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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 So 16.03.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie ein Polynom p(x) so ,dass [mm] |exp(x)-p(x)|<10^{-2} [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] [-1,1]. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe einige Schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen und bin daher für jeden Tipp/ Starthilfe dankbar.
Meine Überlegung wäre erstmal exp(x) in eine Reihe umzuschreiben, nämlich
[mm] |1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...-p(x)|<10^{-2}
[/mm]
dann könnte man die betragstriche "auflösen":
[mm] -(1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...-p(x))<10^{-2} \Rightarrow p(x)<10^{-2}+1+x+\bruch{x^2}{2!}+... [/mm] und
[mm] 1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...-p(x)<10^{-2} \Rightarrow [/mm] p(x)> [mm] 1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...-10^{-2}
[/mm]
Falls es richtig ist, bin ich dann fertig? Oder denke ich komplett falsch?
Gruss
mimo1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 So 16.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie ein Polynom p(x) so ,dass
> [mm]|exp(x)-p(x)|<10^{-2}[/mm] für alle [mm]x\in[/mm] [-1,1].
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe einige Schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen und
> bin daher für jeden Tipp/ Starthilfe dankbar.
> Meine Überlegung wäre erstmal exp(x) in eine Reihe
> umzuschreiben, nämlich
> [mm]|1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...-p(x)|<10^{-2}[/mm]
> dann könnte man die betragstriche "auflösen":
> [mm]-(1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...-p(x))<10^{-2} \Rightarrow p(x)<10^{-2}+1+x+\bruch{x^2}{2!}+...[/mm]
> und
> [mm]1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...-p(x)<10^{-2} \Rightarrow[/mm]
> p(x)> [mm]1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^3}{3!}+...-10^{-2}[/mm]
>
> Falls es richtig ist, bin ich dann fertig? Oder denke ich
> komplett falsch?
das bringt Dir doch irgendwie nichts - Du hast dann am Ende nur stehen,
dass
[mm] $1+x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+...=\sum_{k=0}^\infty x^k/(k!)-10^{-2}=\blue{\exp(x)-10^{-2} < p(x) <10^{-2}+\exp(x)}$
[/mm]
für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ gelten soll - das blaumarkierte kannst Du Dir aber auch
sofort aus
[mm] $|\exp(x)-p(x)| [/mm] < [mm] 10^{-2}$
[/mm]
überlegen.
Zu der Aufgabe:
Es gilt (beachte $a+b [mm] \le a+|b|\,$ [/mm] für $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] und auch die verallg.
Dreiecksungleichung)
$0 [mm] \le \exp(x)=\sum_{k=0}^N \frac{x^k}{k!}+\sum_{k=N+1}^\infty \frac{x^k}{k!} \le \sum_{k=0}^N \frac{x^k}{k!}+\left|\sum_{k=N+1}^\infty \frac{x^k}{k!}\right| \le \green{\sum_{k=0}^N \frac{x^k}{k!}+\sum_{k=N+1}^\infty \frac{|x|^k}{k!} \le \sum_{k=0}^N \frac{x^k}{k!}+ \sum_{k=N+1}^\infty \frac{1}{k!}} \blue{\;=\;} \sum_{k=0}^N \frac{x^k}{k!}+\left(\exp(1)-\sum_{k=0}^N \frac{1}{k!}\right)$
[/mm]
für alle $|x| [mm] \le 1\,.$ [/mm] (Man braucht $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$ bei der grünmarkierten
Abschätzung für den zweiten Summanden!)
Wenn ihr nun etwa mal für
[mm] $\exp(1)=e\,$
[/mm]
wenigstens ein paar Nachkommastellen bewiesen/berechnet habt, sollte
Dir Aufgabe dann nicht mehr so schwer fallen.
(D.h. Du hast nur noch ein genügend großes [mm] $N\,$ [/mm] zu finden, so dass
[mm] $p(x):=\sum_{k=0}^N \frac{x^k}{k!}$
[/mm]
geeignet erscheint.
Ansonsten könntest Du die Aufgabe auch allgemeiner mit einer
Restgliedabschätzung angehen - sowas wie in
![[]](/images/popup.gif) Satz 14.3, hier (klick!).)
Gruß,
Marcel
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