k+1} [/mm] mit k [mm] \ge k_0 [/mm] eingeschlossen werden können.
...
Wäre mein Gedankengang soweit richtig!
VG X3nion
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> Jap das meine ich insgesamt schon verstanden zu haben, nur
> ich hatte gefragt, ob die Abschätzung [mm]n_k \le[/mm] n < [mm]n_{k+1}[/mm]
> auch allgemein gilt, also unabhängig von einem Index [mm]k_0.[/mm]
>
Du findest zu jedem $ n [mm] \ge n_{k_0} [/mm] $ ein $ k [mm] \ge k_0 [/mm] $ so dass $ [mm] n_k \le [/mm] n < [mm] n_{k+1}$
[/mm]
Ich weiß nicht, was du mit "allgemein" meinst, aber für alle $ k [mm] \ge k_0 [/mm] $ liegen die Folgenglieder $ [mm] a_{n_{k}}$ [/mm] unsauber ausgedrückt "sehr dicht zusammen". So dicht, dass du zu jedem $ [mm] \varepsilon$, [/mm] egal wie klein es noch sein mag, einen Index $ [mm] k_0$ [/mm] finden kannst, ab dem alle bis auf endlich viele Folgenglieder in der $ [mm] \varepsilon$-Umgebung [/mm] liegen um den Grenzwert $a$ herum liegen.
Deswegen kannst du zu jedem $n [mm] \ge n_{k_0} [/mm] $ ein Folgenlied deiner Folge $ [mm] (a_n) [/mm] $ finden, so dass $ [mm] n_k \le [/mm] n < [mm] n_{k+1}$
[/mm]
Hilft dir das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Di 08.11.2016 | | Autor: | X3nion |
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 08.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi ChopSuey,
danke für deine Antwort!
Ich hätte es mir so erklärt:
Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Da die Teilfolge [mm] (a_n_k) [/mm] gegen a konvergiert, existiert ein erster Index [mm] k_0, [/mm] sodass [mm] |a_n_k [/mm] - a| < [mm] \epsilon \forall [/mm] k [mm] \ge k_0.
[/mm]
Nun muss ich irgendeinen Zusammenhang finden für die restlichen, noch kommenden Folgenglieder meiner Folge [mm] (a_n) [/mm] und der Teilfolge [mm] (a_n_k).
[/mm]
Bedingung muss sein, dass k [mm] \ge k_0 [/mm] ist, dann für diese k befindet sich die Teilfolge in der [mm] \epsilon [/mm] Umgebung von a.
Dabei kann ich nur die Folgenglieder [mm] (a_n) [/mm] mit n [mm] \ge n_k_{0} [/mm] betrachten, denn für n < [mm] n_k_{0} [/mm] befindet sich die Folge [mm] {a_n_k} [/mm] noch nicht in der [mm] \epsilon-Umgebung.
[/mm]
Die entscheidende Abschätzung ist nun, dass man für die noch kommenden Indizes n [mm] \ge n_k_{0} [/mm] der Folge [mm] (a_n) [/mm] eine Abschätzung vollziehen kann mit [mm] n_k \le [/mm] n < [mm] n_{k+1}, [/mm] wobei k [mm] \ge k_0.
[/mm]
Aufgrund dieser Abschätzung und der Bedingung, dass k [mm] \ge k_0 [/mm] ist, folgt wegen der Monotonie von [mm] (a_n) [/mm] die Abschätzung
[mm] a_{n_{k}} \le a_n \le a_{n_{k+1}} \le [/mm] a
und somit [mm] |a_n [/mm] - a| [mm] \le |a_n_k [/mm] - a| < [mm] \epsilon.
[/mm]
Für k [mm] \ge k_0 [/mm] befinden sich also alle noch kommenden Folgenglieder [mm] (a_n) [/mm] mit n [mm] \ge n_k_{0} [/mm] in der [mm] \epsilon [/mm] Umgebung von [mm] a_n_{k} [/mm] und a.
Wäre das so in Ordnung?
VG X3nion
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Ich denke du meinst das Richtige. Ich bin nicht sicher, ob ich es verstehen würde, wenn ich nicht wüsste, worum es geht bzw was gemeint ist aber wichtig ist, dass du durchblickst. Versuch' dich trotzdem eher am Stil vom Forster zu orientieren und nicht zu sehr auszuschweifen.
Du wirst auch im Laufe der Zeit ein etwas besseres Gefühl für die $ [mm] \varepsilon$-Beweismethoden [/mm] entwickeln.
Bedenke dass bei $ [mm] n_{k} [/mm] < n < [mm] n_{k+1}$ [/mm] gesagt wird, dass man zu jedem $n [mm] \ge [/mm] N $ ein $ k $ findet, so dass die Ungleichung gilt. Damit ist gemeint, dass wenn du mir ein bestimmtes $ n $ vorgibst, ich immer Indizes $ k$ finden kann, so dass $ [mm] n_{k} [/mm] < n < [mm] n_{k+1}$ [/mm]
LG
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:04 Mi 09.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Jap das habe ich jetzt verstanden, danke euch allen für eure Hilfestellungen!! :))
Lg X3nion
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