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Beschränktes Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 So 30.03.2008
Autor: Paule1991

Aufgabe
siehe unten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.  

Hallo Leute!
ich sitz hier bisschen verzweifelt an einer Matheaufgabe
und zwar:
Es geht um das wachstum von bakterien
Startwert: 100 bakterien!
aller 40 minuten verdoppelt sich die Menge der Bakterien.
damit düfte die gleichung folgendermaßen sein:

f(x)=100*e^(1.5*ln(2)*t)

für t= 3 müsste 2262 bakterein rauskommen oder?

t ist die Zeit in Stunden

dann der zweite Teil der aufgabe:
Nach 3 stunden beginnt sich das Wachstum der Bakterein zu Verlangsamen. Und zwar um 1/3 pro stunde.
Ich soll die Wachstumgeschwindigkeit rausbekommen
Muss man da die erste Ableitung bilden?
wenn ja ist das so richtig?
für t =3:
f´(t=3)=100*1.5*ln(2)*e^((1.5)*ln(2)*3) = 2352.62 bakteiren pro Stunde

für t>3

f'(t)=2352*e^((ln2/3)*(t-3))

stimmt das?

dann zu Teilaufgabe c)..da weiß ich nicht weiter.
Es gilt weiterhin, dass nach 3 stunden beginnt sich das Wachstum der Bakterein zu Verlangsamen beginnt. Und zwar um 1/3 pro stunde.

Ich muss die Anzahl der Bakterien zur Zeit t>3 ermitteln. Und dann ausrechenen nach welcher Zeit (t) die Wachstumsgeschwindigkeit auf auf 20% des Ursprünglichen vorhandenen (d.h.zur zeit t=0) Wertes abgesunken.
Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte!
mfg, paul
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Beschränktes Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:50 So 30.03.2008
Autor: steppenhahn


> [mm]f(t)=100*e^{\bruch{3*\ln(2)}_{2}*t}[/mm]

Ist richtig [ok], aber nur wenn du entweder f(t) schreibst oder deine Variable ein x wird :-) Ich habs mal auf f(t) umgeändert.

> für t= 3 müsste 2262 bakterein rauskommen oder?

Gerundet eher 2263, aber die letzte ist ja noch gar nicht richtig entstanden, also stimmt dein Ergebnis :-)

> Nach 3 stunden beginnt sich das Wachstum der Bakterein zu
> Verlangsamen. Und zwar um 1/3 pro stunde.
> Ich soll die Wachstumgeschwindigkeit rausbekommen

Deine Funktion gibt dir die Anzahl der Bakterien an. Logischerweise gibt dann die Ableitung an einer beliebigen Stelle an, wie stark das Wachstum gerade steigt, also die Momentan-Geschwindigkeit. Deine Vermutung

> Muss man da die erste Ableitung bilden?

ist demzufolge richtig.

> für t =3:

Wenn in deiner Aufgabe steht, du sollst die Wachstumsgeschwindigkeit nach 3 Stunden bestimmen, ist die folgende Rechnung richtig :-)

> f´(t=3)=100*1.5*ln(2)*e^((1.5)*ln(2)*3) = 2352.62 bakteiren
> pro Stunde

[ok].

Ich finde die weitere Aufgabe etwas verwirrend. Es wäre daher gut, wenn du nochmal den genauen Aufgabentext schreiben könntest.


Bezug
                
Bezug
Beschränktes Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 So 30.03.2008
Autor: Paule1991

Aufgabe
Die Orginbalaufgabestellung ist als anhang beigefügt worden. Viele dank für deine Hilfe schon steppenhahn!

Wäre schön wenn du mir noch was zu aufgabe c),und d) sagen könntest!!
Graßen zeichnen brauch ich nicht.
mfg
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Bezug
Beschränktes Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 So 30.03.2008
Autor: steppenhahn

So.

Hab erstmal die Aufgabe verstanden :-)
Ich denke, dass die Aufgabensteller die wesentlich verständlicher formulieren hätten können. Aber gut, zur Aufgabe:

Du hast es richtig gemacht: Die Ableitungsfunktion verändert sich dann folgendermaßen:

[mm]f'(t) = 2352*e^{\ln\left(\bruch{2}{3}\right)*(t-3)}[/mm]

Allerdings würde ich zumindest dort exakte Werte nehmen :-) :

[mm]f'(t) = 2400*\ln(2)*\wurzel{2}*e^{\ln\left(\bruch{2}{3}\right)*(t-3)}[/mm]

Zu c)

Wir kennen die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t = 3: Dann sind es nämlich 2262 Bakterien.

Wir haben nun die Wachstumsgeschwindigkeit für t>3 schon gegeben: Das ist unsere Ableitungsfunktion aus b)

[mm]f'(t) = 2352*e^{\ln\left(\bruch{2}{3}\right)*(t-3)}[/mm]

Wenn wir nun die richtige Funktion haben wollen, müssen wir doch von dieser Wachstumsfunktion eine Stammfunktion bilden.
Dann müssen wir noch dafür sorgen, dass diese von uns berechnete Stammfunktion gefälligst auch bei t = 3 den Wert 2262 annimmt.

[mm] \to [/mm] Und schon haben wir die Anzahl der Bakterien für t > 3.

Die ganzen Laberaufgaben kannst du dann denk ich, die nächste wäre die mit den 20%:

Berechne f'(0) (wohlbemerkt mit unserer alten f'(t) - Funktion.)
Die Ableitung für t > 3 kennst du. Es ergibt sich eine Gleichung der Form

[mm]f'(t) = 2352*e^{\ln\left(\bruch{2}{3}\right)*(t-3)}[/mm] = SteigungAnStelle0

Diese Gleichung gilt es nach t umzustellen.

Rechne erstmal ein bisschen, ich überlege mit noch was für d) (falls es nicht ein andere tut :-))
Bezug
                                
Bezug
Beschränktes Wachstum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 So 30.03.2008
Autor: Paule1991

ok ich habe folgende raus!!
hab zuvor nie was mit Integralen gemacht..zum glück kann mein taschenrechner das :-)
c)
f(x)= 2263+(2352/ln(3/2))*(1-e^-(ln(3/2)*(t-3)))
für t >3
stimmt das?

und dann für diese 20% der Wachstumsgeschwindigkeit:
f´(0)=103.972

103.972*0.2=2352*e^((ln2/3)*(t-3))
nach t umstellen
komm ich auf
t= 14.66 Stunden
stimmt das?

zu d) da hab ich schon was. könntest ja bitte noch mal gucken ob das so geht!
also:
ich hab meine rechnerreien mal mithochgeladen.

wäre dankbar wenn du das nochmal durchgucken könntet!
mfg paule
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PDF) [nicht öffentlich]
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Beschränktes Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 So 30.03.2008
Autor: buddha

f´(0)=103.972

20% = 20,794


(Wachstumsgeschwindigkeit [mm] T3)*(2/3)^T [/mm] = 20,794

Das wachstum an der stelle T3 war =

F'(3) = 2352.62 bakteiren

=> 2352.62 * [mm] (2/3)^T [/mm] = 20.794

[mm] (2/3)^t=0,008838 [/mm]

ln(0.008838)/ln(2/3) = 11.6622


So würde ich es lösen

D.h. 11.66 stunden nach T3 => 14.66 H nach T0=> du hast recht :)
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