Best. die Abl. der Fkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Sa 17.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] (-\pi [/mm] / 2 , [mm] \pi [/mm] / 2) [mm] \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion mit [mm] f'(x)=\bruch{1}{1+x^2}. [/mm] Bestimme die Ableitung der Funktionen:
a) f( 1 + [mm] x^2 [/mm] )
b) f(f(f(f(3x+4)))
c) [mm] \bruch{1}{f(\bruch{1}{x})} [/mm] + [mm] f(\bruch{1}{x}) [/mm] |
Hallo alle zusammen,
hier verstehe ich irgendwie noch nich richtig was ich machen soll.
Ist mein Ansatz das ich für das x in f´ das x aus den f s in den aufgaben einsetze und es dann ausreche?
also a: f´(1 + [mm] x^2)=\bruch{1}{1+(1 + x^2)^2}= [/mm] ...
oder bin ich damit total aufm holzweg?
mfg die Maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maxi!
Dein Ansatz ist prinzipiell okay!
Allerdings ist [mm] $F(1+x^2) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+(1+x^2)^2}$ [/mm] erst die neue Funktion, von welcher Du die Ableitung bestimmen sollst.
Du kannst auch zunächst die Ableitung $f'(x) \ = \ ...$ bestimmen und anschließend den Term [mm] $1+x^2$ [/mm] einsetzen.
Allerdings musst Du dann noch die innere Ableitung von [mm] $1+x^2$ [/mm] gemäß  Kettenregel berücksichtigen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 17.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
okay, dann müsste für a rauskommen:
[mm] F(1+x^2)=\bruch{1}{1+(1+x^2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2+2x^2+x^4}
[/mm]
und damit
[mm] F'(1+x^2)=f(1+x^2)=\bruch{4x^3 + 4x}{(x^4 + 2x^2 + 2)^2}
[/mm]
(letze umformung nach Quotientenregel)
stimmt das so?
und wie sieht das dann bei b aus?
b:
f(f(f(F(3x+4)))) = [mm] \bruch{1}{1+(3x+4)^2}
[/mm]
f(f(F(F(3x+4)))) = [mm] \bruch{1}{1+(3(3x+4)+4)^2}
[/mm]
...
F(F(F(F(3x+4)))) = [mm] \bruch{1}{1+(3(3(3(3x+4)+4)+4)+4)^2}
[/mm]
und muss ich dann nach dem zusammenfassen 4 mal ableiten oder doch weniger?
danke im Vorraus, die Maxi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Maxi!
> okay, dann müsste für a rauskommen:
>
> [mm]F(1+x^2)=\bruch{1}{1+(1+x^2)^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2+2x^2+x^4}[/mm]
>
> und damit
>
> [mm]F'(1+x^2)=f(1+x^2)=\bruch{4x^3 + 4x}{(x^4 + 2x^2 + 2)^2}[/mm]
>
> (letze umformung nach Quotientenregel)
>
> stimmt das so?
Nein, da fehlt noch ein Minuszeichen:
[mm] $F'(1+x^2) [/mm] = [mm] \red{-} \bruch{4x^3 + 4x}{(x^4 + 2x^2 + 2)^2} [/mm] $
> und wie sieht das dann bei b aus?
>
> b:
>
> f(f(f(F(3x+4)))) = [mm]\bruch{1}{1+(3x+4)^2}[/mm]
So stimmt das nicht: wenn du rechts nur einmal schachtelst, darfst du links nicht vier geschachtelte Aufrufe hinschreiben! Du meinst:
$ F(3x+4) = [mm] \bruch{1}{1+(3x+4)^2}$
[/mm]
> f(f(F(F(3x+4)))) = [mm]\bruch{1}{1+(3(3x+4)+4)^2}[/mm]
Hier auch: $F(F(3x+4)) = [mm] \dots$
[/mm]
Aber: du hasst doch gar nicht richtig eingesetzt:
[mm] f(f(3x+4)) = f(\bruch{1}{1+(3(3x+4)+4)^2}) = \bruch{1}{1+(\bruch{1}{1+(3(3x+4)+4)^2})^2} [/mm]
> ...
