Best. Infimum einer Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Menge M := [mm] \left\{ 1 + \bruch{1}{n} | n \in \ IN \right\} [/mm]
beschränkt ist, und bestimmen Sie sup M sowie inf M.
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Hallo,
wie man zeigt, dass die Menge beschränkt ist und das Supremum bestimmt habe ich einigermaßen verstanden. Aber zur Bestimmung des Infimums habe ich eine Frage.
Die Musterlösung sieht folgendes vor:
Ist s [mm] \in ]1,\infty[ [/mm] , so gibt es nach 1.5.8 (i) ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < s - 1, also 1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < s, d.h. , s ist keine untere Schranke von M. Für jede untere Schranke s von M gilt daher s [mm] \le [/mm] 1.
Damit ist inf M = 1.
Anmerkung: 1.5.8 (i): x [mm] \in \IR [/mm] , Gilt 0 < x, so gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < x
Dazu nun meine Frage:
Dieses s - 1 entspricht ja dem x aus 1.5.8 (i). Und dieses x muss ja nach Voraussetzung positiv sein. Aber dieses s - 1 könnte ja rein theoretisch auch negativ sein, wenn s [mm] \in [/mm] ] 1, [mm] \infty [/mm] [ ist. Und damit wäre dann s-1 < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] bzw. es gäbe kein n mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < s - 1?! Oder was sehe ich hier falsch?!
Vielen Dank schon mal für eure Antworten
und viele Grüße,
das schlumpfinchen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Menge M := [mm]\left\{ 1 + \bruch{1}{n} | n \in \ IN \right\}[/mm]
> beschränkt ist, und bestimmen Sie sup M sowie inf M.
>
> Hallo,
>
> wie man zeigt, dass die Menge beschränkt ist und das
> Supremum bestimmt habe ich einigermaßen verstanden. Aber
> zur Bestimmung des Infimums habe ich eine Frage.
>
> Die Musterlösung sieht folgendes vor:
>
> Ist s [mm]\in ]1,\infty[[/mm] , so gibt es nach 1.5.8 (i) ein n [mm]\in \IN[/mm]
> mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < s - 1, also 1 + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < s, d.h. ,
> s ist keine untere Schranke von M. Für jede untere Schranke
> s von M gilt daher s [mm]\le[/mm] 1.
> Damit ist inf M = 1.
Aber nur, wenn Du geteigt hast : 1 ist eine untere Schranke
>
> Anmerkung: 1.5.8 (i): x [mm]\in \IR[/mm] , Gilt 0 < x, so gibt es
> ein n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < x
>
> Dazu nun meine Frage:
> Dieses s - 1 entspricht ja dem x aus 1.5.8 (i). Und dieses
> x muss ja nach Voraussetzung positiv sein. Aber dieses s -
> 1 könnte ja rein theoretisch auch negativ sein, wenn s [mm]\in[/mm]
> ] 1, [mm]\infty[/mm]
Merkwürdig ?! Du hast doch s [mm]\in[/mm] ] 1, [mm]\infty)[/mm] , also s>1. Dann ist doch s-1>0 !!!!!!!!!!!!!
FRED
>[ ist. Und damit wäre dann s-1 < [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> bzw. es gäbe kein n mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < s - 1?! Oder was
> sehe ich hier falsch?!
>
> Vielen Dank schon mal für eure Antworten
> und viele Grüße,
> das schlumpfinchen.
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