Bestimme "f" < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die 2.Ableitung der Funktion f ist [mm] f''(x)=4x^2-4x-2. [/mm] f wird an der Stelle x=-1 von der Geraden g:x [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] berührt. Bestimme f!!! |
hi
könnt ihr mir vielleicht sagen wie ich bei diesem beispiel hier vorgehen muss?
ist in diesem fall die gerade eigentlich relevant?
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Hallo Aristoteles!
Um $f_$ zu erhalten, musst Du $f''_$ 2-mal integrieren (= 2-mal die Stammfunktion bilden). Dabei entsteht bei jedem Integrationsvorgang eine Integrationskonstante.
Um diese bestimmen zu können, kommt die Gerade in's Spiel. Denn mit dieser wissen wir, dass auch für die Funktion gilt:
$$f'(-1) \ = \ g'(-1) \ = \ ...$$
$$f(-1) \ = \ g(-1) \ = \ ...$$
Forme als die Gerade zunächst in die Normalform $g(x) \ = \ y \ = \ m*x+b$ um sowie bilde die beiden Stammmfunktionen zu $f''_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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hi
also bin jetzt gerae von der schule nachhause gekommen.
habe deine anweisungen befolgt:
g(x)=3x-4
und die beiden stammfunktionen von f'' lauten:
nach dem 1 mal integrieren:
f(x)= [mm] -2x-2x^2+4x^3/3
[/mm]
und nach dem 2 mal integrieren:
f(x)= [mm] -x^2 [/mm] - [mm] 2x^3/3 [/mm] + [mm] x^4/3
[/mm]
was muss ich jetzt machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Geradengleichung ist leider falsch.
Wie hast du die denn berechnet?
Und beim Integrieren darfst du das +C (bzw. +D beim 2.mal) nicht vergessen, weil das später noch wichtig ist.
Und dann müssen die 2 Bedingugen gelten, die Roadrunner schon erwähnt hat.
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was stimmt denn bei der geraden nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Steigung und y-Achsenabschnitt :) Wie hast du denn gerechnet?
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y= -1 + 3t
x = 1 +t | *3
dann "-" und auf y umgeformt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Ansatz ist richtig, aber du hast x und y vertauscht!
x=-1+3t
y=1+t
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sehr gut, jetzt habe ich für die gerade: y=x+4/3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Fast: [mm] y=\bruch{1}{3}x+\bruch{4}{3}
[/mm]
Weißt du nun weiter?
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ok jetzt habe ich die gerade. wie muss ich den jetzt weiter vorgehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Du musst f''(x) integrieren um f'(x) zu erhalten (das +C nicht vergessen).
Und wenn die Gerade die Funktion f bei x=-1 berührn soll, muss [mm] f'(-1)=\bruch{1}{3} [/mm] gelten.
Weil die Gerade ja an der Stelle auch den selben Funktionswert haben soll wie die Funktion f, muss auch f(-1)=g(-1)=1.
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was muss ich berücksichtigen beim integrieren? also wie erhalte ich dazu c?...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Beispiel:
[mm] \integral_{}^{}{x² dx}=\bruch{1}{3}x³+C,
[/mm]
da das unbestimmte Integral die Menge aller Stammfunktionen ist.
Beim integrieren würde das +C wieder wegfallen.
Somit wär [mm] y=\bruch{1}{3}x³+3 [/mm] eine Stammfunktion, genauso wie auch [mm] y=\bruch{1}{3}x³+5, y=\bruch{1}{3}x³-4 [/mm] oder [mm] y=\bruch{1}{3}x³+\pi.
[/mm]
Du hast nur eine der unendlich vielen Stammfunktionen angegeben, nämlich die mit C=0.
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und wie muss ich das jetzt konkret bei diesem beispiel anwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
[mm] \integral_{}^{}{(4x^2-4x-2) dx}=\bruch{4}{3}x³-2x²-2x+C
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{(\bruch{4}{3}x³-2x²-2x+C) dx}=...
[/mm]
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also laut lösung des professors [mm] x^4/3-2x^3/3-x^2+5/3*x+8/3
[/mm]
also bis zum [mm] -x^2 [/mm] habe ich alles...
nur danach ist ende...
wie kommt man auf den rest?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Das liegt halt daran, dass du ein +C und +D unterschlagen hast... diese 2 Summanden fehlen dir nun.