>
> [mm]F(F(F(F(3x+4)))) = \bruch{1}{1+(3(3(3(3x+4)+4)+4)+4)^2}[/mm]
>
> und muss ich dann nach dem zusammenfassen 4 mal ableiten oder doch weniger?
Die wievielte Ableitung willst du denn berechnen? Doch nur die erste, also auch nur einmal ableiten.
Allerdings ist das Zusammenfassen sehr mühsam. Einfacher geht es mit der Kettenregel. Ich glaube, das ist auch der Zweck der Aufgabe: die Kettenregel zu üben.
Ich zeige es dir für die schon berechnete Ableitung bei a:
Nach der Kettenregel ist
[mm] (f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x) [/mm]
Hier ist $f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2}$, [/mm] $g(x) = [mm] 1+x^2$. [/mm] Daher ist
[mm] f'(x) = \bruch{-2x}{(1+x^2)^2} [/mm] und [mm] g'(x) = 2x[/mm]
Also ist das Ergebnis:
[mm] \bruch{-2g(x)}{(1+g(x)^2)^2} * g'(x) = \bruch{-2(1+(x^2)}{1+(1+x^2)^2)} * 2x = - \bruch{4x^3+4x}{(x^4+2x^2+2)^2} [/mm]
Für die b solltest du schrittweise vorgehen: mit der Abkürzung $g(x)=f(f(f(3x+4)$ hast du wieder den Fall
$(f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x) $
und $g'(x)$ rechnest du wieder mit der Kettenregel aus. Nach 4 Schritten hast du dein Ergebnis!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Sa 17.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hallo alle zusammen,
> > b:
> >
> > f(f(f(F(3x+4)))) = [mm]\bruch{1}{1+(3x+4)^2}[/mm]
>
> So stimmt das nicht: wenn du rechts nur einmal schachtelst,
> darfst du links nicht vier geschachtelte Aufrufe
> hinschreiben! Du meinst:
>
> [mm]F(3x+4) = \bruch{1}{1+(3x+4)^2}[/mm]
>
> > f(f(F(F(3x+4)))) = [mm]\bruch{1}{1+(3(3x+4)+4)^2}[/mm]
>
> Hier auch: [mm]F(F(3x+4)) = \dots[/mm]
>
> Aber: du hasst doch gar nicht richtig eingesetzt:
>
> [mm]f(f(3x+4)) = f(\bruch{1}{1+(3(3x+4)+4)^2}) = \bruch{1}{1+(\bruch{1}{1+(3(3x+4)+4)^2})^2}[/mm]
>
>
> > ...
> >
> > [mm]F(F(F(F(3x+4)))) = \bruch{1}{1+(3(3(3(3x+4)+4)+4)+4)^2}[/mm]
>
> >
> > und muss ich dann nach dem zusammenfassen 4 mal ableiten
> oder doch weniger?
>
> Die wievielte Ableitung willst du denn berechnen? Doch nur
> die erste, also auch nur einmal ableiten.
>
> Allerdings ist das Zusammenfassen sehr mühsam. Einfacher
> geht es mit der Kettenregel. Ich glaube, das ist auch der
> Zweck der Aufgabe: die Kettenregel zu üben.
>
> Ich zeige es dir für die schon berechnete Ableitung bei a:
>
> Nach der Kettenregel ist
>
> [mm](f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x)[/mm]
>
> Hier ist [mm]f(x) = \bruch{1}{1+x^2}[/mm], [mm]g(x) = 1+x^2[/mm]. Daher ist
>
> [mm]f'(x) = \bruch{-2x}{(1+x^2)^2}[/mm] und [mm]g'(x) = 2x[/mm]
>
> Also ist das Ergebnis:
>
> [mm]\bruch{-2g(x)}{(1+g(x)^2)^2} * g'(x) = \bruch{-2(1+(x^2)}{1+(1+x^2)^2)} * 2x = - \bruch{4x^3+4x}{(x^4+2x^2+2)^2}[/mm]
bis hier komme ich mit und kapiere die kettenregel zumindest soweit. trotzdem bin ich nicht inner lage das auf b anzuwenden.
