Beschränktheit einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Mi 18.11.2009 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Es ist folgende Folge definiert:
an := [mm] (1-1/2)*(1-(1/4)*...*(1-1/2^n) [/mm] |
Ich würde geren wissn, wie ich jetzt rein formal zeige, dass die Folge bschränkt ist. Denn es ist ja offentsichtlich, dass die Folge gegen Null konvergiert und somit beschränt ist.
Dafürmüsste ich ja zeigen, dass an>= 0 gilt.
Wie mache ich das?!
Ich bitte um schnelle Antwort, da das Problem sehr dringend ist! Danke im voraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mi 18.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
naja ich hab mir noch nicht mehr dazu überlegt, aber ich würd mal sagen das (1 - 1/ [mm] 2^n) [/mm] sollte man anderst schreiben:
(1 - 1/2) = 1/2
(1 - 1/4) = 3/4
...
dann kannst du einfacher weiterrechnen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 18.11.2009 | | Autor: | LariC |
Ja, dass war mir kler - ich wüsste nur gerne, wie ich beweíse, dass diese Folge mit 0 beschränkt ist ?! Trotzdem danke...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mi 18.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass die folge nicht negativ ist ist klar, also ist sie durch 0 nach unten beschränkt.
dass ie kleiner 1/2 ist sollte dir auch keine Schwierigkeiten machne, da du alle ausser dem 1. glied auf 1 vergrössern kannst.
also hast du die Beschränktheit nach oben.
monoton fallend ist auch nicht schwer.
GW. musst du ein N finden, sodass die Folge < [mm] \epsilon [/mm] ist. oder das jeder Wert >0 irgendwann unterschritten wird.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
nur zur Ergänzung bzw. um Missverständnissen vorzubeugen:
> Hallo
> dass die folge nicht negativ ist ist klar, also ist sie
> durch 0 nach unten beschränkt.
> dass ie kleiner 1/2 ist sollte dir auch keine
> Schwierigkeiten machne, da du alle ausser dem 1. glied auf
> 1 vergrössern kannst.
> also hast du die Beschränktheit nach oben.
> monoton fallend ist auch nicht schwer.
> GW. musst du ein N finden, sodass die Folge < [mm]\epsilon[/mm]
> ist.
sofern der GW [mm] $0\,$ [/mm] ist. Ferner muss i.a. auch der Betrag des Folgenglieds betrachtet werden.
> oder das jeder Wert >0 irgendwann unterschritten
> wird.
Ich würde hier erstmal mit dem Hauptsatz über monotone Folgen zeigen, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert. Ich wäre hier übrigens etwas vorsichtig damit, zu behaupten, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] wirklich eine Nullfolge ist...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es ist folgende Folge definiert:
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> an := [mm](1-1/2)*(1-(1/4)*...*(1-1/2^n)[/mm]
> Ich würde geren wissn, wie ich jetzt rein formal zeige,
> dass die Folge bschränkt ist. Denn es ist ja
> offentsichtlich, dass die Folge gegen Null konvergiert und
> somit beschränt ist.
wieso soll die Konvergenz dieser Folge offensichtlich sein? Die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit
[mm] $$x_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\;\;\;(n \in \IN)$$
[/mm]
konvergiert auch, aber gegen etwas komplett anderes als [mm] $0\,.$ [/mm] Bitte sei vorsichtig(er) bei Folgen, bei denen die Anzahl der Summanden/Faktoren mit dem Folgeglied (mit ansteigendem Index) mitansteigt! Das sind nachher unendliche Summen/Produkte!
> Dafürmüsste ich ja zeigen, dass an>= 0 gilt.
Das würde nur zeigen, dass Deine obige Folge durch [mm] $0\,$ [/mm] nach unten beschränkt ist.
> Wie mache ich das?!
Die Beschränktheit Deiner obigen Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit
[mm] $$a_n=\produkt_{k=1}^n \left(1-\frac{1}{2^k}\right)\;\;\;(n \in \IN)$$
[/mm]
ist banal:
Da für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] das Folgeglied [mm] $a_n$ [/mm] als Produkt von [mm] $n\,$ [/mm] reellen Zahlen, die alle zwischen [mm] $0\,$ [/mm] und [mm] $1\,$ [/mm] liegen, gebildet wird, folgt $0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1$ für alle $n [mm] \in \IN\,;$ [/mm] bzw. alternativ: [mm] $|a_n| \le [/mm] 1$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm]
(Beachte:
1. Für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] ist $0 [mm] \le 1-\frac{1}{2^k} \le [/mm] 1$
2. Erfüllen die Zahlen [mm] $y_1,\,\ldots,\,y_n$, [/mm] dass $0 [mm] \le y_k \le [/mm] 1$ ($k [mm] \in \{1,\;\ldots,\,n\}$), [/mm] so folgt $0 [mm] \le y_1*\ldots*y_n=\produkt_{k=1}^n y_k \le [/mm] 1$.)
Aber bisher wäre nur die Beschränktheit der Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ersichtlich. Also: Wie folgerst Du Konvergenz? (Tipp: Monotonieverhalten der Folge begründen. Dabei: [mm] $a_{n+1}=t_n*a_n$ [/mm] mit $0 [mm] \le t_n \le [/mm] 1$.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Mi 18.11.2009 | | Autor: | LariC |
Dankeschön - die Monotonie habe ich schon :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dankeschön - die Monotonie habe ich schon :)
sehr schön. Wenn Du weißt, dass die Folge nach unten beschränkt und monoton fallend ist, so kannst Du sofort die Konvergenz folgern. Allerdings bezweifle ich etwas, dass der Grenzwert dieser Folge einfach zu berechnen ist, insbesondere bezweifle ich, dass es sich hierbei um eine Nullfolge handelt. Berechne mal ein paar erste Folgenglieder...
Es ist natürlich auch die Frage, ob ihr die Folge nur auf Kgz. untersuchen sollt, oder ob in der Aufgabe auch verlangt wird, dass ihr im Falle der Kgz. den GW. berechnen sollt. Ist letzteres nicht verlangt, so bist Du fertig.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Mi 18.11.2009 | | Autor: | LariC |
Ich habe Glück: Bin fertig!
Aber leider noch nicht mit allen Aufagebn, habe da noch einen ziemlichen Brocken...puh...
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