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hab das nämlich mit mathematica gelöst, ist ja die aufgabe, und weiß leider nicht wie ich c und d einbaue.
was mit bei diesem spiel allgemein nicht klar ist, wieso ich überhaupt die gerade braudche...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Die Gerade soll f bei x=-1 berühren.
Das heißt f(-1)=g(-1) und f'(-1)=g'(-1), Funktionswert und Steigung stimmen bei x=-1 überein.
Damit hast du 2 Informationen, mit denen du die 2 Variablen C und D berechnen kannst.
Aber integriere f'' erstmal 2mal richtig, das hast du immer noch nicht gemacht.
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blöde frage aber wie kann ich c bzw. d berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Integrier doch die Funktion erstmal richtig... das erste habe ich dir sogar schon vorgegeben.
[mm] \integral_{}^{}{(4x^2-4x-2) dx}=\bruch{4}{3}x³-2x²-2x+C
[/mm]
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ja soweit hab ichs e..°!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Ja, das musst du nun nochmal integrieren und somit kriegst du noch ein +D dazu.
Dann kannst du die beiden Informationen mit der Gerade umsetzen, die schon mehrfach gegeben wurden.
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gut das habe ich jetzt gemacht und jetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Wie lautet denn f(x) nun bei dir? Am besten du schreibst immer gleich hin, was du gerechnet hast.
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war falsch sry...
[mm] dx-x^2+cx^2/2-2x^3/3+x^4/3[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Da fehlt schonwieder das C und D. Guck ein paar Posts weiter drüber und denk genau drüber nach.
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sry hab das falsche vom zettel abgetippselt..
habs e gleich ausgebessert...schau mal nach bitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Sieht so aus, als ob du noch einmal zu viel beim C und D integriert hättest... da sollte nur +Cx+D stehen.
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ich habs so gmacht
[mm] integral(4x^2-4x-2+c)dx
[/mm]
und dann das obige ergebnis
[mm] integral(-2x+cx-2x^2+4x^3/3+d)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
[mm] \integral_{}^{}{(4x^2-4x-2) dx}=\bruch{4}{3}x³-2x²-2x+C=f'(x)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{(\bruch{4}{3}x³-2x²-2x+C) dx}=\bruch{1}{3}x^4-\bruch{2}{3}x³-x²+Cx+D=f(x)
[/mm]
Nun musst du noch f(-1)=g(-1) und f'(-1)=g'(-1) verwenden um C und D auszurechnen.
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ich habs schon, habe nämlicg geglaubt schon beim 1 mal integerien mit c...aber das muss man ja nur hinter dran "hängen"
was soll ich jetzt mit f(-1)=g(-1) und f'(-1)=g(-1)' rechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
[mm] g(x)=\bruch{1}{3}x+\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] g'(x)=\bruch{1}{3}
[/mm]
g(-1)=-1
[mm] g'(-1)=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^4-\bruch{2}{3}x³-x²+Cx+D
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{4}{3}x³-2x²-2x+C
[/mm]
[mm] f(-1)=\bruch{1}{3}+\bruch{2}{3}-1-C+D
[/mm]
[mm] f'(-1)=-\bruch{4}{3}-2+2+C
[/mm]
Und damit nun f(-1)=g(-1) und f'(-1)=g'(-1) rechnen um damit C und D zu bestimmen.
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nun wenn ich das ausrechne erhalte ich bei f' -4/3 + c
und bei f -c+d
wo brauche ich da jetzt überhaupst g???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Du brauchst das, damit du an C und D rankommst. Sonst hast du ja keine Möglichkeit etwas nach C oder D umzustellen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
f(-1)=g(-1)
[mm] \bruch{1}{3}+\bruch{2}{3}-1-C+D=-1
[/mm]
f'(-1)=g'(-1)
[mm] -\bruch{4}{3}-2+2+C=\bruch{1}{3}
[/mm]
Das Gleichungsystem löst du jetzt...
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hi
also für d kommt 2/3 heraus, doch es soll 8/3 herauskommen und wieso ist eigentlich g'(-1)=f'(-1)
woher wissen wir das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Das liegt daran, dass g f berührn soll.
Und für einen Berührpunkt gilt, dass Funktionswert und Anstieg im Punkt gleich sind.
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