Bestimmen der Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Sa 01.06.2013 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\IR\setminus{0}\to\IR [/mm] ist durch [mm] f(x)=2x^{2}-x^{-2} [/mm] gegeben. Zeigen Sie, dass diese Funktion nicht injektiv ist (konkretes, d. h. zahlenmäßiges Gegenbeispiel!). Durch „Verkleinerung“ des
Definitionsbereich kann man natürlich Injektivität erreichen. Geben Sie einen möglichst großen
„verkleinerten“ Definitionsbereich und passenden Wertebereich an, so dass die Funktion bijektiv
wird und bestimmen Sie die zugehörige Umkehrfunktion |
Also ich habe jetzt zwar ganz gut verstanden, was Injektivität Surjektivität und Bijektivität sind, kann auch zumindest graphisch bestimmen, ob Injektivität, Surjektivität, Bijektivität vorliegen, aber rechnerisch irgendwie nicht >.< könnte mir jemand bitte kurz ne anregung o.ä. geben wie ich das problem angehen soll? danke im voraus
bquadrat
(Nur damit ich auch sicher gehen kann, dass ich Injektivität und all das richtig verstanden habe:
-Eine Funktion ist injektiv, wenn man jenem f(x)-Wert den dazugehörigen x-Wert (undzwar genau EINEN) zuordnen kann.
-Eine Funktion in surjektiv, wenn alle f(x)-Werte angenommen werden können (bei [mm] x^{2} [/mm] wäre das ja z.B. nicht der Fall weil die Funktion nur im Positiven verläuft wenn man reelle Zahlen für x einsetzt).)
-Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Sa 01.06.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo bquadrat!
> Die Funktion [mm]f:\IR\setminus{0}\to\IR[/mm] ist durch
> [mm]f(x)=2x^{2}-x^{-2}[/mm] gegeben. Zeigen Sie, dass diese Funktion
> nicht injektiv ist (konkretes, d. h. zahlenmäßiges
> Gegenbeispiel!). Durch „Verkleinerung“ des
> Definitionsbereich kann man natürlich Injektivität
> erreichen. Geben Sie einen möglichst großen
> „verkleinerten“ Definitionsbereich und passenden
> Wertebereich an, so dass die Funktion bijektiv
> wird und bestimmen Sie die zugehörige Umkehrfunktion
> Also ich habe jetzt zwar ganz gut verstanden, was
> Injektivität Surjektivität und Bijektivität sind, kann
> auch zumindest graphisch bestimmen, ob Injektivität,
> Surjektivität, Bijektivität vorliegen, aber rechnerisch
> irgendwie nicht >.< könnte mir jemand bitte kurz ne
> anregung o.ä. geben wie ich das problem angehen soll?
> danke im voraus
>
> bquadrat
Den ersten Aufgabenteil kannst du recht schnell abhandeln, indem zu zeigst, dass [mm]f(-x)=f(x)[/mm] ist. Daraus folgt dann, dass z.B. -1 und 1 denselben y-Wert liefern (es war ja nach einem konkreten Zahlenbeispiel gefragt).
Oder - und damit erschlägst du den zweiten Aufgabenteil gleich mit - du löst die Gleichung [mm]y=2x^2-\frac{1}{x^2}[/mm] nach x auf. Dabei solltest du zum Einen auf eine Mehrdeutigkeit stoßen (also, dass zu gegebenem y das x nicht eindeutig ist), zum Anderen berechnest du ja so schon die Umkehrfunktion. Den eingeschränkten Definitionsbereich bekommst du, indem du dir überlegst, wie man x wählen muss, damit es eben keine Mehrdeutigkeit(en) mehr gibt.
> (Nur damit ich auch sicher gehen kann, dass ich
> Injektivität und all das richtig verstanden habe:
> -Eine Funktion ist injektiv, wenn man jenem f(x)-Wert den
> dazugehörigen x-Wert (undzwar genau EINEN) zuordnen kann.
