Beschränktheit einer Menge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mi 19.10.2011 | | Autor: | frato |
Hallo,
bei uns kam heute folgende Defintion:
Eine Menge M heißt beschränkt, wenn es ein [mm] \varepsilon\in\IR_{+} [/mm] gibt, so dass M [mm] \subset U_{\varepsilon}(0).
[/mm]
Irgendwie kapiere ich das nicht. Wieso heißt es [mm] U_{\varepsilon}(0) [/mm] ?
Vielleicht kann mir das jemand anschaulich erklären...
Vielen Dank schon mal.
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moin frato,
weißt du, wofür [mm] $U_{\epsilon}(0) [/mm] steht?
Das ist eine Umgebung um den Ursprung, also es gilt:
[mm] $U_{\epsilon}(0) [/mm] = [mm] (-\epsilon,\epsilon)$
[/mm]
Überleg dir mal, was es anschaulich bedeutet, dass M beschränkt ist:
Es gibt eine obere Schranke, sodass alle Zahlen in M kleiner sind und es gibt eine untere Schranke, sodass alle Zahlen in M größer sind.
Wie findest du mit Hilfe dieser Schranken ein passendes [mm] $\epsilon$, [/mm] sodass alle Werte aus M in dem oben angegebenen Intervall liegen?
Wenn noch was unklar ist immer her damit. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 19.10.2011 | | Autor: | frato |
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, bedeutet das doch, dass es ein [mm] \varepsilon \in \IR [/mm] gibt, so dass für alle m [mm] \in [/mm] M gilt [mm] |m|\le\varepsilon.
[/mm]
Um nun auf das [mm] U_{\varepsilon}(0) [/mm] zurückzukommen, bedeutet das doch, dass eine Menge M genau dann beschränkt ist, wenn sie in einer Ursprungskugel mit Radius [mm] \varepsilon [/mm] enthalten ist, oder? Hierfür muss natürlich M [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] sein.
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> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, bedeutet das
> doch, dass es ein [mm]\varepsilon \in \IR[/mm] gibt, so dass für
> alle m [mm]\in[/mm] M gilt [mm]|m|\le\varepsilon.[/mm]
jupp
> Um nun auf das [mm]U_{\varepsilon}(0)[/mm] zurückzukommen,
> bedeutet das doch, dass eine Menge M genau dann beschränkt
> ist, wenn sie in einer Ursprungskugel mit Radius
> [mm]\varepsilon[/mm] enthalten ist, oder?
genau
> Hierfür muss natürlich M [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] sein.
Da du [mm] $\epsilon \in \IR$ [/mm] betrachtest ist das wohl anzunehmen.
Du könntest theoretisch auch andere Mengen nehmen, so lange du auf denen eine schöne Ordnung definieren kannst (sonst wäre es ja sinnlos von < zu sprechen).
Aber meist wird hier [mm] $\IR$ [/mm] oder eben [mm] $\IR^n$ [/mm] genommen, ja.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 So 23.10.2011 | | Autor: | frato |
Vielen Dank für die schnelle und super Hilfe!
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