liegt wohl am fehlenden verständnis des gesamtproblems.
hier mal was mir auffällt:
- wieso schreibe ich eig. F(x) wenn ich doch in der aufgabenstellung nur f(x) und f'(x) habe? mit den vorgegebenen wegen kann ich zwar rechnen, aber selbst bei a weiß ich bei keinem schritt warum ich das tue?!
ich glaube es wäre gut wenn evt. jemand nen link kennt auf dem ne aufgabe steht die meiner b ähnelt?!
evt. verstehe ich diese ja dann soweit, dass ich selbst hinkriege.
> Für die b solltest du schrittweise vorgehen: mit der
> Abkürzung [mm]g(x)=f(f(f(3x+4)[/mm] hast du wieder den Fall
>
> [mm](f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x)[/mm]
>
> und [mm]g'(x)[/mm] rechnest du wieder mit der Kettenregel aus. Nach
> 4 Schritten hast du dein Ergebnis!
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hab dann auch noch c versucht, auch wenn ich kaum klar weiß was ich da mache.
c:
funktion zusammenbasteln:
[mm] \bruch{1}{F(\bruch{1}{x})} [/mm] + [mm] F(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{1+(\bruch{1}{x})^2})} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1+(\bruch{1}{x})^2} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
nun ableiten.
( 1 + [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}} [/mm] )'
= 0 + [mm] \bruch{-2x}{x^4} [/mm] + [mm] \bruch{-(1+\bruch{1}{x^2})'}{(1+\bruch{1}{x^2})^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{-2x}{x^4} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{-2}{x^3}}{1+\bruch{2}{x^2}+\bruch{1}{x^4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-2x}{x^4} [/mm] + [mm] \bruch{2}{x^3 + 2x + \bruch{1}{x}}
[/mm]
das müste dann auch schon das ergebniss sein!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Maxi!
Mir fällt gerade auf, dass ich die Aufgabe falsch gelesen habe, weil der Ableitungsstrich im Aufgabentext nicht zu sehen ist (nur in der Eingabe, wenn ich mit dem Mauszeiger über die Formel gehe). Das Problem ist, dass es mehrere Striche auf der Tastatur gibt, die so aussehen, die aber in Formeln unterschiedlich erscheinen.
Also vorausgesetzt war, dass die Ableitung $f'(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] ist, nicht dass die Funktion selber so aussieht.
Ich führe das mit der Aufgabe c mal vor: so wie wir es bisher gerechnet haben und wie es gemeint ist.
> hier mal was mir auffällt:
> - wieso schreibe ich eig. F(x) wenn ich doch in der
> aufgabenstellung nur f(x) und f'(x) habe? mit den
> vorgegebenen wegen kann ich zwar rechnen, aber selbst bei a
> weiß ich bei keinem schritt warum ich das tue?!
Weil Loddar in seiner ersten Antwort das große F statt des kleinen geschrieben hat? Ich glaube, das war auch wegen des unsichtbaren Ableitungsstrichs. Schreib ruhig immer f. Es gibt nur die eine Funktion.
Zur (c):
> Hab dann auch noch c versucht, auch wenn ich kaum klar weiß
> was ich da mache.
>
> c:
> funktion zusammenbasteln:
>
> [mm]\bruch{1}{F(\bruch{1}{x})} + F(\bruch{1}{x}) = \bruch{1}{\bruch{1}{1+(\bruch{1}{x})^2})}+\bruch{1}{1+(\bruch{1}{x})^2} = 1 + \bruch{1}{x^2} + \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}}[/mm]
>
> nun ableiten.