Tippfehler? Es muss "jedem f(x)-Wert" heißen. Man könnte vielleicht noch zu "jedem f(x)-Wert im Wertebereich von f" ergänzen.
> -Eine Funktion in surjektiv, wenn alle f(x)-Werte
> angenommen werden können (bei [mm]x^{2}[/mm] wäre das ja z.B.
> nicht der Fall weil die Funktion nur im Positiven verläuft
> wenn man reelle Zahlen für x einsetzt).)
Vielleicht wäre es besser, nicht von "f(x)-Werten" zu sprechen. Das suggeriert, dass diese Werte auch tatsächlich Funktionswerte sind.
> -Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv, als
> auch surjektiv ist.
Richtig.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 So 02.06.2013 | | Autor: | bquadrat |
Okay auf jeden Fall schonmal danke :)
Was ich nun gemacht habe:
Die Funktion [mm] f(x)=2x^{2}-x^{-2} [/mm] ist eine gerade Funktion, das heißt es gilt f(-x)=f(x)
Zahlenbeispiel:
f(-1)=f(1) (das habe ich dann einfach ausgerechnet und das Ergebnis stimmt natürlich überein)
Nun gilt ja:
[mm] f(x)=y=2x^{2}-x^{-2}
[/mm]
Und um die Umkehrfunktion zu bilden gilt folgendes:
[mm] x=2y^{2}-y^{-2}
[/mm]
Dann löse ich nach y auf und bringe das Ganze erstmal auf einen gemeinsamen Nenner. Dann gilt:
[mm] x=\bruch{2y^{4}-1}{y^{2}}
[/mm]
Dann multipliziere ich mit [mm] y^{2} [/mm] und erhalte
[mm] xy^{2}=2y^{4}-1
[/mm]
[mm] 0=2y^{4}-xy^{2}-1 [/mm] SUBSTITUTION: [mm] y^{2}=v
[/mm]
[mm] 0=2v^{2}-xv-1
[/mm]
[mm] 0=v^{2}-\bruch{1}{2}xv-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] v_{1/2}=\bruch{x\pm\wurzel{x^{2}+8}}{4} [/mm] RÜCKSUBSTITUTION: [mm] v=y^{2}
[/mm]
[mm] y_{1/2}=\pm\bruch{\wurzel{x\pm\wurzel{x^{2}+8}}}{2}
[/mm]
Nun nochmal zurück zu der Sache mit der Injektivität: Damit die Funktion überhaupt injektiv ist, wird der Definitionsberecih einfach eingeschränkt und es wird gesagt, dass man nur positiv reelle Zahlen einsetzen darf, also:
[mm] f:\IR^{+}\setminus{0}\to\IR
[/mm]
somit ist die Funktion auch bijektiv
und deswegen muss die Umkehrfunktion
[mm] f^{-1}(x)=\bruch{\wurzel{x+\wurzel{x^{2}+8}}}{2}
[/mm]
sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 So 02.06.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo zurück!
