Bestimmt divergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mi 01.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_{n})_{n \varepsilon \IN}eine [/mm] Folge positiver reeller Zahlen. Beweisen Sie: Falls [mm] (a_{n})_{n \varepsilon \IN} [/mm] keinen Berührpunkt
besitzt, so gilt:
[mm] \forall [/mm] M > 0 [mm] \exists n_{0} \varepsilon \IN [/mm] : [mm] a_{n} \ge [/mm] M, [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}. [/mm] (*)
Bemerkung: Falls (*) gilt, so sagen wir auch, dass [mm] (a_{n})_{n \varepsilon \IN} [/mm] bestimmt gegen [mm] \infty [/mm] divergiert. |
Kann mir da jemand helfen? Ich hab echt keine Ahnung, wie man das zeigen soll?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mi 01.12.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo erstmal!
Hast Du denn für [mm] a_{n} [/mm] auch etwas gegeben außer dass es eine Reihe positiver reeler Zahlen ist?
Wenn nicht, dann wäre [mm] a_{n} [/mm] ja zum Beispiel: [mm] a_{n}=|k|+2
[/mm]
Also eine Folge, bei der immer positive Zahlen herauskommen. Und die gehen je nachdem wie hoch Dein k ist immer weiter "nach oben". Es ist also keine Funktion gegeben wie zum Beispiel eine Wurzelfunktion o.Ä. ?
Dann ist ja klar, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\infty
[/mm]
ABER: sie konvergiert!! Divergieren tut sie nur, wenn zwei Teilfolgen verschiedene Grenzwerte haben!
Und wenn sie gegen unendlich konvergiert... stell Dir doch die Funktion f(x)=x vor! Sie wird nie einen Endpunkt erreichen!
Also müsstest Du schon etwas genauer sein: hast Du ein [mm] a_{n} [/mm] gegeben oder nur diese Vorschrift?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> Dann ist ja klar, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\infty[/mm]
>
> ABER: sie konvergiert!! Divergieren tut sie nur, wenn zwei
> Teilfolgen verschiedene Grenzwerte haben!
die Aussage ist schlichtweg falsch!
Eine Folge heisst divergent, genau dann, wenn sie NICHT konvergent ist.
Es gibt noch den Begriff der bestimmten Divergenz, diese liegt vor, wenn
[mm] $\lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = [mm] \pm\infty$ [/mm] gilt.
Einzig wenn man Folgen auf dem Raum [mm] \overline{\IR} [/mm] betrachtet, sagt man zur bestimmten Divergenz auch Konvergenz, weil [mm] \pm\infty [/mm] dann Elemente des Zahlenbereichs sind.
Das liegt hier aber nicht vor.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mi 01.12.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
es gibt je nach Buch und prof verschiedene Def von divergent.
a) alle folgen, die kenen endlichen GW haben sind divergent.
b) alle Folgen die mehr als einen HP haben sind divergent, die mit GW gegen + oder gegen [mm] -\infty [/mm] heissen dann bestimmt divergent. das wird hier definiert.
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich würde das spontan mit Kontraposition machen. Das heißt, ich würde Zeigen:
[mm] $\exists [/mm] M>0: [mm] \forall n_0 \in \IN: \exists n\ge n_0: a_n
Gilt nun die linke Seite, dann ist eine Teilfolge von [mm] a_n [/mm] beschränkt (sie pendelt zwischen 0 und M). Hilft dir das? Denke auch an den Satz von Bolzano-Weierstraß.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Jain, ich glaube, dass ich das verstehe. xD Aber weiter komme ich trotzdem nicht :( Ähm, der Satz von BW war doch, dass eine Folge mindestens einen Berührpunkt besitzt, falls die Folge beschränkt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Eine beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Do 02.12.2010 | | Autor: | luvmaths |
Hi,
Kann man nicht sagen:
[mm] a_{n} [/mm] besitzt keinen Berührpunkt
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] keine Teilfolge, die konvergiert
[mm] \Rightarrow [/mm] Die gesamte Folge konvergiert nicht
[mm] \Rightarrow [/mm] Folge divergiert und ist damit nicht beschränkt
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] M > 0: [mm] \exists n_{0} \in \IN: a_{n} \ge [/mm] M [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
Mache ich mir das zu einfach?
Die Definition aus der Aufgabe besagt doch einfach, dass die Folge nicht beschränkt ist?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Kapier das irgendwie nicht. Ich weiß noch nichtmal, wie ich anfangen soll. Den lösungsvorschlag versteh ich, aber stimmt der?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Mach es so wie Teufel es Dir geraten hat.
Dann bekommst Du eine Beschränkte Teilfolge von [mm] (a_n). [/mm] Diese Teilfolge hat einen Häufungspunkt a. Dann ist a auch Häufungspunkt von [mm] (a_n) [/mm] , Widerspruch !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Do 02.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja, ich versteh das ja auch, aber wie soll man sowas zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Do 02.12.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also, du gehst hiervon aus:
[mm] $\exists [/mm] M>0: [mm] \forall n_0\in\IN [/mm] : [mm] \exists n>n_0: a_n
Das heißt also, es gibt ein M, sodass noch unendlich viele Folgenglieder darunter (aber noch über 0) liegen, wenn man das Quantorenschlachtfeld mal einfach interpretieren will. Das heißt, dass man eine Teilfolge [mm] a_{k_n} [/mm] von [mm] a_n [/mm] finden kann, die zwischen 0 und M liegt. Das heißt also, dass [mm] a_{k_n} [/mm] eine beschränkte unendliche Folge ist. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt diese Teilfolge einen Häufungspunkt. Damit besitzt aber auch [mm] a_n [/mm] einen Häufungspunkt.
Und damit bist du fertig!
(Dass es unendlich viele Folgenglieder gibt, die zwischen 0 und M liegen, kannst du, falls nötig, separat zeigen, z.B. indem du davon ausgehst, dass es nur endlich viele sind und das zum Widerspruch führst.)
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