>
> [mm]( 1 + \bruch{1}{x^2} + \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}} )'[/mm]
>
> [mm]= 0 + \bruch{-2x}{x^4} + \bruch{-(1+\bruch{1}{x^2})'}{(1+\bruch{1}{x^2})^2}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{-2x}{x^4} - \bruch{\bruch{-2}{x^3}}{1+\bruch{2}{x^2}+\bruch{1}{x^4}}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{-2x}{x^4} + \bruch{2}{x^3 + 2x + \bruch{1}{x}}[/mm]
>
> das müste dann auch schon das ergebniss sein!?
Das ist richtig für $f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] . Und jetzt das Ganze nochmal mit der Kettenregel.
Fangen wir mit dem 2. Summanden an:
[mm] (f(1/x))' = f'(1/x) * (1/x)' = f'(1/x) * \bruch{-1}{x^2}[/mm].
An dieser Stelle benutze ich $f'(x) = [mm] \bruch{-2x}{(1+x^2)^2}$:
[/mm]
[mm] = \bruch{-2(\bruch{1}{x})}{(1+(\bruch{1}{x})^2)^2} * \bruch{-1}{x^2}[/mm]
[mm] = \bruch{2}{x^3} * \bruch{1}{(1+(\bruch{1}{x})^2)^2} [/mm]
1. Summand: [mm] $\bruch{1}{f(1/x)}$. [/mm] Die äußere Funktion ist $1/f$, also ist die äußere Ableitung [mm] $-1/f^2$:
[/mm]
[mm] \left(\bruch{1}{f(1/x)}\right)' = \bruch{-1}{f(1/x)^2} * (f(1/x))'[/mm]
AHA! Der Faktor am Ende ist gerade das, was ich eben für den zweiten Summanden ausgerechnet habe:
[mm] = \bruch{-1}{f(1/x)^2} * \bruch{2}{x^3} * \bruch{1}{(1+(\bruch{1}{x})^2)^2} [/mm]
[mm] = \bruch{-1}{1/(1+(\bruch{1}{x})^2)^2} * \bruch{2}{x^3} * \bruch{1}{(1+(\bruch{1}{x})^2)^2} [/mm]
[mm] = -(1+(\bruch{1}{x})^2)^2 * \bruch{2}{x^3} * \bruch{1}{(1+(\bruch{1}{x})^2)^2} [/mm]
Der erste und der letzte Faktor kürzen sich weg, und es bleibt
[mm] = - \bruch{2}{x^3}[/mm]
OK?
So, und nun mit der Annahme, dass $f'(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2}$, [/mm] also nur die Ableitung bekannt ist, nicht aber die Funktion f selbst. Die lassen wir einfach stehen.
Die Rechnung geht ganz genauso los, nur wenn du einsetzt, setzt du dieses andere $f'(x)$ ein:
[mm] (f(1/x))' = f'(1/x) * (1/x)' = f'(1/x) * \bruch{-1}{x^2}[/mm]
[mm] = \bruch{1}{(1+(\bruch{1}{x})^2)} * \bruch{-1}{x^2}[/mm]
1. Summand:
[mm] \left(\bruch{1}{f(1/x)}\right)' = \bruch{-1}{f(1/x)^2} * (f(1/x))'[/mm]
Zusammen:
[mm]\left[ \bruch{1}{f(1/x)} + f(1/x) \right]' = \bruch{-1}{f(1/x)^2} * (f(1/x))' + (f(1/x))' [/mm]
[mm] = \left(1 - \bruch{1}{f(1/x)^2} \right) * \bruch{1}{(1+(\bruch{1}{x})^2)} * \bruch{-1}{x^2} [/mm]
So, und jetzt zur (b). Der Trick ist immer, von außen nach innen durchzugehen und in jedem Schritt die Kettenregel anzuwenden.
1. Schritt:
[mm] (f(f(f(f(3x+4)))))' = f'(f(f(f(3x+4)))) * (f(f(f(3x+4))))' [/mm]
Es sind immer zwei Faktoren: Ableitung der äußeren Funktion f, dort Einsetzen der inneren Funktion $f(f(f(3x+4)))$, dann Ableiten der inneren Funktion.