> Okay auf jeden Fall schonmal danke :)
> Was ich nun gemacht habe:
>
> Die Funktion [mm]f(x)=2x^{2}-x^{-2}[/mm] ist eine gerade Funktion,
> das heißt es gilt f(-x)=f(x)
> Zahlenbeispiel:
> f(-1)=f(1) (das habe ich dann einfach ausgerechnet und das
> Ergebnis stimmt natürlich überein)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun gilt ja:
> [mm]f(x)=y=2x^{2}-x^{-2}[/mm]
> Und um die Umkehrfunktion zu bilden gilt folgendes:
> [mm]x=2y^{2}-y^{-2}[/mm]
> Dann löse ich nach y auf und bringe das Ganze erstmal auf
> einen gemeinsamen Nenner. Dann gilt:
> [mm]x=\bruch{2y^{4}-1}{y^{2}}[/mm]
> Dann multipliziere ich mit [mm]y^{2}[/mm] und erhalte
> [mm]xy^{2}=2y^{4}-1[/mm]
> [mm]0=2y^{4}-xy^{2}-1[/mm] SUBSTITUTION: [mm]y^{2}=v[/mm]
> [mm]0=2v^{2}-xv-1[/mm]
> [mm]0=v^{2}-\bruch{1}{2}xv-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]v_{1/2}=\bruch{x\pm\wurzel{x^{2}+8}}{4}[/mm]
> RÜCKSUBSTITUTION: [mm]v=y^{2}[/mm]
>
>
> [mm]y_{1/2}=\green{\pm}\bruch{\wurzel{x\red{\pm}\wurzel{x^{2}+8}}}{2}[/mm]
>
> Nun nochmal zurück zu der Sache mit der Injektivität:
> Damit die Funktion überhaupt injektiv ist, wird der
> Definitionsberecih einfach eingeschränkt und es wird
> gesagt, dass man nur positiv reelle Zahlen einsetzen darf,
> also:
> [mm]f:\IR^{+}\setminus{0}\to\IR[/mm]
> somit ist die Funktion auch bijektiv
Deine (richtige) Rechnung zeigt, dass es zu jedem y-Wert vier x-Werte gibt. Wenn du die Variablen erst am Schluss vertauschst, hast du ja [mm]x=\green{\pm}\frac{\sqrt{y\red{\pm} \sqrt{y^2+8}}}{2}[/mm]. An dieser Stelle solltest du ein paar mehr Worte über die Injektivität verlieren. Man kann (wie du es richtig machst) argumentieren, dass nur positive x-Werte zugelassen werden sollen - das erledigt das grüne [mm]\pm[/mm]. Aber was sollte mich davon abhalten, beim roten [mm]\pm[/mm] eine Wahl zu treffen? In meiner Variante (die mit x=...) hieße das, es gibt immer noch zwei mögliche x-Werte, die zum gleichen y-Wert führen. Und in deiner Variante (y=...) heißt das zum gleichen x-Wert gibt es verschiedene y-Werte der Umkehrfunktion.
> und deswegen muss die Umkehrfunktion
> [mm]f^{-1}(x)=\bruch{\wurzel{x+\wurzel{x^{2}+8}}}{2}[/mm]
> sein.
Das ist richtig. Aber ein kleines Argument fehlt noch, nämlich, warum wählst du beim roten [mm]\pm[/mm] die Plus-Variante?
Wenn du ganz ausführlich antworten willst, könntest du noch erwähnen, wie die Umkehrfunktion aussehen würde, wenn man den Definitionsbereich von f auf die negativen reellen Zahlen beschränkt. Aber das würde ich bei der Aufgabenstellung eher als Kür bezeichnen.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 So 02.06.2013 | | Autor: | bquadrat |
und nochmal vielen dank :)
Also was ich nun gemacht habe:
ich habe ja herausgefunden, dass es 4 möglichkeiten für [mm] f^{-1}(x) [/mm] gibt. Nämlich:
[mm] \pm\bruch{\wurzel{x\pm\wurzel{x^{2}+8}}}{2}
[/mm]
Die negative Lösung fällt für [mm] D=\IR^{+}\setminus{0} [/mm] aus. Somit bleiben folgende Möglichkeiten:
[mm] \bruch{\wurzel{x\pm\wurzel{x^{2}+8}}}{2}
[/mm]
Da gilt:
[mm] f:\IR^{+}\setminus{0}\to\IR [/mm] ,müssen komplexwertige Ergebnisse verhindert werden. Somit fällt auch hier wieder das Minus aus und somit lautet [mm] f^{-1}(x) [/mm] für [mm] f(x)=2x^{2}-x^{-2} [/mm] mit [mm] f:\IR^{+}\setminus{0}\to\IR
[/mm]
[mm] f^{-1}(x)=\bruch{\wurzel{x+\wurzel{x^{2}+8}}}{2}
[/mm]
Für [mm] f(x)=2x^{2}-x^{-2} [/mm] mit [mm] f:\IR^{-}\setminus{0}\to\IR [/mm] würde genau das negative gelten, also
[mm] f^{-1}(x)=-\bruch{\wurzel{x+\wurzel{x^{2}+8}}}{2}
[/mm]
Somit könnte man sagen
[mm] f(x)=2x^{2}-x^{-2} [/mm] mit [mm] f:\IR\setminus{0}\to\IR
[/mm]
hat die Umkehrfunktion
[mm] f^{-1}(x)=\begin{cases} \bruch{\wurzel{x+\wurzel{x^{2}+8}}}{2}, & \mbox{für } x \mbox{ größer oder gleich 0} \\ -\bruch{\wurzel{x+\wurzel{x^{2}+8}}}{2}, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner 0} \end{cases}
[/mm]
(habe es leider nicht hinbekommen so zu schreiben wie ich es haben wollte)
mit [mm] f^{-1}:\IR\to\IR\setminus{0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Mo 03.06.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
Als Korrektor überzeugst du mich noch nicht ganz.... 