Jetzt müssen wir das für den zweiten Faktor fortsetzen:
[mm] = f'(f(f(f(3x+4)))) * f'(f(f(3x+4))) * (f(f(3x+4)))' [/mm]
3. Schritt:
[mm] = f'(f(f(f(3x+4)))) * f'(f(f(3x+4))) * f'(f(3x+4)) * (f(3x+4))' [/mm]
[mm] = f'(f(f(f(3x+4)))) * f'(f(f(3x+4))) * f'(f(3x+4)) * f'(3x+4) * (3x+4)' [/mm]
[mm] = f'(f(f(f(3x+4)))) * f'(f(f(3x+4))) * f'(f(3x+4)) * f'(3x+4) * 3 [/mm]
Jetzt sind wir fast fertig, jetzt müssen wir wieder $f'(x) = [mm] \bruch{1}{(1+x^2)}$ [/mm] einsetzen, zum Beispiel:
[mm] f'(f(f(f(3x+4)))) = \bruch{1}{1+f(f(f(3x+4)))^2} [/mm]
oder
[mm] f'(3x+4) = \bruch{1}{(1+(3x+4)^2} [/mm]
und Alles zusammenfügen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 17.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Wow, nu hats klick gemacht! Danke für die mühe!
Nur noch eine letzte Frage, die schon gepostete Antwort auf a stimmt dann aber immernoch, oder?
also a: $ [mm] F'(1+x^2) [/mm] = - [mm] \bruch{4x^3 + 4x}{(x^4 + 2x^2 + 2)^2} [/mm] $
Ich war am anfang einfach so verwirrt, weil ich dachte das F heißt das es sich um die Stammfunktion handelt, also F'(x) = f(x) so wie wirs inner Schule hatten.
mfg die Maxi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Maxi!
> Wow, nu hats klick gemacht! Danke für die mühe!
>
> Nur noch eine letzte Frage, die schon gepostete Antwort auf
> a stimmt dann aber immernoch, oder?
>
> also a: [mm]F'(1+x^2) = - \bruch{4x^3 + 4x}{(x^4 + 2x^2 + 2)^2}[/mm]
Nein, denn das war ja mit $f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] gerechnet.
Mach's doch nochmal:
[mm] \left( f(\bruch{1}{1+x^2} \right)' = \dots [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 20.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
ah klar. also einfach nur
[mm] f'(1+x^2)=\bruch{1}{1+(1+x^2)^2}=\bruch{1}{x^4 + 2x^2 + 2}
[/mm]
danke nochmal für die hilfe. hab glaub ich echt verstanden wies funktioniert ^^.
mfg die Maxi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Di 20.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo maxi!
Das ist aber noch nicht die Ableitung $f\red{'}(1+x^2})$ .
Diese musst Du nun von Deinem obigen Ergebnis bilden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Di 20.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hallo Loddar,
doch ich glaube schon das sie es ist, wie rainer schon bemerkt hatte kann man den ableitungsstrich oben in der aufgabenstellung nich sehen.
wenn du mit der maus über das $ [mm] f´(x)=\bruch{1}{1+x^2}. [/mm] $ gehst steht da
[mm] f^{(strich)}(x)=... [/mm] also ist das ja eig. schon die ableitungsregel, oder?
sorry für die verwirrende aufgabenstellung.
mfg maxi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Di 20.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo maxi!
Okay, dann muss ich Dir Recht geben ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Di 20.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Danke dir trotzdem,
weißt du evt. wie ich sowas in zukunft vermeiden kann?! Wenn ich richtig rate ist der strich rechts neben dem "ß" auf meiner tastatur der den man nicht sieht und der rechts neben dem "ä" der den man sieht. stimmt das so? oder gibts da noch nen ganz anderen trick?
mfg maxi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Di 20.01.2009 | | Autor: | taura |
Hallo maxi!
Du rätst richtig, genau so ist es 
Grüße, taura
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