> und nochmal vielen dank :)
>
> Also was ich nun gemacht habe:
>
> ich habe ja herausgefunden, dass es 4 möglichkeiten für
> [mm]f^{-1}(x)[/mm] gibt. Nämlich:
> [mm]\pm\bruch{\wurzel{x\pm\wurzel{x^{2}+8}}}{2}[/mm]
Okay, abgekauft.
> Die negative Lösung fällt für [mm]D=\IR^{+}\setminus{0}[/mm]
> aus. Somit bleiben folgende Möglichkeiten:
> [mm]\bruch{\wurzel{x\pm\wurzel{x^{2}+8}}}{2}[/mm]
Moment! Ist D der Definitionsbereich von [mm]f[/mm] oder von [mm]f^{-1}[/mm]?
> Da gilt:
> [mm]f:\IR^{+}\setminus{0}\to\IR[/mm] ,müssen komplexwertige
> Ergebnisse verhindert werden. Somit fällt auch hier wieder
> das Minus aus und somit lautet [mm]f^{-1}(x)[/mm] für
> [mm]f(x)=2x^{2}-x^{-2}[/mm] mit [mm]f:\IR^{+}\setminus{0}\to\IR[/mm]
> [mm]f^{-1}(x)=\bruch{\wurzel{x+\wurzel{x^{2}+8}}}{2}[/mm]
Halt! Gleiche Frage wie oben. Hier liegst du zwar nicht ganz falsch, aber mach dir folgendes klar:
Wenn [mm]f^{-1}(x)=\bruch{\wurzel{x\pm\wurzel{x^{2}+8}}}{2}[/mm] sein soll, muss beim [mm]\pm[/mm] eine Wahl getroffen werden. "-" fällt raus, weil [mm]\sqrt{x^2+8}>x[/mm] (warum? kannst du das begründen?).
> Für [mm]f(x)=2x^{2}-x^{-2}[/mm] mit [mm]f:\IR^{-}\setminus{0}\to\IR[/mm]
> würde genau das negative gelten, also
> [mm]f^{-1}(x)=-\bruch{\wurzel{x+\wurzel{x^{2}+8}}}{2}[/mm]
> Somit könnte man sagen
> [mm]f(x)=2x^{2}-x^{-2}[/mm] mit [mm]f:\IR\setminus{0}\to\IR[/mm]
> hat die Umkehrfunktion
> [mm]f^{-1}(x)=\begin{cases} \bruch{\wurzel{x+\wurzel{x^{2}+8}}}{2}, & \mbox{für } x \mbox{ größer oder gleich 0} \\ -\bruch{\wurzel{x+\wurzel{x^{2}+8}}}{2}, & \mbox{für } x \mbox{ kleiner 0} \end{cases}[/mm]
Ja, wenn du die obigen Problemchem klären kannst.
> (habe es leider nicht hinbekommen so zu schreiben wie ich
> es haben wollte)
> mit [mm]f^{-1}:\IR\to\IR\setminus{0}[/mm]
Was wolltest du denn schreiben?
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
|
